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1. 填一填。
（1）在神奇的大自然中，一片树叶也蕴含着“黄金分割”。如图，点P为AB的黄金分割点，BP与AP长度的比大约为0.625。如果AB的长度为10厘米，那么BP的长度应该是（
（1）在神奇的大自然中，一片树叶也蕴含着“黄金分割”。如图，点P为AB的黄金分割点，BP与AP长度的比大约为0.625。如果AB的长度为10厘米，那么BP的长度应该是（
3.85
）厘米。（得数保留两位小数）答案
1.（1）3.85
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的数量关系：线段AB的总长度是10厘米，由AP和BP两部分组成，已知BP与AP的比值为0.625。我们可以先把AP的长度看作单位“1”，那么BP的长度对应的分率就是0.625，总长度10厘米对应的分率就是1+0.625，先算出单位“1”即AP的长度，再用总长度减去AP的长度就能得到BP的长度，最后按要求保留两位小数即可。
【解析】
我们用算术法求解：
1. 把AP的长度看作单位“1”，则BP的长度是AP的0.625倍，那么AB总长度对应的分率为：$1+0.625=1.625$
2. 先计算AP的长度：$10÷1.625\approx6.1538$（厘米，中间计算多保留几位小数减少误差）
3. 再计算BP的长度：$10-6.1538\approx3.85$（厘米）
也可以用方程求解：
设AP的长度为$x$厘米，则BP的长度为$0.625x$厘米。
根据AB总长为10厘米列方程：
$x+0.625x=10$
$1.625x=10$
$x\approx6.1538$
则$BP=10-6.1538\approx3.85$厘米
【答案】
3.85
【知识点】
比的应用，小数运算，近似数求法
【点评】
本题结合自然中的黄金分割现象出题，既考查了比的实际应用能力，也让学生体会到数学与生活的紧密联系，解题时要注意理清各部分的数量关系，保留小数时要按四舍五入规则取值。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题目中的数量关系：线段AB的总长度是10厘米，由AP和BP两部分组成，已知BP与AP的比值为0.625。我们可以先把AP的长度看作单位“1”，那么BP的长度对应的分率就是0.625，总长度10厘米对应的分率就是1+0.625，先算出单位“1”即AP的长度，再用总长度减去AP的长度就能得到BP的长度，最后按要求保留两位小数即可。
【解析】
我们用算术法求解：
1. 把AP的长度看作单位“1”，则BP的长度是AP的0.625倍，那么AB总长度对应的分率为：$1+0.625=1.625$
2. 先计算AP的长度：$10÷1.625\approx6.1538$（厘米，中间计算多保留几位小数减少误差）
3. 再计算BP的长度：$10-6.1538\approx3.85$（厘米）
也可以用方程求解：
设AP的长度为$x$厘米，则BP的长度为$0.625x$厘米。
根据AB总长为10厘米列方程：
$x+0.625x=10$
$1.625x=10$
$x\approx6.1538$
则$BP=10-6.1538\approx3.85$厘米
【答案】
3.85
【知识点】
比的应用，小数运算，近似数求法
【点评】
本题结合自然中的黄金分割现象出题，既考查了比的实际应用能力，也让学生体会到数学与生活的紧密联系，解题时要注意理清各部分的数量关系，保留小数时要按四舍五入规则取值。
【难度系数】
0.7
（1）下列生活物品中，宽与长的比值最可能接近黄金比的是（
A.学生课桌桌面(60 cm×40 cm)
B.A4纸(21 cm×29.7 cm)
C.银行卡片(8.5 cm×5.4 cm)
D.身份证(8.56 cm×5.4 cm)
D
）。A.学生课桌桌面(60 cm×40 cm)
B.A4纸(21 cm×29.7 cm)
C.银行卡片(8.5 cm×5.4 cm)
D.身份证(8.56 cm×5.4 cm)
答案
2.（1）D
解析
【分析】
解题时首先要明确黄金比的近似值约为0.618，注意求的是宽与长的比值，即较短边长度除以较长边长度。我们需要分别计算四个选项中物品宽与长的比值，再将每个比值和0.618作差，差值最小的就是最接近黄金比的选项。
【解析】
黄金比的近似值为0.618，我们分别计算各选项的宽长比值，再比较与0.618的差值：
A选项：课桌长60cm，宽40cm，比值为 $40÷60\approx0.667$，与0.618的差为 $0.667-0.618=0.049$
B选项：A4纸长29.7cm，宽21cm，比值为 $21÷29.7\approx0.707$，与0.618的差为 $0.707-0.618=0.089$
C选项：银行卡长8.5cm，宽5.4cm，比值为 $5.4÷8.5\approx0.635$，与0.618的差为 $0.635-0.618=0.017$
D选项：身份证长8.56cm，宽5.4cm，比值为 $5.4÷8.56\approx0.631$，与0.618的差为 $0.631-0.618=0.013$
对比差值，0.013最小，因此身份证的宽长比值最接近黄金比。
【答案】
D
【知识点】
黄金比的认识，求比值，小数大小比较
【点评】
本题结合生活中常见的物品考查黄金比的实际应用，解题时要注意比的前后项顺序，不能把长和宽的位置搞反，同时需要细心计算比值，通过对比差值选出最优选项，能引导学生发现生活中的数学现象。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确黄金比的近似值约为0.618，注意求的是宽与长的比值，即较短边长度除以较长边长度。我们需要分别计算四个选项中物品宽与长的比值，再将每个比值和0.618作差，差值最小的就是最接近黄金比的选项。
【解析】
黄金比的近似值为0.618，我们分别计算各选项的宽长比值，再比较与0.618的差值：
A选项：课桌长60cm，宽40cm，比值为 $40÷60\approx0.667$，与0.618的差为 $0.667-0.618=0.049$
B选项：A4纸长29.7cm，宽21cm，比值为 $21÷29.7\approx0.707$，与0.618的差为 $0.707-0.618=0.089$
C选项：银行卡长8.5cm，宽5.4cm，比值为 $5.4÷8.5\approx0.635$，与0.618的差为 $0.635-0.618=0.017$
D选项：身份证长8.56cm，宽5.4cm，比值为 $5.4÷8.56\approx0.631$，与0.618的差为 $0.631-0.618=0.013$
对比差值，0.013最小，因此身份证的宽长比值最接近黄金比。
【答案】
D
【知识点】
黄金比的认识，求比值，小数大小比较
【点评】
本题结合生活中常见的物品考查黄金比的实际应用，解题时要注意比的前后项顺序，不能把长和宽的位置搞反，同时需要细心计算比值，通过对比差值选出最优选项，能引导学生发现生活中的数学现象。
【难度系数】
0.7
(2) 芭蕾舞演员踮起脚尖后，下半身（脚尖到肚脐）与身高的比值会（
A.不变
B.变小
C.变大
D.无法确定
C
）。A.不变
B.变小
C.变大
D.无法确定
答案
2.（2）C
解析
【分析】
我们可以结合比的知识用假设法解题：首先明确踮起脚尖时，下半身（脚尖到肚脐）的长度会增加一段距离，同时人的总身高也会增加相同的距离。正常情况下下半身长度小于身高，原比值是小于1的真分数，对于小于1的真分数，分子和分母同时加同一个大于0的数，新的分数值会比原分数大，也可以通过举具体数值计算的方法验证结论。
【解析】
我们举具体数值计算验证：
假设芭蕾舞演员踮脚前下半身长90cm，总身高160cm，此时下半身与身高的比值为：
$90÷160=0.5625$
假设踮脚时脚跟抬起5cm，此时下半身长度变为$90+5=95\mathrm{cm}$，总身高变为$160+5=165\mathrm{cm}$，新的比值为：
$95÷165\approx0.576$
对比可知$0.576＞0.5625$，因此踮脚后比值变大。
【答案】
C
【知识点】
比的意义，分数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查比的实际应用，解题的关键是抓住踮脚时下半身长度和身高增加的长度相等这一核心，通过举例计算或者分数性质判断即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
我们可以结合比的知识用假设法解题：首先明确踮起脚尖时，下半身（脚尖到肚脐）的长度会增加一段距离，同时人的总身高也会增加相同的距离。正常情况下下半身长度小于身高，原比值是小于1的真分数，对于小于1的真分数，分子和分母同时加同一个大于0的数，新的分数值会比原分数大，也可以通过举具体数值计算的方法验证结论。
【解析】
我们举具体数值计算验证：
假设芭蕾舞演员踮脚前下半身长90cm，总身高160cm，此时下半身与身高的比值为：
$90÷160=0.5625$
假设踮脚时脚跟抬起5cm，此时下半身长度变为$90+5=95\mathrm{cm}$，总身高变为$160+5=165\mathrm{cm}$，新的比值为：
$95÷165\approx0.576$
对比可知$0.576＞0.5625$，因此踮脚后比值变大。
【答案】
C
【知识点】
比的意义，分数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查比的实际应用，解题的关键是抓住踮脚时下半身长度和身高增加的长度相等这一核心，通过举例计算或者分数性质判断即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
（3）黄金矩形是指宽与长的比的比值接近0.618的长方形。某商场门口的广告牌被设计成黄金矩形，如果它的宽是2米，那么它的面积大约是（
A.4平方米
B.6.5平方米
C.8平方米
D.10平方米
B
）。A.4平方米
B.6.5平方米
C.8平方米
D.10平方米
答案
2.（3）B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确黄金矩形的定义：宽与长的比值是0.618。已知宽的长度，要求矩形面积，而长方形面积=长×宽，所以第一步要先根据宽和长的比例关系求出长，再用长乘宽算出面积，最后对应选项选择答案即可，解题时注意不要搞反宽和长的比的前后项。
【解析】
第一步，根据黄金矩形的定义可得：宽÷长≈0.618，已知宽是2米，那么长=宽÷0.618，代入数值计算：
长≈2÷0.618≈3.24（米）
第二步，计算长方形面积，面积公式为：面积=长×宽，代入数值：
面积≈3.24×2≈6.48（平方米）
6.48平方米接近6.5平方米，因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
黄金比的认识、长方形面积计算
【点评】
本题结合生活中的广告牌场景考查黄金比的实际应用，解题核心是明确黄金比是宽与长的比值，不要颠倒两个量的顺序，再结合长方形面积公式计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确黄金矩形的定义：宽与长的比值是0.618。已知宽的长度，要求矩形面积，而长方形面积=长×宽，所以第一步要先根据宽和长的比例关系求出长，再用长乘宽算出面积，最后对应选项选择答案即可，解题时注意不要搞反宽和长的比的前后项。
【解析】
第一步，根据黄金矩形的定义可得：宽÷长≈0.618，已知宽是2米，那么长=宽÷0.618，代入数值计算：
长≈2÷0.618≈3.24（米）
第二步，计算长方形面积，面积公式为：面积=长×宽，代入数值：
面积≈3.24×2≈6.48（平方米）
6.48平方米接近6.5平方米，因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
黄金比的认识、长方形面积计算
【点评】
本题结合生活中的广告牌场景考查黄金比的实际应用，解题核心是明确黄金比是宽与长的比值，不要颠倒两个量的顺序，再结合长方形面积公式计算即可。
【难度系数】
0.7
(4) 一对兔子1个月后就可以成年，一对成年兔子1个月后就能生出一对小兔子。如果兔子没有死亡，那么一年可以繁殖成(
A.144
B.233
C.288
D.466
B
)对兔子。A.144
B.233
C.288
D.466
答案
2.（4）B
解析
【分析】
我们可以通过逐步计算每个月的兔子总对数，找到数量变化的规律来解题。首先明确兔子的生长繁殖规则：小兔子1个月长成成年兔，每对成年兔每个月生1对小兔子，且兔子没有死亡。每个月的兔子总对数=上个月存活的总对数+当月新出生的小兔子对数，而当月新生的小兔子对数等于上上个月的总兔子对数（因为上上个月的所有兔子到上个月都已经成年，可以繁殖），由此可推出：每个月的兔子总对数等于前两个月兔子总对数的和。
【解析】
我们按月依次计算兔子总对数：
1. 初始（第0个月）：只有1对小兔子，总对数为1；
2. 1个月后：小兔子成年，未繁殖，总对数为1；
3. 2个月后：1对成年兔生1对小兔，总对数=1+1=2；
4. 3个月后：总对数=上个月总对数2 + 上上个月总对数1 = 3；
5. 4个月后：3+2=5；
6. 5个月后：5+3=8；
7. 6个月后：8+5=13；
8. 7个月后：13+8=21；
9. 8个月后：21+13=34；
10. 9个月后：34+21=55；
11. 10个月后：55+34=89；
12. 11个月后：89+55=144；
13. 12个月（一年）后：144+89=233。
【答案】
B
【知识点】
数列找规律，递推计数
【点评】
本题需要先理清兔子繁殖的逻辑，通过枚举前几个月的数量归纳出递推规律，再利用规律推算最终结果，能够锻炼学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.4
我们可以通过逐步计算每个月的兔子总对数，找到数量变化的规律来解题。首先明确兔子的生长繁殖规则：小兔子1个月长成成年兔，每对成年兔每个月生1对小兔子，且兔子没有死亡。每个月的兔子总对数=上个月存活的总对数+当月新出生的小兔子对数，而当月新生的小兔子对数等于上上个月的总兔子对数（因为上上个月的所有兔子到上个月都已经成年，可以繁殖），由此可推出：每个月的兔子总对数等于前两个月兔子总对数的和。
【解析】
我们按月依次计算兔子总对数：
1. 初始（第0个月）：只有1对小兔子，总对数为1；
2. 1个月后：小兔子成年，未繁殖，总对数为1；
3. 2个月后：1对成年兔生1对小兔，总对数=1+1=2；
4. 3个月后：总对数=上个月总对数2 + 上上个月总对数1 = 3；
5. 4个月后：3+2=5；
6. 5个月后：5+3=8；
7. 6个月后：8+5=13；
8. 7个月后：13+8=21；
9. 8个月后：21+13=34；
10. 9个月后：34+21=55；
11. 10个月后：55+34=89；
12. 11个月后：89+55=144；
13. 12个月（一年）后：144+89=233。
【答案】
B
【知识点】
数列找规律，递推计数
【点评】
本题需要先理清兔子繁殖的逻辑，通过枚举前几个月的数量归纳出递推规律，再利用规律推算最终结果，能够锻炼学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.4
3. 李阿姨身高160厘米，肚脐以下高度为98厘米。老师介绍说，肚脐以下高度与身高的比值越接近0.618，身材越显得匀称。
(1) 李阿姨当前的比值是多少(得数保留三位小数)？该比值比0.618大还是小？
(2) 如果她想通过穿高跟鞋(只增加下半身高度)来达到0.618的比值，鞋跟应该增加多少厘米？(在合适的答案后面画“√”)
0.88厘米
2.30厘米
5.00厘米
(1) 李阿姨当前的比值是多少(得数保留三位小数)？该比值比0.618大还是小？
(2) 如果她想通过穿高跟鞋(只增加下半身高度)来达到0.618的比值，鞋跟应该增加多少厘米？(在合适的答案后面画“√”)
0.88厘米
2.30厘米
5.00厘米
答案
3. (1) 98÷160≈0.613
0.613＜0.618
答:李阿姨当前的比值是0.613,比0.618小。
(2) 2.30厘米
解析
【分析】
（1）第一问求比值，根据比值的计算规则，用比的前项（肚脐以下高度）除以比的后项（身高），算出结果后按要求保留三位小数，再和0.618比较大小即可。
（2）第二问需要注意：穿高跟鞋时，不仅下半身高度会增加鞋跟的高度，整个人的总身高也会增加相同的高度。可以设鞋跟高度为x厘米，根据调整后比值为0.618的等量关系列方程求解，也可以把三个选项分别代入计算比值，找到符合要求的结果。
【解析】
（1）计算当前的比值：
$98÷160=0.6125\approx0.613$
比较大小可得：$0.613＜0.618$
（2）方法：列方程求解
设鞋跟应该增加$x$厘米。
$\frac{98+x}{160+x}=0.618$
$98+x=0.618×(160+x)$
$98+x=98.88+0.618x$
$x-0.618x=98.88-98$
$0.382x=0.88$
$x\approx2.30$
也可代入选项验证，只有2.30厘米时比值接近0.618，符合要求。
【答案】
(1) 98÷160≈0.613
0.613＜0.618
答:李阿姨当前的比值是0.613,比0.618小。
(2) 2.30厘米
【知识点】
求比值、列方程解应用题、小数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查黄金比的实际应用，解题的核心是明确穿高跟鞋时下半身长度和总身高会同步增加，避免出现只增加下半身高度的错误，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问求比值，根据比值的计算规则，用比的前项（肚脐以下高度）除以比的后项（身高），算出结果后按要求保留三位小数，再和0.618比较大小即可。
（2）第二问需要注意：穿高跟鞋时，不仅下半身高度会增加鞋跟的高度，整个人的总身高也会增加相同的高度。可以设鞋跟高度为x厘米，根据调整后比值为0.618的等量关系列方程求解，也可以把三个选项分别代入计算比值，找到符合要求的结果。
【解析】
（1）计算当前的比值：
$98÷160=0.6125\approx0.613$
比较大小可得：$0.613＜0.618$
（2）方法：列方程求解
设鞋跟应该增加$x$厘米。
$\frac{98+x}{160+x}=0.618$
$98+x=0.618×(160+x)$
$98+x=98.88+0.618x$
$x-0.618x=98.88-98$
$0.382x=0.88$
$x\approx2.30$
也可代入选项验证，只有2.30厘米时比值接近0.618，符合要求。
【答案】
(1) 98÷160≈0.613
0.613＜0.618
答:李阿姨当前的比值是0.613,比0.618小。
(2) 2.30厘米
【知识点】
求比值、列方程解应用题、小数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查黄金比的实际应用，解题的核心是明确穿高跟鞋时下半身长度和总身高会同步增加，避免出现只增加下半身高度的错误，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
