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1. 如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$AB$上，点$E$在边$AC$上，$DE // BC$.若$∠ A = 62°$，$∠ AED = 54°$，则$∠ B$的度数为（）.
A.$54°$
B.$62°$
C.$64°$
D.$74°$
A.$54°$
B.$62°$
C.$64°$
D.$74°$
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形中$DE// BC$的条件，回忆平行线同位角相等的性质，可得到$∠ C$与已知的$∠ AED$相等；再结合三角形内角和为$180°$的定理，已知$△ ABC$中$∠ A$和$∠ C$的度数，即可计算出$∠ B$的度数。也可以先在$△ ADE$中利用内角和求出$∠ ADE$，再通过平行线同位角相等得到$∠ B$，两种思路均可求解。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ C=∠ AED=54°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，
已知$∠ A=62°$，$∠ C=54°$，
$\therefore ∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-62°-54°=64°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合平行线的性质和三角形内角和定理进行角度计算，解题的关键是熟练掌握基础定理，准确找到平行线下的相等同位角，代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察图形中$DE// BC$的条件，回忆平行线同位角相等的性质，可得到$∠ C$与已知的$∠ AED$相等；再结合三角形内角和为$180°$的定理，已知$△ ABC$中$∠ A$和$∠ C$的度数，即可计算出$∠ B$的度数。也可以先在$△ ADE$中利用内角和求出$∠ ADE$，再通过平行线同位角相等得到$∠ B$，两种思路均可求解。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ C=∠ AED=54°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，
已知$∠ A=62°$，$∠ C=54°$，
$\therefore ∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-62°-54°=64°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合平行线的性质和三角形内角和定理进行角度计算，解题的关键是熟练掌握基础定理，准确找到平行线下的相等同位角，代入计算即可。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中，若$∠ B=20°$，$∠ A:∠ C=1:3$，则$∠ A$等于（）。
A.$80°$
B.$100°$
C.$40°$
D.$60°$
A.$80°$
B.$100°$
C.$40°$
D.$60°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。已知∠B的度数，可先求出∠A与∠C的度数和；再结合∠A和∠C的比例关系，设未知数列方程即可求出∠A的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，已知∠B=20°，因此：
∠A + ∠C = 180° - ∠B = 180° - 20° = 160°
因为∠A:∠C=1:3，设∠A的度数为x，则∠C的度数为3x，代入上式可得：
x + 3x = 160°
4x = 160°
解得x = 40°，即∠A=40°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；按比例计算
【点评】
本题是三角形边角关系的基础题型，核心考查对三角形内角和定理的运用，结合比例关系计算角度，解题思路清晰，掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。已知∠B的度数，可先求出∠A与∠C的度数和；再结合∠A和∠C的比例关系，设未知数列方程即可求出∠A的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，已知∠B=20°，因此：
∠A + ∠C = 180° - ∠B = 180° - 20° = 160°
因为∠A:∠C=1:3，设∠A的度数为x，则∠C的度数为3x，代入上式可得：
x + 3x = 160°
4x = 160°
解得x = 40°，即∠A=40°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；按比例计算
【点评】
本题是三角形边角关系的基础题型，核心考查对三角形内角和定理的运用，结合比例关系计算角度，解题思路清晰，掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 在下列条件中,能确定$△ ABC$是直角三角形的有()个.
①$∠ A+∠ B=∠ C$；
②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$；
③$∠ A=90°-∠ B$；
④$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$.
A.1
B.2
C.3
D.4
①$∠ A+∠ B=∠ C$；
②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$；
③$∠ A=90°-∠ B$；
④$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，只要能通过已知条件推出三角形中有一个内角为90°，即可判定为直角三角形，我们可以逐个验证4个条件是否符合要求。
【解析】
结合三角形内角和为180°逐一分析：
① 已知∠A+∠B=∠C，代入内角和公式∠A+∠B+∠C=180°，得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；
② 已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入内角和公式得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=3×30°=90°，故△ABC是直角三角形；
③ 已知∠A=90°-∠B，移项得∠A+∠B=90°，则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，故△ABC是直角三角形；
④ 已知∠A=∠B=½∠C，设∠A=∠B=x，则∠C=2x，代入内角和公式得x+x+2x=180°，解得x=45°，则∠C=2×45°=90°，故△ABC是直角三角形。
综上，4个条件都能确定△ABC是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，考查利用三角形内角和定理判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180°，通过简单的代数运算推导是否存在90°的内角即可。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，只要能通过已知条件推出三角形中有一个内角为90°，即可判定为直角三角形，我们可以逐个验证4个条件是否符合要求。
【解析】
结合三角形内角和为180°逐一分析：
① 已知∠A+∠B=∠C，代入内角和公式∠A+∠B+∠C=180°，得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；
② 已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入内角和公式得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=3×30°=90°，故△ABC是直角三角形；
③ 已知∠A=90°-∠B，移项得∠A+∠B=90°，则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，故△ABC是直角三角形；
④ 已知∠A=∠B=½∠C，设∠A=∠B=x，则∠C=2x，代入内角和公式得x+x+2x=180°，解得x=45°，则∠C=2×45°=90°，故△ABC是直角三角形。
综上，4个条件都能确定△ABC是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，考查利用三角形内角和定理判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180°，通过简单的代数运算推导是否存在90°的内角即可。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 在$△ ABC$中，$∠ B$的度数是$∠ A$的度数的2倍，$∠ C$比$∠ A$大$20°$，则$∠ A$的度数为。
4. 在$△ ABC$中，$∠ B$的度数是$∠ A$的度数的2倍，$∠ C$比$∠ A$大$20°$，则$∠ A$的度数为。
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
【分析】
这道题可利用三角形内角和的性质求解。首先观察到∠B、∠C的度数都和∠A的度数直接相关，因此我们可以设∠A的度数为未知数，把另外两个角都用该未知数表示，再结合三角形内角和为180°的规律列方程，解方程即可得到∠A的度数。
【解析】
解：设∠A的度数为$x°$，根据题意可得：
$∠ B = 2x°$，$∠ C = (x+20)°$
由三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和为$180°$，因此列方程：
$x + 2x + (x+20) = 180$
合并同类项得：$4x + 20 = 180$
移项计算得：$4x = 160$
解得：$x = 40$
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形边角关系的基础题型，解题核心是梳理三个内角的数量关系，结合内角和定理建立方程求解，主要考查基础定理的掌握程度和简单的方程应用能力。
【难度系数】
0.85
这道题可利用三角形内角和的性质求解。首先观察到∠B、∠C的度数都和∠A的度数直接相关，因此我们可以设∠A的度数为未知数，把另外两个角都用该未知数表示，再结合三角形内角和为180°的规律列方程，解方程即可得到∠A的度数。
【解析】
解：设∠A的度数为$x°$，根据题意可得：
$∠ B = 2x°$，$∠ C = (x+20)°$
由三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和为$180°$，因此列方程：
$x + 2x + (x+20) = 180$
合并同类项得：$4x + 20 = 180$
移项计算得：$4x = 160$
解得：$x = 40$
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形边角关系的基础题型，解题核心是梳理三个内角的数量关系，结合内角和定理建立方程求解，主要考查基础定理的掌握程度和简单的方程应用能力。
【难度系数】
0.85
5. 如图，P是△ABC内一点，∠ABC=80°，∠1=∠2，则∠BPC=°。
答案
100
解析
【分析】
要求∠BPC的度数，可结合三角形内角和定理求解：三角形内角和为180°，因此在△BPC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠2)，只需算出∠PBC+∠2的度数即可。已知∠ABC=∠1+∠PBC=80°，且题目给出∠1=∠2，通过等量代换就能得到∠PBC+∠2的和，代入式子即可算出结果。
【解析】
解：
∵ ∠ABC = ∠1 + ∠PBC = 80°，且∠1 = ∠2
∴ ∠2 + ∠PBC = ∠1 + ∠PBC = 80°
在△BPC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠2) = 180° - 80° = 100°
【答案】
100
【知识点】
三角形内角和定理、等量代换、角的和差计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题核心是利用已知的等角关系，将未知的两角和转化为已知角的度数，整体思路比较直观，熟练掌握三角形内角和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求∠BPC的度数，可结合三角形内角和定理求解：三角形内角和为180°，因此在△BPC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠2)，只需算出∠PBC+∠2的度数即可。已知∠ABC=∠1+∠PBC=80°，且题目给出∠1=∠2，通过等量代换就能得到∠PBC+∠2的和，代入式子即可算出结果。
【解析】
解：
∵ ∠ABC = ∠1 + ∠PBC = 80°，且∠1 = ∠2
∴ ∠2 + ∠PBC = ∠1 + ∠PBC = 80°
在△BPC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠2) = 180° - 80° = 100°
【答案】
100
【知识点】
三角形内角和定理、等量代换、角的和差计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题核心是利用已知的等角关系，将未知的两角和转化为已知角的度数，整体思路比较直观，熟练掌握三角形内角和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 三角形的第一个角的度数是第二个角的度数的$\frac{3}{2}$倍，第三个角比这两个角的和大$30°$，则这个三角形中最大的角的度数是。
答案
解：设这个三角形的第二个角的度数为$x$，
则第一个角的度数为$\frac{3}{2}x$，
第三个角的度数为$x+\frac{3}{2}x + 30° = \frac{5}{2}x + 30°$。
由三角形内角和为$180°$，得：
$x + \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}x + 30° = 180°$
合并同类项得：
$5x + 30° = 180°$
移项计算得：
$5x = 150°$
解得：
$x = 30°$
则第一个角为$\frac{3}{2} × 30° = 45°$，
第三个角为$\frac{5}{2} × 30° + 30° = 105°$。
因为$30° ＜ 45° ＜ 105°$，
所以这个三角形中最大的角的度数是$105°$。
则第一个角的度数为$\frac{3}{2}x$，
第三个角的度数为$x+\frac{3}{2}x + 30° = \frac{5}{2}x + 30°$。
由三角形内角和为$180°$，得：
$x + \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}x + 30° = 180°$
合并同类项得：
$5x + 30° = 180°$
移项计算得：
$5x = 150°$
解得：
$x = 30°$
则第一个角为$\frac{3}{2} × 30° = 45°$，
第三个角为$\frac{5}{2} × 30° + 30° = 105°$。
因为$30° ＜ 45° ＜ 105°$，
所以这个三角形中最大的角的度数是$105°$。
解析
【分析】
本题要求三角形最大角的度数，首先观察题目给出的三个角的数量关系，发现第一个角和第三个角的度数都和第二个角的度数相关，因此可以选择设第二个角的度数为未知数$x$，将另外两个角的度数用含$x$的代数式表示，再根据三角形内角和为$180°$这一定理列出一元一次方程，求解得到$x$的值后，分别计算出三个角的度数，最后比较大小即可得到最大角的度数。
【解析】
解：设这个三角形的第二个角的度数为$x$，
则第一个角的度数为$\frac{3}{2}x$，
第三个角的度数为$x+\frac{3}{2}x + 30° = \frac{5}{2}x + 30°$。
由三角形内角和为$180°$，得：
$x + \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}x + 30° = 180°$
合并同类项得：
$5x + 30° = 180°$
移项计算得：
$5x = 150°$
解得：
$x = 30°$
则第一个角为$\frac{3}{2} × 30° = 45°$，
第三个角为$\frac{5}{2} × 30° + 30° = 105°$。
因为$30° ＜ 45° ＜ 105°$，
所以这个三角形中最大的角的度数是$105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形边角关系的基础应用题，解题的关键是找到三个角之间的数量关系，合理选择未知量设元，结合三角形内角和定理建立方程求解，计算难度较低，注意最后要对比三个角的度数才能确定最大角，避免直接计算后漏了比较步骤出错。
【难度系数】
0.8
本题要求三角形最大角的度数，首先观察题目给出的三个角的数量关系，发现第一个角和第三个角的度数都和第二个角的度数相关，因此可以选择设第二个角的度数为未知数$x$，将另外两个角的度数用含$x$的代数式表示，再根据三角形内角和为$180°$这一定理列出一元一次方程，求解得到$x$的值后，分别计算出三个角的度数，最后比较大小即可得到最大角的度数。
【解析】
解：设这个三角形的第二个角的度数为$x$，
则第一个角的度数为$\frac{3}{2}x$，
第三个角的度数为$x+\frac{3}{2}x + 30° = \frac{5}{2}x + 30°$。
由三角形内角和为$180°$，得：
$x + \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}x + 30° = 180°$
合并同类项得：
$5x + 30° = 180°$
移项计算得：
$5x = 150°$
解得：
$x = 30°$
则第一个角为$\frac{3}{2} × 30° = 45°$，
第三个角为$\frac{5}{2} × 30° + 30° = 105°$。
因为$30° ＜ 45° ＜ 105°$，
所以这个三角形中最大的角的度数是$105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形边角关系的基础应用题，解题的关键是找到三个角之间的数量关系，合理选择未知量设元，结合三角形内角和定理建立方程求解，计算难度较低，注意最后要对比三个角的度数才能确定最大角，避免直接计算后漏了比较步骤出错。
【难度系数】
0.8
三、解答题
7.（1）在直角三角形中，一个内角是$30°$，求另两个内角的度数；
（2）一个直角三角形的两个内角相等，求这两个相等内角的度数。
7.（1）在直角三角形中，一个内角是$30°$，求另两个内角的度数；
（2）一个直角三角形的两个内角相等，求这两个相等内角的度数。
答案
解：
(1) 直角三角形有一个内角是直角，度数为$90°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得第三个内角的度数为：
$180° - 90° - 30° = 60°$
所以另两个内角的度数分别是$90°$和$60°$。
(2) 若两个相等的内角包含直角，则两个直角的和为$180°$，不符合三角形内角和为$180°$的性质，因此这两个相等的内角都是锐角。
设这两个相等内角的度数为$x$，根据三角形内角和为$180°$得：
$2x + 90° = 180°$
解得$x=45°$
所以这两个相等内角的度数为$45°$。
(1) 直角三角形有一个内角是直角，度数为$90°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得第三个内角的度数为：
$180° - 90° - 30° = 60°$
所以另两个内角的度数分别是$90°$和$60°$。
(2) 若两个相等的内角包含直角，则两个直角的和为$180°$，不符合三角形内角和为$180°$的性质，因此这两个相等的内角都是锐角。
设这两个相等内角的度数为$x$，根据三角形内角和为$180°$得：
$2x + 90° = 180°$
解得$x=45°$
所以这两个相等内角的度数为$45°$。
解析
【分析】
这两道题均围绕直角三角形的内角计算展开，解题需用到两个核心条件：①直角三角形有且仅有1个内角为90°；②三角形内角和为180°。对于第(1)问，首先判断已知的30°角为锐角（小于90°，不可能是直角），因此另两个内角中必有一个是90°，剩余的第三个角直接用内角和减去90°和30°即可求出。对于第(2)问，需先分类讨论：如果相等的两个角是直角，那么两角和已经为180°，不符合三角形内角和要求，因此这两个相等的角只能是锐角，再根据内角和列方程求解即可。
【解析】
(1) 直角三角形有一个内角是直角，度数为$90°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得第三个内角的度数为：
$180° - 90° - 30° = 60°$
所以另两个内角的度数分别是$90°$和$60°$。
(2) 若两个相等的内角包含直角，则两个直角的和为$180°$，不符合三角形内角和为$180°$的性质，因此这两个相等的内角都是锐角。
设这两个相等内角的度数为$x$，根据三角形内角和为$180°$得：
$2x + 90° = 180°$
解得$x=45°$
所以这两个相等内角的度数为$45°$。
【答案】
(1) $90°$和$60°$；(2) $45°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形内角计算的基础题，解题关键是抓住直角三角形隐含90°内角的条件，第二问需要先排除不符合三角形构成规则的情况，避免逻辑疏漏。
【难度系数】
0.9
这两道题均围绕直角三角形的内角计算展开，解题需用到两个核心条件：①直角三角形有且仅有1个内角为90°；②三角形内角和为180°。对于第(1)问，首先判断已知的30°角为锐角（小于90°，不可能是直角），因此另两个内角中必有一个是90°，剩余的第三个角直接用内角和减去90°和30°即可求出。对于第(2)问，需先分类讨论：如果相等的两个角是直角，那么两角和已经为180°，不符合三角形内角和要求，因此这两个相等的角只能是锐角，再根据内角和列方程求解即可。
【解析】
(1) 直角三角形有一个内角是直角，度数为$90°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得第三个内角的度数为：
$180° - 90° - 30° = 60°$
所以另两个内角的度数分别是$90°$和$60°$。
(2) 若两个相等的内角包含直角，则两个直角的和为$180°$，不符合三角形内角和为$180°$的性质，因此这两个相等的内角都是锐角。
设这两个相等内角的度数为$x$，根据三角形内角和为$180°$得：
$2x + 90° = 180°$
解得$x=45°$
所以这两个相等内角的度数为$45°$。
【答案】
(1) $90°$和$60°$；(2) $45°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形内角计算的基础题，解题关键是抓住直角三角形隐含90°内角的条件，第二问需要先排除不符合三角形构成规则的情况，避免逻辑疏漏。
【难度系数】
0.9
