登录
10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,若$2x_1x_2=x_1+x_2+1$,求$k$的值.
(1)求$k$的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,若$2x_1x_2=x_1+x_2+1$,求$k$的值.
答案
10.解:(1)$\because$方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有实数根,$\therefore \Delta=(2k+1)^2-4k^2≥0. \therefore k≥-\frac{1}{4}.$
(2)根据题意,得$x_1+x_2=-2k-1,x_1x_2=k^2. \because 2x_1x_2=x_1+x_2+1,\therefore 2k^2=-2k-1+1,$即$k^2+k=0. \therefore k=0$或$k=-1. \because k≥-\frac{1}{4},\therefore k=0.$
(2)根据题意,得$x_1+x_2=-2k-1,x_1x_2=k^2. \because 2x_1x_2=x_1+x_2+1,\therefore 2k^2=-2k-1+1,$即$k^2+k=0. \therefore k=0$或$k=-1. \because k≥-\frac{1}{4},\therefore k=0.$
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有实数根，可利用根的判别式的性质求解：当Δ≥0时，一元二次方程有实数根。本题中方程二次项系数为1≠0，直接代入判别式公式Δ=b²-4ac≥0，解关于k的不等式即可得到k的取值范围。
（2）题目给出两根的数量关系，需用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出两根之和、两根之积的表达式，代入给定的等式得到关于k的方程，求解后结合第（1）问的k的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到最终k值。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (2k+1)^2 - 4×1× k^2 ≥ 0$，
展开化简得：$4k+1≥0$，
解得：$k≥-\frac{1}{4}$。
(2) 根据根与系数的关系，方程两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-(2k+1)=-2k-1$，$x_1x_2=k^2$，
∵ $2x_1x_2=x_1+x_2+1$，
代入得：$2k^2=-2k-1+1$，
整理得：$k^2+k=0$，
解得：$k=0$或$k=-1$，
结合(1)中$k≥-\frac{1}{4}$的范围，$k=-1$不符合要求，舍去，
故$k=0$。
【答案】
(1) $k≥-\frac{1}{4}$；(2) $k=0$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，核心考查根的判别式和根与系数关系的应用，解题时需注意，运用根与系数关系的前提是方程有实根，因此求出参数解后要结合判别式的取值范围进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有实数根，可利用根的判别式的性质求解：当Δ≥0时，一元二次方程有实数根。本题中方程二次项系数为1≠0，直接代入判别式公式Δ=b²-4ac≥0，解关于k的不等式即可得到k的取值范围。
（2）题目给出两根的数量关系，需用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出两根之和、两根之积的表达式，代入给定的等式得到关于k的方程，求解后结合第（1）问的k的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到最终k值。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (2k+1)^2 - 4×1× k^2 ≥ 0$，
展开化简得：$4k+1≥0$，
解得：$k≥-\frac{1}{4}$。
(2) 根据根与系数的关系，方程两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-(2k+1)=-2k-1$，$x_1x_2=k^2$，
∵ $2x_1x_2=x_1+x_2+1$，
代入得：$2k^2=-2k-1+1$，
整理得：$k^2+k=0$，
解得：$k=0$或$k=-1$，
结合(1)中$k≥-\frac{1}{4}$的范围，$k=-1$不符合要求，舍去，
故$k=0$。
【答案】
(1) $k≥-\frac{1}{4}$；(2) $k=0$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，核心考查根的判别式和根与系数关系的应用，解题时需注意，运用根与系数关系的前提是方程有实根，因此求出参数解后要结合判别式的取值范围进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
11.(2025·广元)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的$\frac{2}{5}$，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为$x$ m，则可列方程为 (
A.$(12-x)(10-x)=12×10×\frac{2}{5}$
B.$(12-2x)(10-x)=12×10×\frac{2}{5}$
C.$(12-x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$
D.$(12-2x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$
D
)A.$(12-x)(10-x)=12×10×\frac{2}{5}$
B.$(12-2x)(10-x)=12×10×\frac{2}{5}$
C.$(12-x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$
D.$(12-2x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$
答案
11.D
解析
【分析】
解题时首先要明确花卉带在矩形地面的四周，宽度均为x，因此中间草坪的长和宽都要在原矩形的长和宽基础上减去左右、上下两个方向的花卉带宽度。再根据“草坪的面积为总面积的$\frac{2}{5}$”这个等量关系，列出对应的方程即可匹配选项。
第一步：推导草坪的长：原矩形长12m，左右两侧各有宽度为x的花卉带，因此草坪长为$(12-2x)$m；
第二步：推导草坪的宽：原矩形宽10m，上下两侧各有宽度为x的花卉带，因此草坪宽为$(10-2x)$m；
第三步：计算草坪面积的两种表达：①用草坪长乘宽得$(12-2x)(10-2x)$；②用总面积乘$\frac{2}{5}$得$12×10×\frac{2}{5}$，联立两个表达式即可得到方程。
【解析】
解：已知花卉带宽度为$x$ m，
∵花卉带种植在矩形四周，
∴中间草坪的长为$(12-2x)$m，宽为$(10-2x)$m，
矩形地面总面积为$12×10$ $\mathrm{m}^2$，
由题意“草坪的面积为总面积的$\frac{2}{5}$”，可得等量关系：
草坪面积 = 总面积×$\frac{2}{5}$
即$(12-2x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、面积等量关系
【点评】
本题属于常见的几何图形面积类方程应用题，解题的核心是正确推导内部图形的长、宽表达式，要注意四周均有边框（花卉带）时，原图形的长、宽都需要减去2倍的边框宽度，避免只减单侧宽度造成错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确花卉带在矩形地面的四周，宽度均为x，因此中间草坪的长和宽都要在原矩形的长和宽基础上减去左右、上下两个方向的花卉带宽度。再根据“草坪的面积为总面积的$\frac{2}{5}$”这个等量关系，列出对应的方程即可匹配选项。
第一步：推导草坪的长：原矩形长12m，左右两侧各有宽度为x的花卉带，因此草坪长为$(12-2x)$m；
第二步：推导草坪的宽：原矩形宽10m，上下两侧各有宽度为x的花卉带，因此草坪宽为$(10-2x)$m；
第三步：计算草坪面积的两种表达：①用草坪长乘宽得$(12-2x)(10-2x)$；②用总面积乘$\frac{2}{5}$得$12×10×\frac{2}{5}$，联立两个表达式即可得到方程。
【解析】
解：已知花卉带宽度为$x$ m，
∵花卉带种植在矩形四周，
∴中间草坪的长为$(12-2x)$m，宽为$(10-2x)$m，
矩形地面总面积为$12×10$ $\mathrm{m}^2$，
由题意“草坪的面积为总面积的$\frac{2}{5}$”，可得等量关系：
草坪面积 = 总面积×$\frac{2}{5}$
即$(12-2x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、面积等量关系
【点评】
本题属于常见的几何图形面积类方程应用题，解题的核心是正确推导内部图形的长、宽表达式，要注意四周均有边框（花卉带）时，原图形的长、宽都需要减去2倍的边框宽度，避免只减单侧宽度造成错误。
【难度系数】
0.8
12. 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现:搭建一个面积为$x$公顷的大棚,所需建设费用(单位:万元)与$x+2$成正比例,比例系数为0.6;内部设备费用(单位:万元)与$x^2$成正比例,比例系数为2.某农户新建了一个大棚,投入的总费用为4.8万元,则该农户新建的这个大棚的面积为
$1.2$
公顷.(总费用=建设费用+内部设备费用)答案
12.$1.2$
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的正比例关系，分别写出建设费用、内部设备费用的代数式，再依据“总费用=建设费用+内部设备费用”的等量关系列出关于x的一元二次方程，最后求解方程，结合大棚面积为正数的实际意义舍去不符合要求的负根，即可得到正确结果。
【解析】
根据题意可知：
建设费用为$0.6(x+2)$万元，内部设备费用为$2x^2$万元。
由总费用为4.8万元，可列方程：
$2x^2 + 0.6(x+2) = 4.8$
整理方程：
$2x^2 + 0.6x + 1.2 = 4.8$
$2x^2 + 0.6x - 3.6 = 0$
两边同乘10消去小数得：$20x^2 + 6x - 36 = 0$
化简得：$10x^2 + 3x - 18 = 0$
计算判别式$\Delta = 3^2 - 4×10×(-18) = 9 + 720 = 729 = 27^2$
由求根公式得：$x = \frac{-3\pm27}{2×10}$
因为大棚面积$x＞0$，故舍去负根：
$x = \frac{-3 + 27}{20} = \frac{24}{20} = 1.2$
【答案】
$1.2$
【知识点】
列一元二次方程解应用题；正比例的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是准确理解题意找准等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题目给出的正比例关系，分别写出建设费用、内部设备费用的代数式，再依据“总费用=建设费用+内部设备费用”的等量关系列出关于x的一元二次方程，最后求解方程，结合大棚面积为正数的实际意义舍去不符合要求的负根，即可得到正确结果。
【解析】
根据题意可知：
建设费用为$0.6(x+2)$万元，内部设备费用为$2x^2$万元。
由总费用为4.8万元，可列方程：
$2x^2 + 0.6(x+2) = 4.8$
整理方程：
$2x^2 + 0.6x + 1.2 = 4.8$
$2x^2 + 0.6x - 3.6 = 0$
两边同乘10消去小数得：$20x^2 + 6x - 36 = 0$
化简得：$10x^2 + 3x - 18 = 0$
计算判别式$\Delta = 3^2 - 4×10×(-18) = 9 + 720 = 729 = 27^2$
由求根公式得：$x = \frac{-3\pm27}{2×10}$
因为大棚面积$x＞0$，故舍去负根：
$x = \frac{-3 + 27}{20} = \frac{24}{20} = 1.2$
【答案】
$1.2$
【知识点】
列一元二次方程解应用题；正比例的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是准确理解题意找准等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
13. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗. 某甜品店在今年中秋节推出一种冰激凌月饼，以150元/盒的价格售出该口味月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒.
(1)求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率.
(2)经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平. 现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式(售价低于150元/盒)，经过调查发现，该口味月饼每盒每降价10元，周销售量就增加3盒. 已知该口味月饼的成本价为100元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售该口味月饼可获利2340元？
(1)求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率.
(2)经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平. 现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式(售价低于150元/盒)，经过调查发现，该口味月饼每盒每降价10元，周销售量就增加3盒. 已知该口味月饼的成本价为100元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售该口味月饼可获利2340元？
答案
13.解:(1)设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为$x$.根据题意,得$50(1+x)^2=72$,解得$x_1=-2.2$(不合题意,舍去),$x_2=0.2=20\%$.答:第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为$20\%$.
(2)设该口味月饼每盒降价$y$元.根据题意,得$(150-y-100)(72+\frac{3y}{10})=2340$,解得$y_1=-210$(不合题意,舍去),$y_2=20$.答:当该口味月饼每盒降价20元时,该店铺第四周销售该口味月饼可获利2340元.
(2)设该口味月饼每盒降价$y$元.根据题意,得$(150-y-100)(72+\frac{3y}{10})=2340$,解得$y_1=-210$(不合题意,舍去),$y_2=20$.答:当该口味月饼每盒降价20元时,该店铺第四周销售该口味月饼可获利2340元.
解析
【分析】
(1)本题属于增长率类应用题，核心公式为：初始量×(1+周平均增长率)ⁿ=增长n次后的最终量。本题初始量是第一周的销量50盒，经过2次增长后得到第三周销量72盒，设周平均增长率为x，代入公式列方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际意义的根。
(2)本题属于销售利润类应用题，核心等量关系为：总利润=单盒利润×销售总量。其中单盒利润=原售价-成本价-降价金额，销售总量=第三周销量+降价带来的销量增量，已知每降价10元销量增加3盒，可推出降价y元时销量增量为$\frac{3y}{10}$盒，代入总利润2340元的条件列方程，同样舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
(1)设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$50(1+x)^2=72$
解得：$x_1=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去），$x_2=0.2=20\%$。
(2)设该口味月饼每盒降价$y$元。
单盒利润为$(150-y-100)$元，降价后总销售量为$(72+\frac{3y}{10})$盒，根据总利润为2340元列方程：
$(150-y-100)(72+\frac{3y}{10})=2340$
解得：$y_1=-210$（降价金额不能为负，不合题意，舍去），$y_2=20$，符合售价低于150元的要求。
【答案】
(1)第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为$\boldsymbol{20\%}$；
(2)当该口味月饼每盒降价$\boldsymbol{20}$元时，该店铺第四周销售该口味月饼可获利2340元。
【知识点】
1. 一元二次方程增长率应用
2. 一元二次方程销售利润应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，覆盖了增长率、销售利润两类高频考点，解题关键是准确梳理题干等量关系列方程，同时要结合实际情况对解进行取舍，题目贴近生活实际，能有效锻炼学生用数学知识解决现实问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1)本题属于增长率类应用题，核心公式为：初始量×(1+周平均增长率)ⁿ=增长n次后的最终量。本题初始量是第一周的销量50盒，经过2次增长后得到第三周销量72盒，设周平均增长率为x，代入公式列方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际意义的根。
(2)本题属于销售利润类应用题，核心等量关系为：总利润=单盒利润×销售总量。其中单盒利润=原售价-成本价-降价金额，销售总量=第三周销量+降价带来的销量增量，已知每降价10元销量增加3盒，可推出降价y元时销量增量为$\frac{3y}{10}$盒，代入总利润2340元的条件列方程，同样舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
(1)设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$50(1+x)^2=72$
解得：$x_1=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去），$x_2=0.2=20\%$。
(2)设该口味月饼每盒降价$y$元。
单盒利润为$(150-y-100)$元，降价后总销售量为$(72+\frac{3y}{10})$盒，根据总利润为2340元列方程：
$(150-y-100)(72+\frac{3y}{10})=2340$
解得：$y_1=-210$（降价金额不能为负，不合题意，舍去），$y_2=20$，符合售价低于150元的要求。
【答案】
(1)第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为$\boldsymbol{20\%}$；
(2)当该口味月饼每盒降价$\boldsymbol{20}$元时，该店铺第四周销售该口味月饼可获利2340元。
【知识点】
1. 一元二次方程增长率应用
2. 一元二次方程销售利润应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，覆盖了增长率、销售利润两类高频考点，解题关键是准确梳理题干等量关系列方程，同时要结合实际情况对解进行取舍，题目贴近生活实际，能有效锻炼学生用数学知识解决现实问题的能力。
【难度系数】
0.7
14. NEW 新考向·新定义问题 定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$($a,b,c$均为常数,$a≠0$)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m - 2 = 0$是“邻根方程”,求$m$的值.
答案
14.解:设方程的两根为$x_1,x_2$.依题意,得“邻根方程”$x^2-3x+m-2=0$的根满足$|x_2-x_1|=1,\therefore (x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1.$由根与系数的关系可得,$x_1+x_2=3,x_1x_2=m-2,\therefore 3^2-4(m-2)=1,$解得$m=4.$
解析
【分析】
首先解读“邻根方程”的新定义：方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，可转化为两根之差的绝对值等于1。要计算参数m的值，无需直接求出方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算：根据完全平方公式的变形，两根差的平方可表示为两根和的平方减去4倍两根乘积，再代入韦达定理得到的两根之和、两根之积，即可构造出关于m的方程，解方程后验证结果满足方程有两个实根的要求即可。
【解析】
解：设方程$x^2 - 3x + m - 2 = 0$的两根为$x_1,x_2$。
根据“邻根方程”的定义，两根满足$\left|x_2 - x_1\right| = 1$，
等式两边平方得：$(x_2 - x_1)^2 = 1$，
由完全平方公式变形可得：$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
因此有$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = m - 2$，
代入上式得：$3^2 - 4(m - 2) = 1$，
计算得：$9 - 4m + 8 = 1$，
整理得：$-4m = -16$，
解得：$m = 4$。
验证：当$m=4$时，原方程的判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(4-2) = 1 ＞ 0$，符合方程有两个实数根的要求。
【答案】
$m=4$
【知识点】
1. 新定义问题
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，解题的核心是准确理解新定义的内涵，将陌生的定义转化为已学的两根数量关系，再结合韦达定理建立方程求解，同时要注意验证所求参数是否满足原方程有两个实数根的前提，这类题能很好地考查学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
首先解读“邻根方程”的新定义：方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，可转化为两根之差的绝对值等于1。要计算参数m的值，无需直接求出方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算：根据完全平方公式的变形，两根差的平方可表示为两根和的平方减去4倍两根乘积，再代入韦达定理得到的两根之和、两根之积，即可构造出关于m的方程，解方程后验证结果满足方程有两个实根的要求即可。
【解析】
解：设方程$x^2 - 3x + m - 2 = 0$的两根为$x_1,x_2$。
根据“邻根方程”的定义，两根满足$\left|x_2 - x_1\right| = 1$，
等式两边平方得：$(x_2 - x_1)^2 = 1$，
由完全平方公式变形可得：$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
因此有$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = m - 2$，
代入上式得：$3^2 - 4(m - 2) = 1$，
计算得：$9 - 4m + 8 = 1$，
整理得：$-4m = -16$，
解得：$m = 4$。
验证：当$m=4$时，原方程的判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(4-2) = 1 ＞ 0$，符合方程有两个实数根的要求。
【答案】
$m=4$
【知识点】
1. 新定义问题
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，解题的核心是准确理解新定义的内涵，将陌生的定义转化为已学的两根数量关系，再结合韦达定理建立方程求解，同时要注意验证所求参数是否满足原方程有两个实数根的前提，这类题能很好地考查学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
