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实际问题
抽象
一元二次方程
一元二次方程的根
解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系(Δ≥0):
$x_1 + x_2 = ⑤$
$x_1 x_2 = ⑥$
一般形式: $ax^2 + bx + c = 0$
$(a,b,c为常数,a≠0)$
配方法
公式法
根的判别式
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta ＞ 0 \iff 方程有①$
$\Delta = 0 \iff 方程有②$
$\Delta ＜ 0 \iff 方程③$
求根公式
$x = ④$
抽象
一元二次方程
一元二次方程的根
解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系(Δ≥0):
$x_1 + x_2 = ⑤$
$-\frac{b}{a}$
,$x_1 x_2 = ⑥$
$\frac{c}{a}$
一般形式: $ax^2 + bx + c = 0$
$(a,b,c为常数,a≠0)$
配方法
公式法
根的判别式
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta ＞ 0 \iff 方程有①$
两个不相等
的实数根$\Delta = 0 \iff 方程有②$
两个相等
的实数根$\Delta ＜ 0 \iff 方程③$
没有
实数根求根公式
$x = ④$
$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
答案
①两个不相等 ②两个相等 ③没有 ④$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ⑤$-\frac{b}{a}$ ⑥$\frac{c}{a}$
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的核心基础知识点，解题时只需对应回忆相关概念即可：首先回忆根的判别式与根的个数的对应关系，其次回忆配方法推导得到的求根公式，最后回忆根与系数关系的公式，逐一对应填空即可。
【解析】
结合一元二次方程的相关概念逐一填空：
1. 根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的意义：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故①填“两个不相等”；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根，故②填“两个相等”；
当$\Delta＜0$时，$\sqrt{b^2-4ac}$在实数范围内无意义，方程没有实数根，故③填“没有”；
2. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，故④填该式；
3. 当$\Delta≥0$时，一元二次方程两根满足根与系数的关系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，故⑤填$-\frac{b}{a}$，⑥填$\frac{c}{a}$。
【答案】
①两个不相等 ②两个相等 ③没有 ④$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ⑤$-\frac{b}{a}$ ⑥$\frac{c}{a}$
【知识点】
根的判别式；求根公式；根与系数的关系
【点评】
本题是对一元二次方程基础概念的考察，所涉及的知识点均是一元二次方程模块的核心基础内容，是后续求解一元二次方程、解决相关应用问题的必备知识，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程的核心基础知识点，解题时只需对应回忆相关概念即可：首先回忆根的判别式与根的个数的对应关系，其次回忆配方法推导得到的求根公式，最后回忆根与系数关系的公式，逐一对应填空即可。
【解析】
结合一元二次方程的相关概念逐一填空：
1. 根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的意义：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故①填“两个不相等”；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根，故②填“两个相等”；
当$\Delta＜0$时，$\sqrt{b^2-4ac}$在实数范围内无意义，方程没有实数根，故③填“没有”；
2. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，故④填该式；
3. 当$\Delta≥0$时，一元二次方程两根满足根与系数的关系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，故⑤填$-\frac{b}{a}$，⑥填$\frac{c}{a}$。
【答案】
①两个不相等 ②两个相等 ③没有 ④$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ⑤$-\frac{b}{a}$ ⑥$\frac{c}{a}$
【知识点】
根的判别式；求根公式；根与系数的关系
【点评】
本题是对一元二次方程基础概念的考察，所涉及的知识点均是一元二次方程模块的核心基础内容，是后续求解一元二次方程、解决相关应用问题的必备知识，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
1. 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是（
A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 + y + 3 = 0$
C.$x + \frac{1}{x} = 2$
D.$(x - 1)(x + 2) = 0$
D
）A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 + y + 3 = 0$
C.$x + \frac{1}{x} = 2$
D.$(x - 1)(x + 2) = 0$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为关于x的一元二次方程，需紧扣一元二次方程的三个核心判定条件：1. 是整式方程；2. 只含有x这一个未知数；3. 未知数x的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需逐个对照条件排查各选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$ax^2+bx+c=0$未明确说明$a≠0$，当$a=0$时方程为一元一次方程，不符合一元二次方程的要求，故A错误；
B选项：$x^2+y+3=0$含有x、y两个未知数，属于二元方程，不满足“只含一个未知数”的要求，故B错误；
C选项：$x+\frac{1}{x}=2$的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，故C错误；
D选项：将$(x-1)(x+2)=0$展开得$x^2+x-2=0$，该方程是整式方程，只含x一个未知数，且x的最高次数为2，二次项系数为1不为0，完全符合一元二次方程的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元二次方程判定条件的掌握，解题时要注意不要遗漏“二次项系数不为0”“是整式方程”这些容易被忽略的隐含要求，逐个排查即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为关于x的一元二次方程，需紧扣一元二次方程的三个核心判定条件：1. 是整式方程；2. 只含有x这一个未知数；3. 未知数x的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需逐个对照条件排查各选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$ax^2+bx+c=0$未明确说明$a≠0$，当$a=0$时方程为一元一次方程，不符合一元二次方程的要求，故A错误；
B选项：$x^2+y+3=0$含有x、y两个未知数，属于二元方程，不满足“只含一个未知数”的要求，故B错误；
C选项：$x+\frac{1}{x}=2$的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，故C错误；
D选项：将$(x-1)(x+2)=0$展开得$x^2+x-2=0$，该方程是整式方程，只含x一个未知数，且x的最高次数为2，二次项系数为1不为0，完全符合一元二次方程的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元二次方程判定条件的掌握，解题时要注意不要遗漏“二次项系数不为0”“是整式方程”这些容易被忽略的隐含要求，逐个排查即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 已知$(m-1)x^{|m|+1} -3x +1=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m=$
$-1$
。答案
2.$-1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，方程不再是二次方程）。我们只需根据这两个条件分别列出关于m的关系式，求解后筛选出同时满足两个条件的m值即可。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{|m|+1} -3x +1=0$是关于$x$的一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即：
$\begin{aligned}|m|+1&=2\\|m|&=1\\m&=\pm1\end{aligned}$
2. 二次项系数不为0，即：
$\begin{aligned}m-1&≠0\\m&≠1\end{aligned}$
结合两个条件，排除$m=1$，可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础应用题，是易错题，解题时容易遗漏“二次项系数不为0”的隐含条件，导致误得$m=\pm1$，做这类题时要注意验证所有约束条件，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，方程不再是二次方程）。我们只需根据这两个条件分别列出关于m的关系式，求解后筛选出同时满足两个条件的m值即可。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{|m|+1} -3x +1=0$是关于$x$的一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即：
$\begin{aligned}|m|+1&=2\\|m|&=1\\m&=\pm1\end{aligned}$
2. 二次项系数不为0，即：
$\begin{aligned}m-1&≠0\\m&≠1\end{aligned}$
结合两个条件，排除$m=1$，可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础应用题，是易错题，解题时容易遗漏“二次项系数不为0”的隐含条件，导致误得$m=\pm1$，做这类题时要注意验证所有约束条件，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
3.若a是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，则$-2a^2 +4a +3$的值为
$1$
.答案
3.$1$
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程后等式成立，因此将x=a代入方程可得到关于a的等式。观察所求代数式的结构，发现其含a的项与得到的等式中的含a的项存在倍数关系，因此不需要求解a的具体值，通过整体代入的方法即可快速求出代数式的值。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 2a - 1 = 0$，
移项可得：$a^2 - 2a = 1$。
对所求代数式变形：
$-2a^2 +4a +3 = -2(a^2 - 2a) + 3$，
将$a^2 - 2a =1$代入上式：
原式$= -2×1 + 3 = -2 + 3 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的根的定义，整体代入求值
【点评】
本题属于基础常考题型，解题关键是灵活运用方程根的性质，通过整体代入的思路简化计算，避免了求解方程根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程后等式成立，因此将x=a代入方程可得到关于a的等式。观察所求代数式的结构，发现其含a的项与得到的等式中的含a的项存在倍数关系，因此不需要求解a的具体值，通过整体代入的方法即可快速求出代数式的值。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 2a - 1 = 0$，
移项可得：$a^2 - 2a = 1$。
对所求代数式变形：
$-2a^2 +4a +3 = -2(a^2 - 2a) + 3$，
将$a^2 - 2a =1$代入上式：
原式$= -2×1 + 3 = -2 + 3 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的根的定义，整体代入求值
【点评】
本题属于基础常考题型，解题关键是灵活运用方程根的性质，通过整体代入的思路简化计算，避免了求解方程根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
4.(2024·东营)用配方法解一元二次方程$x^2 -2x -2023=0$，将它转化为$(x+a)^2 =b$的形式，则$a^b$的值为（
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$
D
）A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：先移项把常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将方程左边凑成完全平方式，整理为$(x+a)^2=b$的形式后确定$a$、$b$的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
对原方程$x^2 -2x -2023=0$进行配方法操作：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 2x = 2023$
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给方程两边同时加1：
$x^2 - 2x +1 = 2023 +1$
左边整理为完全平方式得：$(x-1)^2=2024$
对比$(x+a)^2=b$的形式，可得$a=-1$，$b=2024$
3. 计算$a^b$：$a^b=(-1)^{2024}=1$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，有理数的乘方
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，需要熟练掌握配方法的操作步骤，同时要注意负数乘方的符号判断规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：先移项把常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将方程左边凑成完全平方式，整理为$(x+a)^2=b$的形式后确定$a$、$b$的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
对原方程$x^2 -2x -2023=0$进行配方法操作：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 2x = 2023$
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给方程两边同时加1：
$x^2 - 2x +1 = 2023 +1$
左边整理为完全平方式得：$(x-1)^2=2024$
对比$(x+a)^2=b$的形式，可得$a=-1$，$b=2024$
3. 计算$a^b$：$a^b=(-1)^{2024}=1$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，有理数的乘方
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，需要熟练掌握配方法的操作步骤，同时要注意负数乘方的符号判断规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
5. 如图所示的是一个简单的计算程序，如果输出的数值为-10，那么输入x的值为
$\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$
。答案
5.$\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
首先要根据计算程序的运算顺序，写出输出结果关于输入x的代数式，再结合输出数值为-10的条件列出一元二次方程，最后用直接开平方法求解方程即可得到x的值。思考时要注意运算顺序不能出错，开平方时不要漏了负的平方根，避免漏解。
【解析】
根据计算程序的运算顺序，可得输出结果的表达式为：$-2(x+1)^2$
已知输出数值为-10，因此列方程：
$-2(x+1)^2 = -10$
方程两边同时除以$-2$，得：
$(x+1)^2 = 5$
两边直接开平方，得：
$x+1 = \pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=\sqrt{5}-1$，$x_2=-\sqrt{5}-1$
【答案】
$\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$
【知识点】
列代数式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是程序运算类的基础题，解题的核心是正确理解运算顺序列出对应的方程，求解时要注意正数的平方根有两个，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
首先要根据计算程序的运算顺序，写出输出结果关于输入x的代数式，再结合输出数值为-10的条件列出一元二次方程，最后用直接开平方法求解方程即可得到x的值。思考时要注意运算顺序不能出错，开平方时不要漏了负的平方根，避免漏解。
【解析】
根据计算程序的运算顺序，可得输出结果的表达式为：$-2(x+1)^2$
已知输出数值为-10，因此列方程：
$-2(x+1)^2 = -10$
方程两边同时除以$-2$，得：
$(x+1)^2 = 5$
两边直接开平方，得：
$x+1 = \pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=\sqrt{5}-1$，$x_2=-\sqrt{5}-1$
【答案】
$\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$
【知识点】
列代数式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是程序运算类的基础题，解题的核心是正确理解运算顺序列出对应的方程，求解时要注意正数的平方根有两个，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
6. 解方程：
(1) $2x^2 - 4x - 5 = 0$。
(2) $5x(3x + 2) = 6x + 4$。
(1) $2x^2 - 4x - 5 = 0$。
(2) $5x(3x + 2) = 6x + 4$。
答案
6.解:(1)这里$a=2,b=-4,c=-5. \because \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-5)=56＞0, \therefore x=\frac{4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}. \therefore x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}.$
(2)$5x(3x+2)-2(3x+2)=0,(3x+2)(5x-2)=0. \therefore 3x+2=0$或$5x-2=0. \therefore x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{2}{5}.$
(2)$5x(3x+2)-2(3x+2)=0,(3x+2)(5x-2)=0. \therefore 3x+2=0$或$5x-2=0. \therefore x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{2}{5}.$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程特征选择合适的解法：(1)第一个方程左边无法直接因式分解，适合用公式法求解，解题时先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算判别式Δ判断根的情况，最后代入求根公式计算即可；(2)第二个方程右边可变形为2(3x+2)，移项后左右两边有公因式(3x+2)，适合用因式分解法求解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - 4x - 5 = 0$，
可知$a=2$，$b=-4$，$c=-5$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2 - 4×2×(-5)=16 + 40=56＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$，
即$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$。
(2) 对于方程$5x(3x + 2) = 6x + 4$，
将右边变形后移项得：$5x(3x+2)-2(3x+2)=0$，
提取公因式得：$(3x+2)(5x-2)=0$，
则$3x+2=0$或$5x-2=0$，
分别解得：$x_1=-\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$；(2) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{2}{5}$
【知识点】
一元二次方程公式法；一元二次方程因式分解法；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是根据方程的结构特征灵活选择简便解法，使用公式法时要注意先确定系数的符号，使用因式分解法时要注意先将方程整理为右边为0的形式再分解因式，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程特征选择合适的解法：(1)第一个方程左边无法直接因式分解，适合用公式法求解，解题时先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算判别式Δ判断根的情况，最后代入求根公式计算即可；(2)第二个方程右边可变形为2(3x+2)，移项后左右两边有公因式(3x+2)，适合用因式分解法求解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - 4x - 5 = 0$，
可知$a=2$，$b=-4$，$c=-5$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2 - 4×2×(-5)=16 + 40=56＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$，
即$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$。
(2) 对于方程$5x(3x + 2) = 6x + 4$，
将右边变形后移项得：$5x(3x+2)-2(3x+2)=0$，
提取公因式得：$(3x+2)(5x-2)=0$，
则$3x+2=0$或$5x-2=0$，
分别解得：$x_1=-\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$；(2) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{2}{5}$
【知识点】
一元二次方程公式法；一元二次方程因式分解法；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是根据方程的结构特征灵活选择简便解法，使用公式法时要注意先确定系数的符号，使用因式分解法时要注意先将方程整理为右边为0的形式再分解因式，避免漏解。
【难度系数】
0.8
7.(2025·山东)若关于x的一元二次方程$x^2 +4x -m=0$有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
$m＞-4$
。答案
7.$m＞-4$
解析
【分析】
要解决一元二次方程实数根个数的问题，需利用一元二次方程根的判别式Δ与根的对应关系求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。首先确定本题中方程的$a、b、c$的值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$x^2+4x-m=0$有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，可得$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=4$，$c=-m$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=4^2-4×1×(-m)=16+4m$
列不等式：$16+4m＞0$
解不等式：
移项得$4m＞-16$
两边同时除以4得$m＞-4$
【答案】
$m＞-4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，解题时注意代入常数项时符号不要出错，正确求解不等式即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决一元二次方程实数根个数的问题，需利用一元二次方程根的判别式Δ与根的对应关系求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。首先确定本题中方程的$a、b、c$的值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$x^2+4x-m=0$有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，可得$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=4$，$c=-m$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=4^2-4×1×(-m)=16+4m$
列不等式：$16+4m＞0$
解不等式：
移项得$4m＞-16$
两边同时除以4得$m＞-4$
【答案】
$m＞-4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，解题时注意代入常数项时符号不要出错，正确求解不等式即可得分。
【难度系数】
0.8
8.若$m,n$是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的两个实数根，则$m+(n-2)^2$的值为
$7$
。答案
8.$7$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件明确两个方向：①一元二次方程的根满足方程本身，可用于降次化简；②一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可直接求两根之和。先将所求式子中的完全平方展开，再利用根的定义把n的二次项替换为一次式，整理后式子会出现m+n的形式，最后代入韦达定理的结论即可求出结果，无需直接求解m、n的具体值，能简化计算。
【解析】
解：
∵m，n是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根的定义，将x=n代入方程得：$n^2 -5n +2=0$，即$n^2=5n-2$，
根据根与系数的关系得：$m+n=-\frac{b}{a}=5$。
对所求式子化简：
$m+(n-2)^2 = m + n^2 -4n +4$
将$n^2=5n-2$代入上式：
$= m + (5n -2) -4n +4$
$= m +n +2$
再将$m+n=5$代入得：
$=5+2=7$
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，解题核心是利用根的定义实现降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求根的繁琐计算，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件明确两个方向：①一元二次方程的根满足方程本身，可用于降次化简；②一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可直接求两根之和。先将所求式子中的完全平方展开，再利用根的定义把n的二次项替换为一次式，整理后式子会出现m+n的形式，最后代入韦达定理的结论即可求出结果，无需直接求解m、n的具体值，能简化计算。
【解析】
解：
∵m，n是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根的定义，将x=n代入方程得：$n^2 -5n +2=0$，即$n^2=5n-2$，
根据根与系数的关系得：$m+n=-\frac{b}{a}=5$。
对所求式子化简：
$m+(n-2)^2 = m + n^2 -4n +4$
将$n^2=5n-2$代入上式：
$= m + (5n -2) -4n +4$
$= m +n +2$
再将$m+n=5$代入得：
$=5+2=7$
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，解题核心是利用根的定义实现降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求根的繁琐计算，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
9.如图，O是$△ ABC$三条角平分线的交点，过点O作$DE// BC$，分别交AB，AC于D，E两点。设$BD=a$，$DE=b$，$CE=c$，则关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的说法正确的是（
A.一定有两个相等的实数根
B.一定有两个不相等的实数根
C.有两个实数根
D.没有实数根
C
）A.一定有两个相等的实数根
B.一定有两个不相等的实数根
C.有两个实数根
D.没有实数根
答案
9.C
解析
【分析】
解题可分为两个步骤：第一步先结合角平分线和平行线的性质推导a、b、c的数量关系：O是△ABC的角平分线交点，因此BO平分∠ABC、CO平分∠ACB，再结合DE//BC的内错角相等，可证得△DBO和△ECO都是等腰三角形，得到DO=BD=a、EO=CE=c，因此DE=DO+EO，即b=a+c；第二步将b=a+c代入一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac，化简后根据结果的符号判断根的情况即可。
【解析】
1. 推导a、b、c的数量关系：
∵ O是△ABC三条角平分线的交点，
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB。
∵ DE//BC，根据两直线平行，内错角相等，可得：
∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴ ∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，
根据等角对等边，得：DO=BD=a，EO=CE=c。
又
∵ DE=DO+EO=b，
∴ b=a+c。
2. 判断方程根的情况：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，二次项系数a是线段BD的长度，故$a＞0$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，将$b=a+c$代入得：
$\Delta=(a+c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=(a-c)^2$。
由平方的非负性可知$(a-c)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
因此该方程有两个实数根：当$a=c$时，$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；当$a≠ c$时，$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是几何与代数的综合题，解题关键是利用角平分线和平行线的性质推导出三条线段的数量关系，再结合一元二次方程根的判别式判断结果，要求学生熟练掌握等腰三角形判定和根的判别式的相关知识。
【难度系数】
0.6
解题可分为两个步骤：第一步先结合角平分线和平行线的性质推导a、b、c的数量关系：O是△ABC的角平分线交点，因此BO平分∠ABC、CO平分∠ACB，再结合DE//BC的内错角相等，可证得△DBO和△ECO都是等腰三角形，得到DO=BD=a、EO=CE=c，因此DE=DO+EO，即b=a+c；第二步将b=a+c代入一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac，化简后根据结果的符号判断根的情况即可。
【解析】
1. 推导a、b、c的数量关系：
∵ O是△ABC三条角平分线的交点，
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB。
∵ DE//BC，根据两直线平行，内错角相等，可得：
∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴ ∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，
根据等角对等边，得：DO=BD=a，EO=CE=c。
又
∵ DE=DO+EO=b，
∴ b=a+c。
2. 判断方程根的情况：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，二次项系数a是线段BD的长度，故$a＞0$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，将$b=a+c$代入得：
$\Delta=(a+c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=(a-c)^2$。
由平方的非负性可知$(a-c)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
因此该方程有两个实数根：当$a=c$时，$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；当$a≠ c$时，$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是几何与代数的综合题，解题关键是利用角平分线和平行线的性质推导出三条线段的数量关系，再结合一元二次方程根的判别式判断结果，要求学生熟练掌握等腰三角形判定和根的判别式的相关知识。
【难度系数】
0.6
