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1.已知:如图,线段$a,c(a＜c)$.
求作:$△ ABC$,使$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AB=c$.(保留作图痕迹,不写作法)
求作:$△ ABC$,使$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AB=c$.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
解：
如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$即为所求作的三角形，满足$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AB=c$，所有对应作图痕迹均按要求保留。
如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$即为所求作的三角形，满足$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AB=c$，所有对应作图痕迹均按要求保留。
解析
【分析】
要作满足条件的Rt△ABC，直角顶点为C，可按“定直角→定直角边顶点→定斜边长找剩余顶点”的思路解题：①首先作90°的角确定直角顶点C，得到两条互相垂直的射线，作为两条直角边的所在线；②在其中一条射线上截取长度为a的线段BC，即可确定B、C两个顶点的位置；③最后以B为圆心、长度c为半径画弧，弧与另一条垂直射线的交点就是顶点A，连接AB即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下（答题时仅保留作图痕迹即可）：
1. 作∠MCN=90°；
2. 在射线CM上截取线段BC，使BC=a；
3. 以点B为圆心，线段c的长度为半径画弧，交射线CN于点A；
4. 连接AB，所得△ABC即为所求。
【答案】
如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$即为所求作的三角形，满足$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AB=c$，所有对应作图痕迹均按要求保留。
【知识点】
1. 基本尺规作图 2. 直角的作法 3. HL定理
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考查直角三角形的作图逻辑，需要熟练掌握作等长线段、作直角的基本作图技能，作图时要注意保留完整的作图痕迹，不可随意擦除辅助线。
【难度系数】
0.8
要作满足条件的Rt△ABC，直角顶点为C，可按“定直角→定直角边顶点→定斜边长找剩余顶点”的思路解题：①首先作90°的角确定直角顶点C，得到两条互相垂直的射线，作为两条直角边的所在线；②在其中一条射线上截取长度为a的线段BC，即可确定B、C两个顶点的位置；③最后以B为圆心、长度c为半径画弧，弧与另一条垂直射线的交点就是顶点A，连接AB即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下（答题时仅保留作图痕迹即可）：
1. 作∠MCN=90°；
2. 在射线CM上截取线段BC，使BC=a；
3. 以点B为圆心，线段c的长度为半径画弧，交射线CN于点A；
4. 连接AB，所得△ABC即为所求。
【答案】
如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$即为所求作的三角形，满足$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AB=c$，所有对应作图痕迹均按要求保留。
【知识点】
1. 基本尺规作图 2. 直角的作法 3. HL定理
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考查直角三角形的作图逻辑，需要熟练掌握作等长线段、作直角的基本作图技能，作图时要注意保留完整的作图痕迹，不可随意擦除辅助线。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知$AB⊥BD$，$CD⊥BD$. 若用“HL”判定$Rt△ ABD$和$Rt△ CDB$全等，则添加的条件是（
A.$AD=CB$
B.$∠A=∠C$
C.$BD=DB$
D.$AB=CD$
A
）A.$AD=CB$
B.$∠A=∠C$
C.$BD=DB$
D.$AB=CD$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确“HL”判定定理的适用规则：仅用于判定直角三角形全等，要求两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等。首先确定题中两个直角三角形的边：Rt△ABD和Rt△CDB已有公共直角边BD=DB，要使用HL判定，需补充斜边对应相等的条件，再结合选项逐一排除不符合HL要求的选项即可。
【解析】
已知$AB⊥BD$，$CD⊥BD$，因此$∠ ABD=∠ CDB=90°$，$△ ABD$和$△ CDB$均为直角三角形。
两个三角形共有公共边$BD=DB$，为一组相等的直角边。
根据HL判定定理的要求，还需补充两个三角形的斜边相等，即$AD=CB$，即可满足“斜边+一条直角边分别相等”的HL判定条件，证明$Rt△ ABD≌ Rt△ CDB$。
对各选项分析如下：
A选项：$AD=CB$，符合HL判定要求，正确；
B选项：$∠ A=∠ C$，结合$∠ ABD=∠ CDB$、$BD=DB$，属于AAS判定，不是HL，错误；
C选项：$BD=DB$是天然公共边，仅该条件无法判定全等，错误；
D选项：$AB=CD$，结合$∠ ABD=∠ CDB$、$BD=DB$，属于SAS判定，不是HL，错误。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理，全等三角形判定
【点评】
本题重点考查对直角三角形HL判定定理的理解，解题时要注意区分HL与其他全等判定方法的差异，明确HL仅适用于直角三角形，且必须满足斜边和一条直角边对应相等的条件，避免混淆不同判定定理的使用场景。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确“HL”判定定理的适用规则：仅用于判定直角三角形全等，要求两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等。首先确定题中两个直角三角形的边：Rt△ABD和Rt△CDB已有公共直角边BD=DB，要使用HL判定，需补充斜边对应相等的条件，再结合选项逐一排除不符合HL要求的选项即可。
【解析】
已知$AB⊥BD$，$CD⊥BD$，因此$∠ ABD=∠ CDB=90°$，$△ ABD$和$△ CDB$均为直角三角形。
两个三角形共有公共边$BD=DB$，为一组相等的直角边。
根据HL判定定理的要求，还需补充两个三角形的斜边相等，即$AD=CB$，即可满足“斜边+一条直角边分别相等”的HL判定条件，证明$Rt△ ABD≌ Rt△ CDB$。
对各选项分析如下：
A选项：$AD=CB$，符合HL判定要求，正确；
B选项：$∠ A=∠ C$，结合$∠ ABD=∠ CDB$、$BD=DB$，属于AAS判定，不是HL，错误；
C选项：$BD=DB$是天然公共边，仅该条件无法判定全等，错误；
D选项：$AB=CD$，结合$∠ ABD=∠ CDB$、$BD=DB$，属于SAS判定，不是HL，错误。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理，全等三角形判定
【点评】
本题重点考查对直角三角形HL判定定理的理解，解题时要注意区分HL与其他全等判定方法的差异，明确HL仅适用于直角三角形，且必须满足斜边和一条直角边对应相等的条件，避免混淆不同判定定理的使用场景。
【难度系数】
0.7
3.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$ED⊥ AB$于点$D$，$BD=BC$。若$AC=6$，则$AE+DE=$（
A.4
B.5
C.6
D.7
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：图中有两个直角三角形Rt△BCE和Rt△BDE，二者有公共斜边BE，且已知直角边BD=BC，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质，将DE转化为CE，即可把所求的AE+DE转化为已知长度的线段AC，从而算出结果。
【解析】
∵ ED⊥AB，∠C=90°
∴ ∠BDE=∠C=90°，即△BCE和△BDE均为直角三角形
在Rt△BCE和Rt△BDE中：
$\{\begin{array}{l}BE=BE\mathrm{（公共边）}\\ BC=BD\mathrm{（已知）}\end{array} $
∴ Rt△BCE≌Rt△BDE（HL）
∴ CE=DE（全等三角形对应边相等）
∴ AE+DE=AE+CE=AC
已知AC=6，故AE+DE=6，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
HL全等判定，全等三角形的性质，线段等量代换
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用全等三角形实现线段的等量转化，将未知的线段和转化为已知长度的线段，解题的关键是找到图中全等的直角三角形，熟练掌握直角三角形的全等判定方法是解题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件：图中有两个直角三角形Rt△BCE和Rt△BDE，二者有公共斜边BE，且已知直角边BD=BC，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质，将DE转化为CE，即可把所求的AE+DE转化为已知长度的线段AC，从而算出结果。
【解析】
∵ ED⊥AB，∠C=90°
∴ ∠BDE=∠C=90°，即△BCE和△BDE均为直角三角形
在Rt△BCE和Rt△BDE中：
$\{\begin{array}{l}BE=BE\mathrm{（公共边）}\\ BC=BD\mathrm{（已知）}\end{array} $
∴ Rt△BCE≌Rt△BDE（HL）
∴ CE=DE（全等三角形对应边相等）
∴ AE+DE=AE+CE=AC
已知AC=6，故AE+DE=6，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
HL全等判定，全等三角形的性质，线段等量代换
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用全等三角形实现线段的等量转化，将未知的线段和转化为已知长度的线段，解题的关键是找到图中全等的直角三角形，熟练掌握直角三角形的全等判定方法是解题的基础。
【难度系数】
0.8
4.如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°。
(1)求证：$△ ACB ≌ △ BDA$；
(2)若$∠ CAB＝54°$，求$∠ CAO$的度数。
(1)求证：$△ ACB ≌ △ BDA$；
(2)若$∠ CAB＝54°$，求$∠ CAO$的度数。
答案
4.(1)证明略。
(2)$∠CAO=18°$。
(2)$∠CAO=18°$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ACB≌△BDA，首先观察到两个三角形均为直角三角形，可优先考虑HL判定定理：两个直角三角形斜边和一组直角边对应相等则全等。首先找斜边，两个三角形共用斜边AB，天然相等；题目已知AD=BC，刚好满足HL的判定条件，可直接证明全等。
(2) 求∠CAO的度数，观察图形可得∠CAO=∠CAB-∠BAD，已知∠CAB=54°，只需算出∠BAD即可。先在Rt△ACB中利用直角三角形两锐角互余算出∠ABC的度数，再根据全等三角形对应角相等的性质，可得∠BAD=∠ABC，代入计算即可求出∠CAO的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形。
在Rt△ACB和Rt△BDA中：
$\{\begin{array}{l}BC=AD\\AB=BA\end{array} $
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）。
(2) 解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠CAB=54°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-54°=36°。
由(1)得△ACB≌△BDA，根据全等三角形对应角相等，
∴∠BAD=∠ABC=36°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{18°}$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，重点考察全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时要注意挖掘公共边这类图形隐含条件，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ACB≌△BDA，首先观察到两个三角形均为直角三角形，可优先考虑HL判定定理：两个直角三角形斜边和一组直角边对应相等则全等。首先找斜边，两个三角形共用斜边AB，天然相等；题目已知AD=BC，刚好满足HL的判定条件，可直接证明全等。
(2) 求∠CAO的度数，观察图形可得∠CAO=∠CAB-∠BAD，已知∠CAB=54°，只需算出∠BAD即可。先在Rt△ACB中利用直角三角形两锐角互余算出∠ABC的度数，再根据全等三角形对应角相等的性质，可得∠BAD=∠ABC，代入计算即可求出∠CAO的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形。
在Rt△ACB和Rt△BDA中：
$\{\begin{array}{l}BC=AD\\AB=BA\end{array} $
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）。
(2) 解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠CAB=54°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-54°=36°。
由(1)得△ACB≌△BDA，根据全等三角形对应角相等，
∴∠BAD=∠ABC=36°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{18°}$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，重点考察全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时要注意挖掘公共边这类图形隐含条件，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8
5. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
B
）A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查直角三角形全等的判定，解题思路为：首先回忆直角三角形全等的所有判定方法（包含普通三角形全等的4种判定和直角三角形特有的HL判定），明确全等三角形必须有至少一组对应边相等的核心要求，再逐一分析每个选项是否符合判定条件，最终选出不能判定全等的选项。
【解析】
直角三角形全等的判定方法包含两类：①普通三角形全等的判定方法：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等）；②直角三角形特有的HL判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
对各选项逐一分析：
A. 斜边和一直角边对应相等，符合HL判定，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
B. 两个锐角对应相等，仅能证明两个三角形形状相同（相似），没有对应边相等的条件，无法判定全等，符合题意；
C. 一锐角和斜边对应相等，结合两个三角形的直角都相等，符合AAS判定，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
D. 两条直角边对应相等，结合直角是两边的夹角，符合SAS判定，可判定两个直角三角形全等，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分全等和相似的判定要求，需牢记全等三角形判定必须包含对应边相等的条件，仅角相等无法判定全等。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形全等的判定，解题思路为：首先回忆直角三角形全等的所有判定方法（包含普通三角形全等的4种判定和直角三角形特有的HL判定），明确全等三角形必须有至少一组对应边相等的核心要求，再逐一分析每个选项是否符合判定条件，最终选出不能判定全等的选项。
【解析】
直角三角形全等的判定方法包含两类：①普通三角形全等的判定方法：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等）；②直角三角形特有的HL判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
对各选项逐一分析：
A. 斜边和一直角边对应相等，符合HL判定，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
B. 两个锐角对应相等，仅能证明两个三角形形状相同（相似），没有对应边相等的条件，无法判定全等，符合题意；
C. 一锐角和斜边对应相等，结合两个三角形的直角都相等，符合AAS判定，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
D. 两条直角边对应相等，结合直角是两边的夹角，符合SAS判定，可判定两个直角三角形全等，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分全等和相似的判定要求，需牢记全等三角形判定必须包含对应边相等的条件，仅角相等无法判定全等。
【难度系数】
0.8
6.如图，$AB ⊥ CD$，且$AB = CD$，$E$，$F$分别是$AD$上两点，$CE ⊥ AD$，$BF ⊥ AD$.若$CE = 8$，$BF = 5$，$EF = 4$，求$AD$的长.
答案
6.9
解析
【分析】
解题首先从垂直条件入手，根据直角三角形两锐角互余，推导得到∠A=∠C；再结合已知AB=CD、两个直角相等的条件，用AAS判定△ABF≌△CDE，得到对应边AF=CE、DE=BF；最后根据线段的和差关系，注意AF和DE有重叠部分EF，计算AD的长度即可。
【解析】
解：
∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，
∴∠A + ∠D = 90°，∠C + ∠D = 90°，
∴∠A = ∠C。
在△ABF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠CED \\∠A=∠C \\AB=CD\end{array} $
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF=CE=8，DE=BF=5。
∵AF + DE = AE + EF + EF + FD = AD + EF，
∴AD = AF + DE - EF = 8 + 5 - 4 = 9。
【答案】
9
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过垂直关系推导等角，证明三角形全等实现线段长度的转化，计算时要注意两段线段重叠部分的处理，避免重复计算出错。
【难度系数】
0.7
解题首先从垂直条件入手，根据直角三角形两锐角互余，推导得到∠A=∠C；再结合已知AB=CD、两个直角相等的条件，用AAS判定△ABF≌△CDE，得到对应边AF=CE、DE=BF；最后根据线段的和差关系，注意AF和DE有重叠部分EF，计算AD的长度即可。
【解析】
解：
∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，
∴∠A + ∠D = 90°，∠C + ∠D = 90°，
∴∠A = ∠C。
在△ABF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠CED \\∠A=∠C \\AB=CD\end{array} $
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF=CE=8，DE=BF=5。
∵AF + DE = AE + EF + EF + FD = AD + EF，
∴AD = AF + DE - EF = 8 + 5 - 4 = 9。
【答案】
9
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过垂直关系推导等角，证明三角形全等实现线段长度的转化，计算时要注意两段线段重叠部分的处理，避免重复计算出错。
【难度系数】
0.7
7. 如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.若$DF=3\ \mathrm{m},DE=4\ \mathrm{m},AD=2\ \mathrm{m}$,则BF的长为 (
A.9 m
B.8 m
C.6 m
D.5 m
A
)A.9 m
B.8 m
C.6 m
D.5 m
答案
7.A
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC和△DEF都是直角三角形，题目给出两个滑梯长度相等即两个直角三角形的斜边BC=EF，又已知直角边AC=DF，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应边AB=DE，再将BF拆分为AB、AD、DF三段的和，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
由题意得：$∠ BAC=∠ EDF=90°$，且滑梯长度相等即$BC=EF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}BC=EF \\AC=DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$
$\therefore AB=DE=4\ \mathrm{m}$
已知$DF=3\ \mathrm{m}$，$AD=2\ \mathrm{m}$，则：
$BF=AB+AD+DF=4+2+3=9\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
HL判定全等；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是结合图形特征，利用直角三角形全等的判定定理得到对应边的等量关系，再结合线段和差关系求解，考查了学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知△ABC和△DEF都是直角三角形，题目给出两个滑梯长度相等即两个直角三角形的斜边BC=EF，又已知直角边AC=DF，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应边AB=DE，再将BF拆分为AB、AD、DF三段的和，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
由题意得：$∠ BAC=∠ EDF=90°$，且滑梯长度相等即$BC=EF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}BC=EF \\AC=DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$
$\therefore AB=DE=4\ \mathrm{m}$
已知$DF=3\ \mathrm{m}$，$AD=2\ \mathrm{m}$，则：
$BF=AB+AD+DF=4+2+3=9\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
HL判定全等；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是结合图形特征，利用直角三角形全等的判定定理得到对应边的等量关系，再结合线段和差关系求解，考查了学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
