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一、选择题
1. 下面是用三根火柴组成的图形，其中是三角形的是().
1. 下面是用三根火柴组成的图形，其中是三角形的是().
答案
解：根据三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。
选项A、B中的三根火柴没有全部首尾顺次相接，选项D的图形没有形成封闭图形，均不符合三角形的定义，只有选项C满足三角形的定义。
故选：C。
选项A、B中的三根火柴没有全部首尾顺次相接，选项D的图形没有形成封闭图形，均不符合三角形的定义，只有选项C满足三角形的定义。
故选：C。
解析
【分析】
解决本题首先要明确三角形的判定标准，即三角形的定义核心要素：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。我们只需对照要素逐一排查四个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。
对各选项逐一分析：
选项A的三根火柴存在交叉，没有全部首尾顺次相接，不符合三角形定义；
选项B的三根火柴没有全部首尾顺次相接，不符合三角形定义；
选项D的图形不是封闭图形，不符合三角形定义；
只有选项C满足三角形的所有定义要求。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对三角形定义的理解和图形识别能力，牢记三角形的判定特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确三角形的判定标准，即三角形的定义核心要素：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。我们只需对照要素逐一排查四个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。
对各选项逐一分析：
选项A的三根火柴存在交叉，没有全部首尾顺次相接，不符合三角形定义；
选项B的三根火柴没有全部首尾顺次相接，不符合三角形定义；
选项D的图形不是封闭图形，不符合三角形定义；
只有选项C满足三角形的所有定义要求。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对三角形定义的理解和图形识别能力，牢记三角形的判定特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 若不添加辅助线，图中的三角形有（）个。
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
A
解析
【分析】
要解决不添加辅助线时三角形的计数问题，需依据三角形的定义，按照固定顺序（如从小到大、按顶点分类）计数，避免出现重复或漏数的情况。首先先识别单个独立的小三角形，再统计由多个小三角形组合形成的大三角形，最后求和即可得到总个数。
【解析】
我们按分类计数的方法逐一统计：
1. 单个小三角形：分别是$△ AED$、$△ EDC$、$△ BEC$，共3个；
2. 由2个小三角形组合成的三角形：$△ AEC$（由$△ AED$和$△ EDC$组合而成），共1个；
3. 由多个小三角形组合成的最大三角形：$△ ABC$，共1个；
总个数为$3+1+1=5$个。
【答案】
A
【知识点】
三角形的定义、几何图形计数
【点评】
本题属于基础的几何计数题，核心是掌握有序计数的方法，养成按规律数图形的习惯，避免错数漏数。
【难度系数】
0.8
要解决不添加辅助线时三角形的计数问题，需依据三角形的定义，按照固定顺序（如从小到大、按顶点分类）计数，避免出现重复或漏数的情况。首先先识别单个独立的小三角形，再统计由多个小三角形组合形成的大三角形，最后求和即可得到总个数。
【解析】
我们按分类计数的方法逐一统计：
1. 单个小三角形：分别是$△ AED$、$△ EDC$、$△ BEC$，共3个；
2. 由2个小三角形组合成的三角形：$△ AEC$（由$△ AED$和$△ EDC$组合而成），共1个；
3. 由多个小三角形组合成的最大三角形：$△ ABC$，共1个；
总个数为$3+1+1=5$个。
【答案】
A
【知识点】
三角形的定义、几何图形计数
【点评】
本题属于基础的几何计数题，核心是掌握有序计数的方法，养成按规律数图形的习惯，避免错数漏数。
【难度系数】
0.8
3. 下列长度的三条线段,能组成三角形的是().
A.1 cm,2 cm,4 cm
B.15 cm,9 cm,3 cm
C.14 cm,13 cm,5 cm
D.4 cm,7 cm,13 cm
A.1 cm,2 cm,4 cm
B.15 cm,9 cm,3 cm
C.14 cm,13 cm,5 cm
D.4 cm,7 cm,13 cm
答案
C
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需找出三条线段中最长的那条，验证较短的两条线段之和是否大于最长线段即可，因为如果较短两边之和都大于最长边，剩下的两边之和必然都大于第三边，接下来逐一验证每个选项就能得出正确答案。
【解析】
判断三条线段能否组成三角形的依据是：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法：比较较短两边之和与最长边的大小，若较短两边之和＞最长边，则可以组成三角形，反之不能。
对各选项逐一判断：
A选项：三条线段长1cm，2cm，4cm，最长边为4cm，$1+2=3\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}$，不能组成三角形；
B选项：三条线段长15cm，9cm，3cm，最长边为15cm，$3+9=12\mathrm{cm}＜15\mathrm{cm}$，不能组成三角形；
C选项：三条线段长14cm，13cm，5cm，最长边为14cm，$5+13=18\mathrm{cm}＞14\mathrm{cm}$，满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：三条线段长4cm，7cm，13cm，最长边为13cm，$4+7=11\mathrm{cm}＜13\mathrm{cm}$，不能组成三角形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握简便判断方法可快速解题，验证时需注意正确识别三条线段中的最长边，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需找出三条线段中最长的那条，验证较短的两条线段之和是否大于最长线段即可，因为如果较短两边之和都大于最长边，剩下的两边之和必然都大于第三边，接下来逐一验证每个选项就能得出正确答案。
【解析】
判断三条线段能否组成三角形的依据是：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法：比较较短两边之和与最长边的大小，若较短两边之和＞最长边，则可以组成三角形，反之不能。
对各选项逐一判断：
A选项：三条线段长1cm，2cm，4cm，最长边为4cm，$1+2=3\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}$，不能组成三角形；
B选项：三条线段长15cm，9cm，3cm，最长边为15cm，$3+9=12\mathrm{cm}＜15\mathrm{cm}$，不能组成三角形；
C选项：三条线段长14cm，13cm，5cm，最长边为14cm，$5+13=18\mathrm{cm}＞14\mathrm{cm}$，满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：三条线段长4cm，7cm，13cm，最长边为13cm，$4+7=11\mathrm{cm}＜13\mathrm{cm}$，不能组成三角形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握简便判断方法可快速解题，验证时需注意正确识别三条线段中的最长边，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 若不添加辅助线，图中共有个三角形，它们分别是.
4. 若不添加辅助线，图中共有个三角形，它们分别是.
答案
解：
6；△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC
6；△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC
解析
【分析】
拿到本题首先观察图形特征，可发现图中所有三角形都有公共顶点A，其余顶点都在BC边上，因此三角形的个数和BC边上的线段条数是一一对应的，我们可以将数三角形的问题转化为熟悉的数线段问题。数线段时采用有序枚举的方法，固定左端点依次找右端点，可保证计数不重不漏，数出线段数后再对应写出每个三角形即可。
【解析】
观察图形可知，所有三角形均以A为公共顶点，另外两个顶点都在边BC上，因此三角形的个数等于BC边上的线段总条数。
BC边上共有B、D、E、C共4个点，按有序计数法计算线段条数：$3+2+1=6$条，即共有6个三角形。
按顺序枚举所有三角形：
1. 底边上左端点为B时：对应△ABD、△ABE、△ABC；
2. 底边上左端点为D时：对应△ADE、△ADC；
3. 底边上左端点为E时：对应△AEC。
【答案】
6；△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC
【知识点】
1.三角形的定义 2.几何图形计数 3.线段计数
【点评】
本题考查三角形的识别与有序计数能力，解题核心是通过公共顶点将数三角形转化为数底边上的线段，有序枚举的方法能有效避免计数时出现重复、漏数的问题。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先观察图形特征，可发现图中所有三角形都有公共顶点A，其余顶点都在BC边上，因此三角形的个数和BC边上的线段条数是一一对应的，我们可以将数三角形的问题转化为熟悉的数线段问题。数线段时采用有序枚举的方法，固定左端点依次找右端点，可保证计数不重不漏，数出线段数后再对应写出每个三角形即可。
【解析】
观察图形可知，所有三角形均以A为公共顶点，另外两个顶点都在边BC上，因此三角形的个数等于BC边上的线段总条数。
BC边上共有B、D、E、C共4个点，按有序计数法计算线段条数：$3+2+1=6$条，即共有6个三角形。
按顺序枚举所有三角形：
1. 底边上左端点为B时：对应△ABD、△ABE、△ABC；
2. 底边上左端点为D时：对应△ADE、△ADC；
3. 底边上左端点为E时：对应△AEC。
【答案】
6；△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC
【知识点】
1.三角形的定义 2.几何图形计数 3.线段计数
【点评】
本题考查三角形的识别与有序计数能力，解题核心是通过公共顶点将数三角形转化为数底边上的线段，有序枚举的方法能有效避免计数时出现重复、漏数的问题。
【难度系数】
0.9
5. 等腰三角形的一边长为9 cm，另一边长为6 cm，则此三角形的周长是 cm. 
答案
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为9 cm，底边长为6 cm时，
∵ 6 + 9 ＞ 9，满足三角形三边关系，
∴ 此时三角形的周长为9 + 9 + 6 = 24(cm)；
② 当腰长为6 cm，底边长为9 cm时，
∵ 6 + 6 ＞ 9，满足三角形三边关系，
∴ 此时三角形的周长为6 + 6 + 9 = 21(cm)。
综上，此三角形的周长是21或24 cm。
① 当腰长为9 cm，底边长为6 cm时，
∵ 6 + 9 ＞ 9，满足三角形三边关系，
∴ 此时三角形的周长为9 + 9 + 6 = 24(cm)；
② 当腰长为6 cm，底边长为9 cm时，
∵ 6 + 6 ＞ 9，满足三角形三边关系，
∴ 此时三角形的周长为6 + 6 + 9 = 21(cm)。
综上，此三角形的周长是21或24 cm。
解析
【分析】
已知等腰三角形给出两条不等的边长，未明确说明哪条是腰、哪条是底边，因此需要分两种情况讨论：第一种将9cm作为腰长、6cm作为底边长，第二种将6cm作为腰长、9cm作为底边长；每种情况计算后都要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，符合条件的再计算周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当腰长为9 cm，底边长为6 cm时，
∵ 6 + 9 ＞ 9，满足三角形三边关系，
∴ 此时三角形的周长为9 + 9 + 6 = 24(cm)；
② 当腰长为6 cm，底边长为9 cm时，
∵ 6 + 6 ＞ 9，满足三角形三边关系，
∴ 此时三角形的周长为6 + 6 + 9 = 21(cm)。
综上，此三角形的周长是21或24 cm。
【答案】
21或24
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形边长未明确腰和底的情况，漏写其中一种周长结果，解题时需注意只要没有明确给出腰和底的等腰三角形边长问题，都要分类讨论，且每种情况必须验证是否符合三角形三边关系，排除无法构成三角形的情况。
【难度系数】
0.7
已知等腰三角形给出两条不等的边长，未明确说明哪条是腰、哪条是底边，因此需要分两种情况讨论：第一种将9cm作为腰长、6cm作为底边长，第二种将6cm作为腰长、9cm作为底边长；每种情况计算后都要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，符合条件的再计算周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当腰长为9 cm，底边长为6 cm时，
∵ 6 + 9 ＞ 9，满足三角形三边关系，
∴ 此时三角形的周长为9 + 9 + 6 = 24(cm)；
② 当腰长为6 cm，底边长为9 cm时，
∵ 6 + 6 ＞ 9，满足三角形三边关系，
∴ 此时三角形的周长为6 + 6 + 9 = 21(cm)。
综上，此三角形的周长是21或24 cm。
【答案】
21或24
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形边长未明确腰和底的情况，漏写其中一种周长结果，解题时需注意只要没有明确给出腰和底的等腰三角形边长问题，都要分类讨论，且每种情况必须验证是否符合三角形三边关系，排除无法构成三角形的情况。
【难度系数】
0.7
6. 已知三角形的三边长分别为2，3，x，那么x的取值范围是。
答案
解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
可得 $ 3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2 $，
即 $ 1 ＜ x ＜ 5 $。
可得 $ 3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2 $，
即 $ 1 ＜ x ＜ 5 $。
解析
【分析】
拿到求三角形第三边取值范围的题目，首先回忆三角形三边的核心关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。对于已知两条边长求第三边的问题，第三边的长度一定大于已知两边的差，同时小于已知两边的和，不需要额外分情况讨论，直接代入已知的两条边长2和3计算即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2$
化简后即 $1 ＜ x ＜ 5$。
【答案】
$1 ＜ x ＜ 5$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是牢记第三边的取值范围介于已知两边的差与和之间，掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到求三角形第三边取值范围的题目，首先回忆三角形三边的核心关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。对于已知两条边长求第三边的问题，第三边的长度一定大于已知两边的差，同时小于已知两边的和，不需要额外分情况讨论，直接代入已知的两条边长2和3计算即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2$
化简后即 $1 ＜ x ＜ 5$。
【答案】
$1 ＜ x ＜ 5$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是牢记第三边的取值范围介于已知两边的差与和之间，掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
三、解答题
7. 等腰三角形两边长分别为2，7，求该等腰三角形的周长。
7. 等腰三角形两边长分别为2，7，求该等腰三角形的周长。
答案
解：分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的腰长为2时，三边长分别为2，2，7。
因为2+2=4＜7，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，该情况舍去。
② 当等腰三角形的腰长为7时，三边长分别为7，7，2。
因为2+7＞7，满足三角形的三边关系，可以构成三角形。
此时该等腰三角形的周长为7+7+2=16。
答：该等腰三角形的周长为16。
① 当等腰三角形的腰长为2时，三边长分别为2，2，7。
因为2+2=4＜7，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，该情况舍去。
② 当等腰三角形的腰长为7时，三边长分别为7，7，2。
因为2+7＞7，满足三角形的三边关系，可以构成三角形。
此时该等腰三角形的周长为7+7+2=16。
答：该等腰三角形的周长为16。
解析
【分析】
已知等腰三角形给出的两边长未明确哪条是腰、哪条是底，因此解题需分两步思考：第一步先分类讨论，分别假设2为腰长、7为底边长，以及7为腰长、2为底边长两种情况，写出对应的三边长；第二步用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况的三边能否构成三角形，不符合的情况直接舍去，对符合三边关系的情况计算三边之和即可得到周长。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的腰长为2时，三边长分别为2，2，7。
因为2+2=4＜7，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，该情况舍去。
② 当等腰三角形的腰长为7时，三边长分别为7，7，2。
因为2+7＞7，满足三角形的三边关系，可以构成三角形。
此时该等腰三角形的周长为7+7+2=16。
答：该等腰三角形的周长为16。
【答案】
16
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形边长计算的基础易错题，常见错误是未分类讨论，或是分类后忽略验证三边是否能构成三角形，直接计算两种情况的周长导致错解，解题时牢记构成三角形的前提条件可避免失误。
【难度系数】
0.7
已知等腰三角形给出的两边长未明确哪条是腰、哪条是底，因此解题需分两步思考：第一步先分类讨论，分别假设2为腰长、7为底边长，以及7为腰长、2为底边长两种情况，写出对应的三边长；第二步用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况的三边能否构成三角形，不符合的情况直接舍去，对符合三边关系的情况计算三边之和即可得到周长。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的腰长为2时，三边长分别为2，2，7。
因为2+2=4＜7，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，该情况舍去。
② 当等腰三角形的腰长为7时，三边长分别为7，7，2。
因为2+7＞7，满足三角形的三边关系，可以构成三角形。
此时该等腰三角形的周长为7+7+2=16。
答：该等腰三角形的周长为16。
【答案】
16
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形边长计算的基础易错题，常见错误是未分类讨论，或是分类后忽略验证三边是否能构成三角形，直接计算两种情况的周长导致错解，解题时牢记构成三角形的前提条件可避免失误。
【难度系数】
0.7
8. 已知三角形的两边长分别为5 cm和2 cm.如果这个三角形第三边的长是偶数，求此三角形的第三边长以及周长。
答案
解：设三角形的第三边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据三角形三边关系，可得：
$5-2 ＜ x ＜ 5+2$，
即 $3 ＜ x ＜ 7$。
∵ 第三边的长$x$是偶数，
∴ $x$的取值为4或6。
当第三边长为$4\ \mathrm{cm}$时，三角形周长为$5+2+4=11\ (\mathrm{cm})$；
当第三边长为$6\ \mathrm{cm}$时，三角形周长为$5+2+6=13\ (\mathrm{cm})$。
答：此三角形的第三边长为4 cm或6 cm，对应的周长分别为11 cm或13 cm。
根据三角形三边关系，可得：
$5-2 ＜ x ＜ 5+2$，
即 $3 ＜ x ＜ 7$。
∵ 第三边的长$x$是偶数，
∴ $x$的取值为4或6。
当第三边长为$4\ \mathrm{cm}$时，三角形周长为$5+2+4=11\ (\mathrm{cm})$；
当第三边长为$6\ \mathrm{cm}$时，三角形周长为$5+2+6=13\ (\mathrm{cm})$。
答：此三角形的第三边长为4 cm或6 cm，对应的周长分别为11 cm或13 cm。
解析
【分析】
遇到已知三角形两边长求第三边相关的问题，首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。第一步先根据三边关系列出关于第三边长的不等式，求出第三边的取值范围；第二步结合题目给出的“第三边为偶数”的限制条件，从取值范围内筛选出符合要求的数值；最后分别将符合条件的第三边长代入周长公式，计算对应的周长即可。
【解析】
解：设三角形的第三边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据三角形三边关系，可得：
$5-2 ＜ x ＜ 5+2$，
即 $3 ＜ x ＜ 7$。
∵ 第三边的长$x$是偶数，
∴ $x$的取值为4或6。
当第三边长为$4\ \mathrm{cm}$时，三角形周长为$5+2+4=11\ (\mathrm{cm})$；
当第三边长为$6\ \mathrm{cm}$时，三角形周长为$5+2+6=13\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
此三角形的第三边长为4 cm或6 cm，对应的周长分别为11 cm或13 cm。
【知识点】
三角形三边关系；偶数的定义；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边角关系的基础应用类题目，核心考查对三角形三边关系的掌握，解题时要注意先确定第三边的取值范围，再结合附加限制条件筛选结果，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
遇到已知三角形两边长求第三边相关的问题，首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。第一步先根据三边关系列出关于第三边长的不等式，求出第三边的取值范围；第二步结合题目给出的“第三边为偶数”的限制条件，从取值范围内筛选出符合要求的数值；最后分别将符合条件的第三边长代入周长公式，计算对应的周长即可。
【解析】
解：设三角形的第三边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据三角形三边关系，可得：
$5-2 ＜ x ＜ 5+2$，
即 $3 ＜ x ＜ 7$。
∵ 第三边的长$x$是偶数，
∴ $x$的取值为4或6。
当第三边长为$4\ \mathrm{cm}$时，三角形周长为$5+2+4=11\ (\mathrm{cm})$；
当第三边长为$6\ \mathrm{cm}$时，三角形周长为$5+2+6=13\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
此三角形的第三边长为4 cm或6 cm，对应的周长分别为11 cm或13 cm。
【知识点】
三角形三边关系；偶数的定义；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边角关系的基础应用类题目，核心考查对三角形三边关系的掌握，解题时要注意先确定第三边的取值范围，再结合附加限制条件筛选结果，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
