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7.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的产量增长率为$ x $，那么$ x $满足的方程是（
A.$ 50(1+x^2)=196 $
B.$ 50+50(1+x^2)=196 $
C.$ 50+50(1+x)+50(1+x)^2=196 $
D.$ 50+50(1+x)+50(1+2x)=196 $
C
）A.$ 50(1+x^2)=196 $
B.$ 50+50(1+x^2)=196 $
C.$ 50+50(1+x)+50(1+x)^2=196 $
D.$ 50+50(1+x)+50(1+2x)=196 $
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先明确第三季度包含7月、8月、9月三个月，总产量为三个月产量之和。已知7月产量为50万个，八、九月平均月增长率为x，我们可以依次推导8月、9月的产量表达式：8月产量是在7月基础上增长x，可表示为$50(1+x)$；9月产量是在8月基础上再增长x，即$50(1+x)^2$。最后将三个月产量相加等于第三季度总产量196万个，即可匹配到正确方程。
【解析】
1. 明确产量关系：第三季度总产量=7月产量+8月产量+9月产量=196万个；
2. 表示各月产量：
7月产量：已知为50万个；
8月产量：以7月为基数增长x，即$50(1+x)$万个；
9月产量：以8月为基数增长x，即$50(1+x) × (1+x)=50(1+x)^2$万个；
3. 列方程：将三个月产量相加得$50+50(1+x)+50(1+x)^2=196$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用；代数式表示
【点评】
本题是增长率应用的基础典型题，解题核心是准确写出不同增长阶段的量，要注意区分平均增长率和固定增长量的区别，避免误将9月产量写为$50(1+2x)$，同时不要遗漏已知的7月产量。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确第三季度包含7月、8月、9月三个月，总产量为三个月产量之和。已知7月产量为50万个，八、九月平均月增长率为x，我们可以依次推导8月、9月的产量表达式：8月产量是在7月基础上增长x，可表示为$50(1+x)$；9月产量是在8月基础上再增长x，即$50(1+x)^2$。最后将三个月产量相加等于第三季度总产量196万个，即可匹配到正确方程。
【解析】
1. 明确产量关系：第三季度总产量=7月产量+8月产量+9月产量=196万个；
2. 表示各月产量：
7月产量：已知为50万个；
8月产量：以7月为基数增长x，即$50(1+x)$万个；
9月产量：以8月为基数增长x，即$50(1+x) × (1+x)=50(1+x)^2$万个；
3. 列方程：将三个月产量相加得$50+50(1+x)+50(1+x)^2=196$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用；代数式表示
【点评】
本题是增长率应用的基础典型题，解题核心是准确写出不同增长阶段的量，要注意区分平均增长率和固定增长量的区别，避免误将9月产量写为$50(1+2x)$，同时不要遗漏已知的7月产量。
【难度系数】
0.7
8.某景区民宿有60间客房供游客居住，每间客房是按整间出租.已知当每间客房每天的定价为140元时，客房会全部住满，当每间客房每天的定价每增加20元时，就会有4间客房空闲.政府规定:如果该民宿的入住率超过80%，那么已入住的客房可以获得每间10元的政府补贴.若某天该民宿客房收入为9360元，且这天民宿获得了政府补贴，则补贴为
520
元.答案
8.520
解析
【分析】
首先根据民宿获得政府补贴的条件，算出入住房间数需超过60×80%=48间。我们可以设每间客房定价增加20x元（x为非负整数），则空闲房间为4x间，实际入住房间为(60-4x)间，每间房费为(140+20x)元。再根据“房费总收入=每间房费×入住房间数”的等量关系列一元二次方程，求解后筛选出入住数大于48的解，最后代入公式计算补贴总额即可。
【解析】
1. 计算享受补贴的最低入住量：$60×80\%=48$间，因获得补贴，故实际入住房间数$＞48$。
2. 设每间客房每天的定价增加了$20x$元（$x$为非负整数），则空闲客房为$4x$间，实际入住客房数为$(60-4x)$间，每间房定价为$(140+20x)$元。
3. 根据客房收入为9360元列方程：
$(140 + 20x)(60 - 4x) = 9360$
4. 化简求解方程：
展开整理得：$x^2 - 8x + 12 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 6) = 0$
解得：$x_1=2，x_2=6$
5. 结合实际条件取舍根：
当$x=2$时，入住房间数$=60-4×2=52$间，$52＞48$，符合要求；
当$x=6$时，入住房间数$=60-4×6=36$间，$36＜48$，不符合补贴要求，舍去。
6. 计算补贴总额：$52×10=520$元。
【答案】
520
【知识点】
一元二次方程应用，一元二次方程求解，实际问题取值筛选
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类题目，解题的关键点有两个：一是先根据补贴条件确定入住房间数的取值范围，二是求出方程的解后要结合实际情况舍去不符合要求的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
首先根据民宿获得政府补贴的条件，算出入住房间数需超过60×80%=48间。我们可以设每间客房定价增加20x元（x为非负整数），则空闲房间为4x间，实际入住房间为(60-4x)间，每间房费为(140+20x)元。再根据“房费总收入=每间房费×入住房间数”的等量关系列一元二次方程，求解后筛选出入住数大于48的解，最后代入公式计算补贴总额即可。
【解析】
1. 计算享受补贴的最低入住量：$60×80\%=48$间，因获得补贴，故实际入住房间数$＞48$。
2. 设每间客房每天的定价增加了$20x$元（$x$为非负整数），则空闲客房为$4x$间，实际入住客房数为$(60-4x)$间，每间房定价为$(140+20x)$元。
3. 根据客房收入为9360元列方程：
$(140 + 20x)(60 - 4x) = 9360$
4. 化简求解方程：
展开整理得：$x^2 - 8x + 12 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 6) = 0$
解得：$x_1=2，x_2=6$
5. 结合实际条件取舍根：
当$x=2$时，入住房间数$=60-4×2=52$间，$52＞48$，符合要求；
当$x=6$时，入住房间数$=60-4×6=36$间，$36＜48$，不符合补贴要求，舍去。
6. 计算补贴总额：$52×10=520$元。
【答案】
520
【知识点】
一元二次方程应用，一元二次方程求解，实际问题取值筛选
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类题目，解题的关键点有两个：一是先根据补贴条件确定入住房间数的取值范围，二是求出方程的解后要结合实际情况舍去不符合要求的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
9.某古城旅游经济持续向好.据统计,2023年该古城全年接待游客量为100万人次,到2025年接待游客量达到144万人次.
(1)求2023年到2025年该古城游客量的年平均增长率.
(2)古城某特产店销售一款纪念品,已知该纪念品平均每天可售出20个,每个盈利40元.在“十一”黄金周期间,该店决定降价促销.如果售价每降低1元,平均每天可多售出2件.在每个纪念品盈利不少于25元的前提下,要使该纪念品每天盈利1200元,每个纪念品应降价多少元?
(1)求2023年到2025年该古城游客量的年平均增长率.
(2)古城某特产店销售一款纪念品,已知该纪念品平均每天可售出20个,每个盈利40元.在“十一”黄金周期间,该店决定降价促销.如果售价每降低1元,平均每天可多售出2件.在每个纪念品盈利不少于25元的前提下,要使该纪念品每天盈利1200元,每个纪念品应降价多少元?
答案
9.解:(1)设2023年到2025年该古城游客量的年平均增长率为m.根据题意,得$100(1+m)^2=144$,解得$m_1=0.2=20\%$,$m_2=-2.2$(不符合题意,舍去).答:2023年到2025年该古城游客量的年平均增长率为20%.(2)设每个纪念品应降价x元.根据题意,得$(40-x)(20+2x)=1\ 200$,整理,得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=10$,$x_2=20$.当$x=10$时,$40-x=40-10=30＞25$,符合题意;当$x=20$时,$40-x=40-20=20＜25$,不符合题意,舍去.答:要使该纪念品每天盈利1 200元,每个纪念品应降价10元.
解析
【分析】
(1) 本题为增长率类应用题，解题思路为：先设年平均增长率为m，根据“初始接待游客量×(1+年平均增长率)²=2025年接待游客量”的等量关系列方程，求解后结合增长率为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
(2) 本题为销售利润类应用题，解题思路为：先设每个纪念品降价x元，分别表示出降价后的单个利润、日销售量，再根据“日总盈利=单个利润×日销售量”列一元二次方程，求解后结合“单个盈利不少于25元”的限制条件检验根的合理性，舍去不符合要求的根，得到最终答案。
【解析】
(1) 设2023年到2025年该古城游客量的年平均增长率为m。根据题意，得
$100(1+m)^2=144$
解得$m_1=0.2=20\%$，$m_2=-2.2$（不符合题意，舍去）。
答：2023年到2025年该古城游客量的年平均增长率为20%。
(2) 设每个纪念品应降价x元。根据题意，得
$(40-x)(20+2x)=1200$
整理，得$x^2-30x+200=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$。
当$x=10$时，$40-x=40-10=30＞25$，符合题意；
当$x=20$时，$40-x=40-20=20＜25$，不符合题意，舍去。
答：要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价10元。
【答案】
(1) 20%；(2) 10元
【知识点】
增长率问题；销售利润问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型常规题，覆盖了两类高频考查的应用场景，解题核心是找准等量关系列方程，同时要注意结合题目限制条件或实际意义对根进行验证，排除不符合要求的增根。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为增长率类应用题，解题思路为：先设年平均增长率为m，根据“初始接待游客量×(1+年平均增长率)²=2025年接待游客量”的等量关系列方程，求解后结合增长率为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
(2) 本题为销售利润类应用题，解题思路为：先设每个纪念品降价x元，分别表示出降价后的单个利润、日销售量，再根据“日总盈利=单个利润×日销售量”列一元二次方程，求解后结合“单个盈利不少于25元”的限制条件检验根的合理性，舍去不符合要求的根，得到最终答案。
【解析】
(1) 设2023年到2025年该古城游客量的年平均增长率为m。根据题意，得
$100(1+m)^2=144$
解得$m_1=0.2=20\%$，$m_2=-2.2$（不符合题意，舍去）。
答：2023年到2025年该古城游客量的年平均增长率为20%。
(2) 设每个纪念品应降价x元。根据题意，得
$(40-x)(20+2x)=1200$
整理，得$x^2-30x+200=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$。
当$x=10$时，$40-x=40-10=30＞25$，符合题意；
当$x=20$时，$40-x=40-20=20＜25$，不符合题意，舍去。
答：要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价10元。
【答案】
(1) 20%；(2) 10元
【知识点】
增长率问题；销售利润问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型常规题，覆盖了两类高频考查的应用场景，解题核心是找准等量关系列方程，同时要注意结合题目限制条件或实际意义对根进行验证，排除不符合要求的增根。
【难度系数】
0.7
10.某商店销售一种智能学习机,该商店的促销广告显示:若购买学习机不超过40台,则每台售价为800元;若超过40台,则每超过1台,每台售价将减少5元.该学习机每台的进价y(单位:元)与进货数量t(单位:台)的关系如图所示.
(1)设顾客购买数量为x(单位:台),当x＞40时,用含x的代数式表示每台学习机的售价.
(2)当该商店一次性购进并一次性销售学习机60台时,每台学习机可以获利多少元?
(3)若该商店在一次销售中(一次性购进并一次性销售完)获利4800元,则该商店可能购进并销售学习机多少台?
(1)设顾客购买数量为x(单位:台),当x＞40时,用含x的代数式表示每台学习机的售价.
(2)当该商店一次性购进并一次性销售学习机60台时,每台学习机可以获利多少元?
(3)若该商店在一次销售中(一次性购进并一次性销售完)获利4800元,则该商店可能购进并销售学习机多少台?
答案
10.解:(1)当$x＞40$时,每台学习机的售价为$800-5(x-40)=(-5x+1\ 000)$元.(2)设y与t的函数表达式为$y=kt+b$,把$(0,700)$和$(50,600)$代入,得$\begin{cases}50k+b=600,\\b=700,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=700.\end{cases}$$\therefore y=-2t+700$.当$t=60$时,进价$y=-2×60+700=580$(元),售价为$-5×60+1\ 000=700$(元),则每台学习机可以获利$700-580=120$(元).(3)当$t＞40$时,每台学习机的利润是$(-5t+1\ 000)-(-2t+700)=(-3t+300)$元.则$t(-3t+300)=4\ 800$,解得$t_1=80$,$t_2=20$(舍去).当$t≤40$时,每台学习机的利润是$800-(-2t+700)=(2t+100)$元.则$t(2t+100)=4\ 800$,解得$t_3=30$,$t_4=-80$(舍去).答:该商店可能购进并销售学习机80台或30台.
解析
【分析】
(1) 求解x＞40时的售价，首先明确售价规则：不超过40台时单价800元，超过40台时每多1台单价减5元，因此超过40台的部分为(x-40)台，总共降价5(x-40)元，用基础售价减去降价总额即可得到对应售价的代数式。
(2) 先根据图像给出的两个点(0,700)、(50,600)，用待定系数法求出进价y和进货量t的一次函数解析式，再代入t=60算出对应进价，结合第一问的售价公式算出60台时的售价，售价减进价即为每台利润。
(3) 求获利4800元时的进货量，需分两种情况讨论：①进货量t≤40时，售价固定为800元，先算每台利润，再根据“总利润=单台利润×数量”列方程求解；②进货量t＞40时，用第一问的售价公式和求出的进价公式算单台利润，同样列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
(1) 当$x＞40$时，每台学习机降价总额为$5(x-40)$元，因此售价为：
$800-5(x-40)=(-5x+1000)$元。
(2) 设进价$y$与进货数量$t$的函数表达式为$y=kt+b$，
将点$(0,700)$和$(50,600)$代入解析式，得：
$\begin{cases}b=700\\50k+b=600\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=700\end{cases}$
因此$y$与$t$的函数关系式为$y=-2t+700$。
当$t=60$时，进价$y=-2×60+700=580$元，
此时售价为$-5×60+1000=700$元，
每台获利为$700-580=120$元。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$t≤40$时，每台售价为800元，单台利润为$800-(-2t+700)=(2t+100)$元，
由总利润4800元列方程：$t(2t+100)=4800$
整理得$t^2+50t-2400=0$
解得$t_1=30$，$t_2=-80$（进货数量不能为负，舍去）；
② 当$t＞40$时，单台利润为$(-5t+1000)-(-2t+700)=(-3t+300)$元，
列方程：$t(-3t+300)=4800$
整理得$t^2-100t+1600=0$
解得$t_1=80$，$t_2=20$（20＜40，不符合该情况取值范围，舍去）。
综上，符合条件的进货量为30台或80台。
【答案】
(1) $(-5x+1000)$元；
(2) 120元；
(3) 30台或80台。
【知识点】
一次函数的应用，一元二次方程的应用，分类讨论思想
【点评】
本题为销售利润类的综合应用题，结合了一次函数解析式求解和一元二次方程的实际应用，解题时需注意根据购买数量的不同范围分段计算售价和利润，求得方程的解后要验证是否符合实际取值范围，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.6
(1) 求解x＞40时的售价，首先明确售价规则：不超过40台时单价800元，超过40台时每多1台单价减5元，因此超过40台的部分为(x-40)台，总共降价5(x-40)元，用基础售价减去降价总额即可得到对应售价的代数式。
(2) 先根据图像给出的两个点(0,700)、(50,600)，用待定系数法求出进价y和进货量t的一次函数解析式，再代入t=60算出对应进价，结合第一问的售价公式算出60台时的售价，售价减进价即为每台利润。
(3) 求获利4800元时的进货量，需分两种情况讨论：①进货量t≤40时，售价固定为800元，先算每台利润，再根据“总利润=单台利润×数量”列方程求解；②进货量t＞40时，用第一问的售价公式和求出的进价公式算单台利润，同样列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
(1) 当$x＞40$时，每台学习机降价总额为$5(x-40)$元，因此售价为：
$800-5(x-40)=(-5x+1000)$元。
(2) 设进价$y$与进货数量$t$的函数表达式为$y=kt+b$，
将点$(0,700)$和$(50,600)$代入解析式，得：
$\begin{cases}b=700\\50k+b=600\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=700\end{cases}$
因此$y$与$t$的函数关系式为$y=-2t+700$。
当$t=60$时，进价$y=-2×60+700=580$元，
此时售价为$-5×60+1000=700$元，
每台获利为$700-580=120$元。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$t≤40$时，每台售价为800元，单台利润为$800-(-2t+700)=(2t+100)$元，
由总利润4800元列方程：$t(2t+100)=4800$
整理得$t^2+50t-2400=0$
解得$t_1=30$，$t_2=-80$（进货数量不能为负，舍去）；
② 当$t＞40$时，单台利润为$(-5t+1000)-(-2t+700)=(-3t+300)$元，
列方程：$t(-3t+300)=4800$
整理得$t^2-100t+1600=0$
解得$t_1=80$，$t_2=20$（20＜40，不符合该情况取值范围，舍去）。
综上，符合条件的进货量为30台或80台。
【答案】
(1) $(-5x+1000)$元；
(2) 120元；
(3) 30台或80台。
【知识点】
一次函数的应用，一元二次方程的应用，分类讨论思想
【点评】
本题为销售利润类的综合应用题，结合了一次函数解析式求解和一元二次方程的实际应用，解题时需注意根据购买数量的不同范围分段计算售价和利润，求得方程的解后要验证是否符合实际取值范围，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.6
