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4. 小明在数学课上动手操作:他先画了一个长方形,长是13厘米,宽是8厘米。
(1) 从这张长方形纸上剪下一个最大的正方形,剩下小长方形的长和宽分别是多少厘米? 重复上述操作,完成下面的记录表。(除不尽的得数保留三位小数)
(2) 观察每次得到的小长方形宽与长的比值,你发现了什么?
(1) 从这张长方形纸上剪下一个最大的正方形,剩下小长方形的长和宽分别是多少厘米? 重复上述操作,完成下面的记录表。(除不尽的得数保留三位小数)
(2) 观察每次得到的小长方形宽与长的比值,你发现了什么?
答案
4. (1) 3÷5=0.6 3 3 2 2÷3≈0.667 2 2 1 1÷2=0.5
(2) 每次得到的小长方形宽与长的比值在0.6附近上下波动,这些边长序列正好是斐波那契数列的连续项,相邻两项的比值天然趋近于黄金比。(合理即可)
(2) 每次得到的小长方形宽与长的比值在0.6附近上下波动,这些边长序列正好是斐波那契数列的连续项,相邻两项的比值天然趋近于黄金比。(合理即可)
解析
【分析】
（1）解决填表问题的核心是明确操作规则：每次从长方形中剪下的最大正方形的边长等于当前长方形的宽；裁剪后剩余小长方形的长等于原长方形的宽，宽等于原长方形的长减去宽，再用剩余长方形的宽除以长得到比值，除不尽的保留三位小数即可。
（2）第二问只需观察每次计算出的比值的变化特点，总结规律即可。
【解析】
（1）按操作规则依次计算：
①操作2次时，剩余长方形长5cm、宽3cm，比值为$3÷5=0.6$；
②操作3次时，剪掉的正方形边长等于当前长方形的宽3cm，剩余长方形的长是3cm，宽是$5-3=2$cm，比值为$2÷3\approx0.667$；
③操作4次时，剪掉的正方形边长等于当前长方形的宽2cm，剩余长方形的长是2cm，宽是$3-2=1$cm，比值为$1÷2=0.5$。
（2）观察得到的比值：0.615、0.625、0.6、0.667、0.5，可发现这些比值都在0.6附近上下波动，随着操作次数增加，相邻边长的比值会逐渐趋近于黄金比0.618。
【答案】
(1) 操作2行比值：$3÷5=0.6$；操作3行依次填：3，3，2，$2÷3\approx0.667$；操作4行依次填：2，2，1，$1÷2=0.5$
(2) 每次得到的小长方形宽与长的比值在0.6附近上下波动，这些边长序列正好是斐波那契数列的连续项，相邻两项的比值天然趋近于黄金比。（合理即可）
【知识点】
1. 图形裁剪
2. 求比值
3. 黄金比认识
【点评】
这道题将动手操作和数学计算结合，既考查了长方形、正方形的特征和比值计算的基础能力，又能引导学生自主发现黄金比的相关规律，兼具趣味性和知识性，能较好地锻炼学生的归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
（1）解决填表问题的核心是明确操作规则：每次从长方形中剪下的最大正方形的边长等于当前长方形的宽；裁剪后剩余小长方形的长等于原长方形的宽，宽等于原长方形的长减去宽，再用剩余长方形的宽除以长得到比值，除不尽的保留三位小数即可。
（2）第二问只需观察每次计算出的比值的变化特点，总结规律即可。
【解析】
（1）按操作规则依次计算：
①操作2次时，剩余长方形长5cm、宽3cm，比值为$3÷5=0.6$；
②操作3次时，剪掉的正方形边长等于当前长方形的宽3cm，剩余长方形的长是3cm，宽是$5-3=2$cm，比值为$2÷3\approx0.667$；
③操作4次时，剪掉的正方形边长等于当前长方形的宽2cm，剩余长方形的长是2cm，宽是$3-2=1$cm，比值为$1÷2=0.5$。
（2）观察得到的比值：0.615、0.625、0.6、0.667、0.5，可发现这些比值都在0.6附近上下波动，随着操作次数增加，相邻边长的比值会逐渐趋近于黄金比0.618。
【答案】
(1) 操作2行比值：$3÷5=0.6$；操作3行依次填：3，3，2，$2÷3\approx0.667$；操作4行依次填：2，2，1，$1÷2=0.5$
(2) 每次得到的小长方形宽与长的比值在0.6附近上下波动，这些边长序列正好是斐波那契数列的连续项，相邻两项的比值天然趋近于黄金比。（合理即可）
【知识点】
1. 图形裁剪
2. 求比值
3. 黄金比认识
【点评】
这道题将动手操作和数学计算结合，既考查了长方形、正方形的特征和比值计算的基础能力，又能引导学生自主发现黄金比的相关规律，兼具趣味性和知识性，能较好地锻炼学生的归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
5. 请一位同学站直，用软尺测量以下长度，记录在表格中。
（1）计算下面几组数据的比值，得数保留三位小数。
肚脐到脚底的高度÷身高=
膝盖到脚底的高度÷肚脐到脚底的高度=
肘关节到手腕的长度÷手臂全长=
（2）上面哪个比值最接近0.618？相差多少？
（3）查一查资料：古希腊雕塑中，人体比例的“黄金分割点”通常在哪里？你的测量结果与它接近吗？
（1）计算下面几组数据的比值，得数保留三位小数。
肚脐到脚底的高度÷身高=
膝盖到脚底的高度÷肚脐到脚底的高度=
肘关节到手腕的长度÷手臂全长=
（2）上面哪个比值最接近0.618？相差多少？
（3）查一查资料：古希腊雕塑中，人体比例的“黄金分割点”通常在哪里？你的测量结果与它接近吗？
答案
5. (1) 略
(2) 略(通常肚脐到脚底的高度÷身高这个比值最接近0.618)
(3) 略(黄金分割点:肚脐、膝盖、肘关节等)
(2) 略(通常肚脐到脚底的高度÷身高这个比值最接近0.618)
(3) 略(黄金分割点:肚脐、膝盖、肘关节等)
解析
【分析】
这是一道结合动手测量与计算的实践题，解题思路分三步：第一步先准确测量对应长度，测量时要注意让被测同学站直，软尺拉直，保证读数准确，将结果填入表格；第二步计算三个比值：求两个长度的比值就是用前一个长度除以后一个长度，得数要保留三位小数，所以计算时需要除到小数点后第四位，再根据“四舍五入”法取近似值；第三步对比三个比值和0.618的差值，差值越小说明越接近，最后查阅相关资料了解人体黄金分割点的知识，和自己的测量结果对比即可。
【解析】
1. 测量记录：请同学自然站直，用软尺分别测量身高、肚脐到脚底的高度、膝盖到脚底的高度、肘关节到手腕的长度、手臂全长，将测量得到的数值对应填入表格中。
2. 计算比值：
将测量的身高记为$a\mathrm{cm}$，肚脐到脚底高度记为$b\mathrm{cm}$，膝盖到脚底高度记为$c\mathrm{cm}$，肘关节到手腕长度记为$d\mathrm{cm}$，手臂全长记为$e\mathrm{cm}$。
① 计算$b÷ a$，除到小数点后第四位，四舍五入保留三位小数；
② 计算$c÷ b$，同样按规则保留三位小数；
③ 计算$d÷ e$，同样按规则保留三位小数。
3. 找最接近0.618的比值：
分别计算三个比值与0.618的差（用大数减小数），差值最小的就是最接近0.618的比值，通常肚脐到脚底的高度÷身高的比值差值最小。
4. 查阅资料可知：古希腊雕塑中人体比例的“黄金分割点”通常在肚脐、膝盖、肘关节等位置，把自己计算的三个比值和0.618对比，若差值较小就说明测量结果和黄金比接近。
【答案】
(1) 答案不唯一，以实际测量计算结果为准
(2) 通常肚脐到脚底的高度÷身高这个比值最接近0.618，相差数值以实际计算结果为准
(3) 古希腊雕塑中人体比例的黄金分割点通常为肚脐、膝盖、肘关节等，测量结果是否接近以实际测量计算的比值为准
【知识点】
求比值，小数的近似数，黄金比
【点评】
本题为实践探究类题目，将动手测量和数学计算相结合，既能锻炼操作能力，也能直观感受黄金比在生活中的实际应用，增强对数学知识的感知。
【难度系数】
0.85
这是一道结合动手测量与计算的实践题，解题思路分三步：第一步先准确测量对应长度，测量时要注意让被测同学站直，软尺拉直，保证读数准确，将结果填入表格；第二步计算三个比值：求两个长度的比值就是用前一个长度除以后一个长度，得数要保留三位小数，所以计算时需要除到小数点后第四位，再根据“四舍五入”法取近似值；第三步对比三个比值和0.618的差值，差值越小说明越接近，最后查阅相关资料了解人体黄金分割点的知识，和自己的测量结果对比即可。
【解析】
1. 测量记录：请同学自然站直，用软尺分别测量身高、肚脐到脚底的高度、膝盖到脚底的高度、肘关节到手腕的长度、手臂全长，将测量得到的数值对应填入表格中。
2. 计算比值：
将测量的身高记为$a\mathrm{cm}$，肚脐到脚底高度记为$b\mathrm{cm}$，膝盖到脚底高度记为$c\mathrm{cm}$，肘关节到手腕长度记为$d\mathrm{cm}$，手臂全长记为$e\mathrm{cm}$。
① 计算$b÷ a$，除到小数点后第四位，四舍五入保留三位小数；
② 计算$c÷ b$，同样按规则保留三位小数；
③ 计算$d÷ e$，同样按规则保留三位小数。
3. 找最接近0.618的比值：
分别计算三个比值与0.618的差（用大数减小数），差值最小的就是最接近0.618的比值，通常肚脐到脚底的高度÷身高的比值差值最小。
4. 查阅资料可知：古希腊雕塑中人体比例的“黄金分割点”通常在肚脐、膝盖、肘关节等位置，把自己计算的三个比值和0.618对比，若差值较小就说明测量结果和黄金比接近。
【答案】
(1) 答案不唯一，以实际测量计算结果为准
(2) 通常肚脐到脚底的高度÷身高这个比值最接近0.618，相差数值以实际计算结果为准
(3) 古希腊雕塑中人体比例的黄金分割点通常为肚脐、膝盖、肘关节等，测量结果是否接近以实际测量计算的比值为准
【知识点】
求比值，小数的近似数，黄金比
【点评】
本题为实践探究类题目，将动手测量和数学计算相结合，既能锻炼操作能力，也能直观感受黄金比在生活中的实际应用，增强对数学知识的感知。
【难度系数】
0.85
