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1.(2025·黑龙江)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆.设该汽车一月至三月销售量的平均每月增长率为x，则可列方程为（
A.$8000(1+2x)=12000$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000 + 8000(1+x) + 8000(1+x)^2 = 12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$
B
）A.$8000(1+2x)=12000$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000 + 8000(1+x) + 8000(1+x)^2 = 12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$
答案
1.B
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先确定初始量（一月份销量8000辆）和最终量（三月份销量12000辆），明确从一月到三月间隔2次增长；其次要知道平均增长率下，后一个月的销量是前一个月销量的(1+x)倍，依次推导二月份、三月份的销量表达式，最后根据三月份的实际销量列方程即可，同时注意区分单月销量和三个月累计销量，避免错选。
【解析】
解：已知一月份新能源汽车销售量为8000辆，月平均增长率为x：
① 二月份的销售量为一月份销量乘以(1+x)，即：$8000(1+x)$ 辆；
② 三月份的销售量是在二月份销量的基础上再增长x，即：$8000(1+x) × (1+x) = 8000(1+x)^2$ 辆；
③ 题干给出三月份销量为12000辆，因此可列方程：$8000(1+x)^2=12000$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题核心是牢记连续增长后的量的计算公式：最终量=初始量×(1+增长率)的增长次数次方，注意不要把复利增长错算成单利增长，也要看清题目给的是单月量还是累计总量，避免列错方程。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先确定初始量（一月份销量8000辆）和最终量（三月份销量12000辆），明确从一月到三月间隔2次增长；其次要知道平均增长率下，后一个月的销量是前一个月销量的(1+x)倍，依次推导二月份、三月份的销量表达式，最后根据三月份的实际销量列方程即可，同时注意区分单月销量和三个月累计销量，避免错选。
【解析】
解：已知一月份新能源汽车销售量为8000辆，月平均增长率为x：
① 二月份的销售量为一月份销量乘以(1+x)，即：$8000(1+x)$ 辆；
② 三月份的销售量是在二月份销量的基础上再增长x，即：$8000(1+x) × (1+x) = 8000(1+x)^2$ 辆；
③ 题干给出三月份销量为12000辆，因此可列方程：$8000(1+x)^2=12000$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题核心是牢记连续增长后的量的计算公式：最终量=初始量×(1+增长率)的增长次数次方，注意不要把复利增长错算成单利增长，也要看清题目给的是单月量还是累计总量，避免列错方程。
【难度系数】
0.8
2.某种童鞋的原价为100元/双，由于店面转让清仓，经过连续两次降价处理，现以64元/双销售.已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（
A.15%
B.20%
C.25%
D.30%
B
）A.15%
B.20%
C.25%
D.30%
答案
2.B
解析
【分析】
这是典型的连续降价率问题，解题思路如下：第一步，明确这类问题的通用等量关系：原价×(1-降价百分率)ⁿ=现价，其中n为降价次数；第二步，设每次降价百分率为未知数，结合题干给出的原价、现价、降价2次的条件列出一元二次方程；第三步，求解方程后，结合降价百分率的实际意义（取值在0到1之间）舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $，根据题意列方程得：
$100(1-x)^2 = 64$
方程两边同时除以100，得：
$(1-x)^2 = 0.64$
开平方得：
$1-x = \pm 0.8$
分两种情况求解：
① 当$ 1-x=0.8 $时，解得$ x=0.2=20\% $，符合实际意义；
② 当$ 1-x=-0.8 $时，解得$ x=1.8=180\% $，降价百分率不可能超过100%，不符合实际，舍去。
因此每次降价的百分率为20%。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 下降率问题
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握连续变化类问题的等量关系，求解方程后要注意结合实际场景对根进行检验，排除不符合常识的解即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.8
这是典型的连续降价率问题，解题思路如下：第一步，明确这类问题的通用等量关系：原价×(1-降价百分率)ⁿ=现价，其中n为降价次数；第二步，设每次降价百分率为未知数，结合题干给出的原价、现价、降价2次的条件列出一元二次方程；第三步，求解方程后，结合降价百分率的实际意义（取值在0到1之间）舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $，根据题意列方程得：
$100(1-x)^2 = 64$
方程两边同时除以100，得：
$(1-x)^2 = 0.64$
开平方得：
$1-x = \pm 0.8$
分两种情况求解：
① 当$ 1-x=0.8 $时，解得$ x=0.2=20\% $，符合实际意义；
② 当$ 1-x=-0.8 $时，解得$ x=1.8=180\% $，降价百分率不可能超过100%，不符合实际，舍去。
因此每次降价的百分率为20%。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 下降率问题
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握连续变化类问题的等量关系，求解方程后要注意结合实际场景对根进行检验，排除不符合常识的解即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.8
3. NEW 社会热点·中药代茶饮 随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的首选饮品.据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包七月份的销量为4万盒，九月份的销量为4.84万盒.
(1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率.
(2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则十月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明.
(1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率.
(2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则十月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明.
答案
3.解:(1)设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为x.由题意,得$4(1+x)^2=4.84$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不合题意,舍去).答:该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为10%.(2)十月份的销量不能达到5.5万盒.理由如下:$\because 4.84×(1+10\%)=5.324$(万盒),又$\because 5.324＜5.5$,$\therefore$十月份的销量不能达到5.5万盒.
解析
【分析】
（1）本题是增长率类实际应用题，解题核心是掌握增长率问题的基本等量关系：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。首先设月平均增长率为x，七月份销量为初始量4万盒，到九月份经过2次增长后销量为4.84万盒，据此列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际意义的根。
（2）已知月平均增长率不变，十月份销量是在九月份销量的基础上增长10%，因此用九月份销量乘(1+10%)计算出十月份的预计销量，再和5.5万盒比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为x。
根据题意列方程得：
$4(1+x)^2=4.84$
方程两边同时除以4得：$(1+x)^2=1.21$
开平方得：$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
由于增长率不能为负数，因此$x_2=-2.1$不合题意，舍去。
(2) 十月份的销量不能达到5.5万盒，理由如下：
由月平均增长率为10%可得，十月份的销量为：
$4.84×(1+10\%)=5.324$（万盒）
因为$5.324＜5.5$，所以十月份的销量不能达到5.5万盒。
【答案】
(1) 该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为10%；
(2) 十月份的销量不能达到5.5万盒。
【知识点】
增长率问题，一元二次方程解法，实际问题验根
【点评】
本题结合中药代茶饮的社会热点考查一元二次方程的实际应用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握增长率问题的等量关系，求解方程后注意结合实际意义判断根的合理性，题目贴近生活，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）本题是增长率类实际应用题，解题核心是掌握增长率问题的基本等量关系：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。首先设月平均增长率为x，七月份销量为初始量4万盒，到九月份经过2次增长后销量为4.84万盒，据此列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际意义的根。
（2）已知月平均增长率不变，十月份销量是在九月份销量的基础上增长10%，因此用九月份销量乘(1+10%)计算出十月份的预计销量，再和5.5万盒比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为x。
根据题意列方程得：
$4(1+x)^2=4.84$
方程两边同时除以4得：$(1+x)^2=1.21$
开平方得：$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
由于增长率不能为负数，因此$x_2=-2.1$不合题意，舍去。
(2) 十月份的销量不能达到5.5万盒，理由如下：
由月平均增长率为10%可得，十月份的销量为：
$4.84×(1+10\%)=5.324$（万盒）
因为$5.324＜5.5$，所以十月份的销量不能达到5.5万盒。
【答案】
(1) 该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为10%；
(2) 十月份的销量不能达到5.5万盒。
【知识点】
增长率问题，一元二次方程解法，实际问题验根
【点评】
本题结合中药代茶饮的社会热点考查一元二次方程的实际应用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握增长率问题的等量关系，求解方程后注意结合实际意义判断根的合理性，题目贴近生活，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
4.某特产专卖店销售核桃,其进价为40元/千克,若按60元/千克出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,核桃的售价每降低1元,则平均每天的销售量可增加20千克.
(1)设每千克核桃降价x元出售,则降价后,每千克核桃获利
(2)为了达到平均每天获利2880元的目标,可列方程为
(1)设每千克核桃降价x元出售,则降价后,每千克核桃获利
(20-x)
元,平均每天可售出核桃(100+20x)
千克,所以每天可获得利润(20-x)(100+20x)
元(用含x的代数式表示).(2)为了达到平均每天获利2880元的目标,可列方程为
(20-x)(100+20x)=2 880
,解得$x_1=4,x_2=11$
.所以每千克核桃应降价4或11
元出售.答案
4.(1)$(20-x)$ $(100+20x)$ $(20-x)(100+20x)$ (2)$(20-x)(100+20x)=2\ 880$ $x_1=4,x_2=11$ 4或11
解析
【分析】
(1) 解决第一问需明确三个量的计算逻辑：①每千克利润=实际售价-进价，降价x元后实际售价为(60-x)元，代入即可得单千克利润；②销售量的变化规律为每降价1元销量增加20千克，降价x元则销量增加20x千克，加上原有销量即可得总销量；③总利润=单千克利润×总销量，将前两个结果代入即可得到总利润的表达式。
(2) 第二问根据总利润目标为2880元，令第一问得到的总利润表达式等于2880即可列出一元二次方程，再通过整理、因式分解求解方程，判断两个解均符合实际销售要求，即可得到最终的降价金额。
【解析】
(1) 降价x元后，每千克核桃的售价为(60-x)元，已知进价为40元/千克，因此每千克获利为：$(60-x)-40=20-x$ 元；
已知售价每降低1元，平均每天销量增加20千克，降价x元后销量增加20x千克，因此平均每天可售出核桃：$100+20x$ 千克；
每天总利润=每千克利润×日销售量，因此每天可获得利润：$(20-x)(100+20x)$ 元。
(2) 若平均每天获利2880元，可列方程：
$(20-x)(100+20x)=2880$
展开并整理方程：
$2000 + 400x - 100x - 20x^2 = 2880$
$x^2 -15x +44=0$
因式分解得：$(x-4)(x-11)=0$
解得：$x_1=4，x_2=11$，两个解均符合实际销售的要求，因此每千克核桃应降价4或11元出售。
【答案】
(1)$(20-x)$；$(100+20x)$；$(20-x)(100+20x)$
(2)$(20-x)(100+20x)=2880$；$x_1=4,x_2=11$；4或11
【知识点】
销售利润计算；列代数式；一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用题，核心是理清单价变化、销量变化与总利润之间的数量关系，求解方程后需注意验证解是否符合实际意义，本题无额外限制条件，两个有效解均需保留。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问需明确三个量的计算逻辑：①每千克利润=实际售价-进价，降价x元后实际售价为(60-x)元，代入即可得单千克利润；②销售量的变化规律为每降价1元销量增加20千克，降价x元则销量增加20x千克，加上原有销量即可得总销量；③总利润=单千克利润×总销量，将前两个结果代入即可得到总利润的表达式。
(2) 第二问根据总利润目标为2880元，令第一问得到的总利润表达式等于2880即可列出一元二次方程，再通过整理、因式分解求解方程，判断两个解均符合实际销售要求，即可得到最终的降价金额。
【解析】
(1) 降价x元后，每千克核桃的售价为(60-x)元，已知进价为40元/千克，因此每千克获利为：$(60-x)-40=20-x$ 元；
已知售价每降低1元，平均每天销量增加20千克，降价x元后销量增加20x千克，因此平均每天可售出核桃：$100+20x$ 千克；
每天总利润=每千克利润×日销售量，因此每天可获得利润：$(20-x)(100+20x)$ 元。
(2) 若平均每天获利2880元，可列方程：
$(20-x)(100+20x)=2880$
展开并整理方程：
$2000 + 400x - 100x - 20x^2 = 2880$
$x^2 -15x +44=0$
因式分解得：$(x-4)(x-11)=0$
解得：$x_1=4，x_2=11$，两个解均符合实际销售的要求，因此每千克核桃应降价4或11元出售。
【答案】
(1)$(20-x)$；$(100+20x)$；$(20-x)(100+20x)$
(2)$(20-x)(100+20x)=2880$；$x_1=4,x_2=11$；4或11
【知识点】
销售利润计算；列代数式；一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用题，核心是理清单价变化、销量变化与总利润之间的数量关系，求解方程后需注意验证解是否符合实际意义，本题无额外限制条件，两个有效解均需保留。
【难度系数】
0.7
5.某种服装平均每天可售出50件，每件利润为40元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件售价每降低5元，则每天多售出10件.如果每天销售这种服装的总利润达到2 100元，那么每件应降价
10
元.答案
5.10
解析
【分析】
这是典型的销售利润类应用题，解题核心抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系：
1. 设每件降价x元，先表示降价后的单件利润：原单件利润40元，降价x元后单件利润为(40-x)元；
2. 再表示降价后的销售量：每降价5元多售10件，即每降价1元多售2件，降价x元后多售2x件，总销售量为(50+2x)件；
3. 结合总利润2100元列方程求解，最后根据“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解（降价越多销量越高，去库存越快）。
【解析】
解：设每件服装应降价x元。
降价后单件利润：$(40 - x)$元
降价后每日销售量：$50 + \frac{x}{5} × 10 = 50 + 2x$ 件
根据总利润公式列方程：
$(40 - x)(50 + 2x) = 2100$
展开并整理方程：
$2000 + 80x - 50x - 2x^2 = 2100$
$x^2 - 15x + 50 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 10) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = 10$
∵要尽快减少库存，降价越多销售量越大，去库存速度越快
∴选取较大的解$x = 10$
【答案】
10
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是销售类应用题的常规考法，解题关键是找准总利润的等量关系列方程，易错点是容易忽略“尽快减少库存”的实际限制，未对两个解做合理取舍。
【难度系数】
0.7
这是典型的销售利润类应用题，解题核心抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系：
1. 设每件降价x元，先表示降价后的单件利润：原单件利润40元，降价x元后单件利润为(40-x)元；
2. 再表示降价后的销售量：每降价5元多售10件，即每降价1元多售2件，降价x元后多售2x件，总销售量为(50+2x)件；
3. 结合总利润2100元列方程求解，最后根据“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解（降价越多销量越高，去库存越快）。
【解析】
解：设每件服装应降价x元。
降价后单件利润：$(40 - x)$元
降价后每日销售量：$50 + \frac{x}{5} × 10 = 50 + 2x$ 件
根据总利润公式列方程：
$(40 - x)(50 + 2x) = 2100$
展开并整理方程：
$2000 + 80x - 50x - 2x^2 = 2100$
$x^2 - 15x + 50 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 10) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = 10$
∵要尽快减少库存，降价越多销售量越大，去库存速度越快
∴选取较大的解$x = 10$
【答案】
10
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是销售类应用题的常规考法，解题关键是找准总利润的等量关系列方程，易错点是容易忽略“尽快减少库存”的实际限制，未对两个解做合理取舍。
【难度系数】
0.7
6.某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为30元/盏.试销售一段时间后发现，按40元/盏的价格销售，每周可售出600盏；当每盏台灯的售价在40元至60元之间时，每盏售价每上涨2元，每周的销售量将减少20盏.
(1)若每盏台灯的售价为46元，则每周的销售利润是多少？
(2)如果要实现每周的销售利润为10 000元的目标，求每盏台灯的售价.
(1)若每盏台灯的售价为46元，则每周的销售利润是多少？
(2)如果要实现每周的销售利润为10 000元的目标，求每盏台灯的售价.
答案
6.解:(1)$(46-30)×(600-\frac{46-40}{2}×20)=16×540=8\ 640$(元).答:若每盏台灯的售价为46元,则每周的销售利润是8 640元.(2)设每盏台灯的售价为x元.根据题意,得$(x-30)(600-\frac{x-40}{2}×20)=10\ 000$,解得$x_1=50$,$x_2=80$(不合题意,舍去).答:每盏台灯的售价为50元.
解析
【分析】
(1) 解题遵循“总利润=单件利润×销售量”的核心公式：首先计算售价46元时的单件利润，即售价减成本价；再计算实际销售量，先求售价相比40元的上涨金额，结合“每涨2元销量减20盏”的条件算出减少的销量，用原销量减去减少的销量得到实际销量，最后代入公式即可求出总利润。
(2) 设每盏台灯售价为x元，首先明确售价范围是40≤x≤60。按照总利润公式列方程：单件利润为(x-30)元，销售量为$600-\frac{x-40}{2}×20$盏，两者乘积等于10000；解方程后舍去不在40~60元范围内的根，即可得到符合要求的售价。
【解析】
(1) 单件利润：$46-30=16$（元）
上涨金额：$46-40=6$（元）
减少的销量：$\frac{6}{2}×20=60$（盏）
实际销售量：$600-60=540$（盏）
总利润：$16×540=8640$（元）
(2) 设每盏台灯的售价为x元，根据题意列方程：
$(x-30)(600-\frac{x-40}{2}×20)=10000$
化简得：$(x-30)(1000-10x)=10000$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2-130x+4000=0$
因式分解得：$(x-50)(x-80)=0$
解得$x_1=50$，$x_2=80$
∵售价在40元至60元之间，
∴$x=80$不合题意，舍去。
答：(1)若每盏台灯的售价为46元，每周的销售利润是8640元；(2)要实现每周利润10000元，每盏台灯的售价为50元。
【答案】
(1) 8640元；(2) 50元
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程应用，实际问题验根
【点评】
本题是销售类常规应用题，解题关键是找准总利润的等量关系，正确表示不同售价对应的销售量，求解后需结合题目给出的限制条件舍去不符合实际的解，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 解题遵循“总利润=单件利润×销售量”的核心公式：首先计算售价46元时的单件利润，即售价减成本价；再计算实际销售量，先求售价相比40元的上涨金额，结合“每涨2元销量减20盏”的条件算出减少的销量，用原销量减去减少的销量得到实际销量，最后代入公式即可求出总利润。
(2) 设每盏台灯售价为x元，首先明确售价范围是40≤x≤60。按照总利润公式列方程：单件利润为(x-30)元，销售量为$600-\frac{x-40}{2}×20$盏，两者乘积等于10000；解方程后舍去不在40~60元范围内的根，即可得到符合要求的售价。
【解析】
(1) 单件利润：$46-30=16$（元）
上涨金额：$46-40=6$（元）
减少的销量：$\frac{6}{2}×20=60$（盏）
实际销售量：$600-60=540$（盏）
总利润：$16×540=8640$（元）
(2) 设每盏台灯的售价为x元，根据题意列方程：
$(x-30)(600-\frac{x-40}{2}×20)=10000$
化简得：$(x-30)(1000-10x)=10000$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2-130x+4000=0$
因式分解得：$(x-50)(x-80)=0$
解得$x_1=50$，$x_2=80$
∵售价在40元至60元之间，
∴$x=80$不合题意，舍去。
答：(1)若每盏台灯的售价为46元，每周的销售利润是8640元；(2)要实现每周利润10000元，每盏台灯的售价为50元。
【答案】
(1) 8640元；(2) 50元
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程应用，实际问题验根
【点评】
本题是销售类常规应用题，解题关键是找准总利润的等量关系，正确表示不同售价对应的销售量，求解后需结合题目给出的限制条件舍去不符合实际的解，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
