1.[与T5互为孪生题]利用尺规根据下列条件求作三角形,不能作出形状和大小唯一确定的三角形的是 ()

A.已知三角形的两边及其夹角
B.已知三角形的两角及其夹边
C.已知三角形的三个角
D.已知三角形的三条边

1.C

【分析】
要判断哪种条件不能作出形状和大小唯一确定的三角形，核心是看给出的条件是否符合三角形全等的判定定理：如果条件能判定两个三角形全等，说明满足该条件的三角形形状、大小完全一致，就能作出唯一确定的三角形；如果不符合全等判定定理，就无法确定唯一的三角形，接下来逐一对应全等判定定理分析每个选项即可。
【解析】
结合三角形全等的判定定理逐一分析选项：
A. 已知两边及其夹角，符合全等判定的“SAS”定理，满足该条件的三角形全等，因此可以作出唯一确定的三角形；
B. 已知两角及其夹边，符合全等判定的“ASA”定理，满足该条件的三角形全等，因此可以作出唯一确定的三角形；
C. 已知三角形的三个角，仅能确定三角形的形状，无法确定边长大小，作出的三角形可以是大小不等的相似三角形，不符合全等判定定理，因此不能作出唯一确定的三角形；
D. 已知三角形的三条边，符合全等判定的“SSS”定理，满足该条件的三角形全等，因此可以作出唯一确定的三角形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定；尺规作三角形
【点评】
本题将尺规作三角形和全等三角形判定结合考查，解题的关键是理解“形状和大小唯一确定”等价于满足三角形全等的判定条件，要注意已知三个角只能确定三角形的形状，不能确定其大小，是本题的易错点。
【难度系数】
0.8

2. [2025·淮南期末]如图，已知$AE=AC$，$∠ C=∠ E$，下列条件中，无法判定$△ ABC ≌ △ ADE$的是（）

A.$∠ B=∠ D$
B.$BC=DE$
C.$∠ 1=∠ 2$
D.$AB=AD$

2.D

【分析】
要判断哪个条件无法判定△ABC≌△ADE，首先回忆三角形全等的判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等），注意SSA不能作为全等判定依据。首先从题干提取已有条件：△ABC和△ADE中，已知AC=AE，∠C=∠E，即已有一组对应边相等、一组对应角相等，接下来逐一验证每个选项补充的条件能否和已知条件组合成有效判定定理即可。
【解析】
已知在△ABC和△ADE中，AC=AE，∠C=∠E，逐一分析选项：
A. 添加∠B=∠D，结合已知条件，满足AAS判定定理，可判定△ABC≌△ADE，不符合题意；
B. 添加BC=DE，结合已知的AC=AE、∠C=∠E，满足SAS判定定理，可判定△ABC≌△ADE，不符合题意；
C. 添加∠1=∠2，可得∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，结合已知的∠C=∠E、AC=AE，满足ASA判定定理，可判定△ABC≌△ADE，不符合题意；
D. 添加AB=AD，此时构成的条件为两边及其中一边的对角相等（SSA），没有对应的全等判定定理，无法判定△ABC≌△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定、角的和差计算
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握各判定定理的适用条件，尤其要注意SSA不能作为判定两个三角形全等的依据。
【难度系数】
0.7

3. 如图，已知$AB=AD$，$∠ C=∠ E$，$CD$，$BE$相交于点$O$。有下列结论：①$CD=BE$；②$BC=DE$；③$△ BOC ≌ △ DOE$，其中正确的是。(填序号)

3.①②③

【分析】
解题时先从已知条件出发，首先找到包含已知边AB、AD和已知角∠C、∠E的两个三角形△ACD和△AEB，二者有公共角∠A，可先通过AAS判定这两个三角形全等，得到对应边相等即可判断结论①；再利用线段的和差关系推导BC和DE的数量关系，判断结论②；最后结合已得的边相等、已知角相等和对顶角相等的性质，判定△BOC和△DOE是否全等，判断结论③。
【解析】
1. 证明$△ ACD≌△ AEB$：
在$△ ACD$和$△ AEB$中：
$\begin{cases}∠A=∠A\quad (\mathrm{公共角相等})\\∠C=∠E\quad (\mathrm{已知})\\AD=AB\quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ AEB(\mathrm{AAS})$
根据全等三角形对应边相等，可得$CD=BE$，$AC=AE$，故结论①正确。
2. 推导$BC=DE$：
$\because AC=AE$，$AB=AD$
$\therefore AC-AB=AE-AD$，即$BC=DE$，故结论②正确。
3. 证明$△ BOC≌△ DOE$：
在$△ BOC$和$△ DOE$中：
$\begin{cases}∠BOC=∠DOE\quad (\mathrm{对顶角相等})\\∠C=∠E\quad (\mathrm{已知})\\BC=DE\quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
$\therefore △ BOC≌△ DOE(\mathrm{AAS})$，故结论③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
AAS判定三角形全等；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，解题的关键是善于挖掘公共角、对顶角这类隐含的相等条件，先证明大三角形全等得到边角相等关系，再逐步推导验证小三角形的全等，按顺序分析每个结论即可。
【难度系数】
0.7

4. 小明同学课间不小心将等腰三角板掉到两墙之间(如图).若每块砌墙砖块的厚度a = 10 cm,则DE的长为 ()


A.50 cm
B.60 cm
C.70 cm
D.80 cm

4.C

【分析】
解题时首先从题干和图形提取已知条件：等腰三角板可得AC=BC，∠ACB=90°，两墙垂直于地面可得AD⊥DE、BE⊥DE，即∠ADC=∠CEB=90°。接下来通过同角的余角相等推出∠DAC=∠BCE，即可用AAS判定△ADC和△CEB全等。再根据全等三角形对应边相等，得到DC=BE、CE=AD，结合砖块厚度a分别算出AD、BE的长度，最后将DC和CE相加就能得到DE的长度。
【解析】
解：由题意可知：$∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB=90°$，$AC=BC$，
$\because ∠ ACD+∠ BCE=180°-∠ ACB=90°$，$∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ BCE$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ BCE \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore DC=BE$，$CE=AD$。
由图可得，左侧墙高$AD=4a$，右侧墙高$BE=3a$，已知$a=10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=4×10=40\ \mathrm{cm}$，$BE=3×10=30\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DC=30\ \mathrm{cm}$，$CE=40\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=30+40=70\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形的实际应用，解题的核心是准确找到全等的判定条件，通过全等将未知边长转化为已知的墙砖高度进行计算，能锻炼学生从几何图形中提取条件、转化问题的能力。
【难度系数】
0.7

5. [与T1互为孪生题]根据下列条件不能画出唯一的△ABC的是（）

A.$AB=5, BC=6, AC=7$
B.$AB=5, BC=6, ∠B=45°$
C.$AB=5, ∠B=35°, ∠C=80°$
D.$AB=5, AC=4, ∠C=25°$

5.D

【分析】
本题考查的是三角形唯一确定的条件，核心判断依据是三角形全等的判定定理：若给出的条件符合全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），则能画出唯一的三角形，反之则不能。解题时逐个分析选项给出的条件是否符合有效全等判定规则即可，需特别注意“SSA（两边及其中一边的对角）”不能判定三角形全等，无法得到唯一三角形。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 已知$AB=5, BC=6, AC=7$，给出了三角形的三边长度，符合全等判定的SSS定理，可确定唯一的$△ ABC$；
B. 已知$AB=5, BC=6, ∠B=45°$，$∠B$是AB和BC的夹角，符合全等判定的SAS定理，可确定唯一的$△ ABC$；
C. 已知$∠B=35°, ∠C=80°$，根据三角形内角和为$180°$，可算出$∠A=180°-35°-80°=65°$，又已知$AB=5$（AB是$∠C$的对边），符合全等判定的AAS定理，可确定唯一的$△ ABC$；
D. 已知$AB=5, AC=4, ∠C=25°$，此时给出的是两边AC、AB和AB边的对角$∠C$，属于“SSA”的情况，不符合全等判定定理，可能画出两种不同的三角形，无法确定唯一的$△ ABC$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定、三角形内角和、三角形确定性
【点评】
本题重点考查全等判定定理的实际应用，易错点是混淆SAS和SSA的适用情况，需牢记只有两边及其夹角才能确定唯一三角形，两边及其中一边的对角无法确定唯一三角形。
【难度系数】
0.65

6. 如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，为了测量斜坡上一点D的竖直高度DB，欢欢在点D处立上一根竹竿CD，并保证$CD ⊥ AD$，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为E，他调整好绳子CE的长度，使得$CE=AD$，此时他测得$DE=2\ \mathrm{m}$，则可求得DB的长度为 m.

6.2

【分析】
要得到DB的长度，可通过证明包含DB和已知边DE的两个三角形全等求解。首先结合垂直的已知条件、绳子竖直的隐含条件推导对应角相等，再结合给出的CE=AD的条件，用AAS判定三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可求出DB的长度。
【解析】
解：由题意可知，垂下的绳子CE为竖直线段，因此CE⊥水平线AB，
∵CD⊥AD，DB⊥AB，
∴∠CDE=∠DBA=90°，
∵在Rt△CDE中，∠C+∠CED=90°，在Rt△ADB中，∠A+∠ADB=90°，
又
∵CE、DB均为竖直线段，CE//DB，故∠CED=∠ADB，
∴∠C=∠A，
在△CDE和△DBA中：
$\{\begin{array}{l}∠CDE=∠DBA \\∠C=∠A \\CE=AD\end{array} $
∴△CDE≌△DBA（AAS）
∴DB=DE，
已知DE=2m，因此DB=2m。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形在实际测量场景中的应用，解题的关键是结合生活常识得到绳子竖直的隐含条件，进而推导角的等量关系证明三角形全等，将未知边转化为已知边求解。
【难度系数】
0.7

7.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,延长$AC$至点$E$,过点$E$作$EF⊥ AC$,使$EF=BC$,连接$BF$交$CE$于点$D$.
(1)求证:$CD=ED$；
(2)若$G$是$AC$上一点,且满足$AG=2CD$,连接$FG$,判断$∠ FGE$和$∠ ABC$之间的关系,并证明你的结论.

7.(1)证明略.
(2)$∠FGE+∠ABC=90°$.证明略.

【分析】
(1) 要证$CD=ED$，可证明$CD$、$ED$所在的$△ BCD$和$△ FED$全等：先根据垂直关系得到一组等角，结合对顶角相等、已知$EF=BC$，用AAS判定两三角形全等，即可推出对应边相等。
(2) 要判断$∠ FGE$和$∠ ABC$的关系：先由(1)的结论得$CE=2CD$，结合$AG=2CD$推出$GE=AC$，再结合$EF=BC$、$∠ E=∠ ACB=90°$，用SAS判定$△ FEG≌△ BCA$，得到$∠ FGE=∠ A$，最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可推出两角的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BCD=180°-∠ ACB=90°$，
$\because EF⊥ AC$，
$\therefore ∠ E=90°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ E$，
在$△ BCD$和$△ FED$中：
$\begin{cases}∠ BCD=∠ E \\∠ BDC=∠ FDE\quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BC=EF\end{cases}$
$\therefore △ BCD≌△ FED(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CD=ED$。
(2) 解：$∠ FGE+∠ ABC=90°$，证明如下：
由(1)可知$CD=ED$，
$\therefore CE=CD+DE=2CD$，
$\because AG=2CD$，
$\therefore AG=CE$，
$\therefore AG+GC=CE+GC$，即$AC=GE$，
在$△ FEG$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}EF=BC \\∠ E=∠ ACB=90° \\GE=AC\end{cases}$
$\therefore △ FEG≌△ BCA(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ FGE=∠ A$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ FGE+∠ ABC=90°$。
【答案】
(1) $CD=ED$，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{∠ FGE+∠ ABC=90°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定和性质的应用，第一问是基础的全等判定练习，第二问需要借助第一问的结论推导线段等量关系，再结合全等和直角三角形的性质推导角的关系，解题的关键是准确梳理线段、角的等量关系，学会利用已证结论简化推导过程。
【难度系数】
0.7