1. 王老师在讲完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$后，要求同学们运用所学知识求代数式$x^2+4x+5$的最小值. 同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$，
因为$(x+2)^2≥0$，
所以当$x=-2$时，$(x+2)^2$的值最小，最小值是0.
所以$(x+2)^2+1≥1$.
所以当$(x+2)^2=0$时，$(x+2)^2+1$的值最小，最小值是1.
所以$x^2+4x+5$的最小值是1.
根据上述方法，解决下列问题：
(1)当$x=$时，$x^2+6x-15$有最小值是；
(2)多项式$-x^2+2x+18$有最（填“大”或“小”）值，该值为；
(3)已知$-x^2+5x+y+20=0$，求$y+x$的最值；
(4)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数，且满足$a^2+b^2-2a-8b+17=0$，求$△ ABC$的周长.

(1)-3 -24
(2)大 19
(3)$\because \quad -x^2+5x+y+20=0,$
$\therefore \quad y=x^2-5x-20.$
$\therefore \quad y+x=x^2-5x-20+x=x^2-4x-20=(x-2)^2-24.$
$\because \quad (x-2)^2≥0,$
$\therefore \quad 当x=2时,(x-2)^2的值最小,最小值是0.$
$\therefore \quad (x-2)^2-24≥-24.$
$\therefore \quad 当(x-2)^2=0时,(x-2)^2-24的值最小,最小值是-24.$
$\therefore \quad y+x的最小值是-24.$
(4)$\because \quad a^2+b^2-2a-8b+17=0,$
$\therefore \quad (a-1)^2+(b-4)^2=0.$
$\therefore \quad a=1,b=4.$
$\therefore \quad 边长c的取值范围为4-1＜c＜4+1,$
即$3＜c＜5.$
$\because \quad a,b,c都是正整数,$
$\therefore \quad 边长c的值为4.$
$\therefore \quad △ ABC的周长为1+4+4=9.$

【分析】
本题考查配方法结合完全平方公式的非负性解决代数式最值、三角形边长计算等问题，解题思路如下：1. 对于二次代数式求最值，先将含变量的项组合，通过加、减一次项系数一半的平方配成完全平方式，再根据完全平方的非负性判断最值；2. 若二次项系数为负，先提取负号再配方，注意符号变化；3. 对于含两个变量的方程，先将目标式转化为仅含一个变量的代数式，再配方求最值；4. 对于两个完全平方相加为0的形式，根据非负数的性质得每个平方都为0，求出变量值后结合三角形三边关系确定第三边范围，进而计算周长。
【解析】
(1) 对$x^2+6x-15$配方：
$x^2+6x-15=x^2+6x+9-9-15=(x+3)^2-24$
$\because (x+3)^2≥0$，当$x=-3$时，$(x+3)^2$取最小值0
$\therefore$ 此时$(x+3)^2-24$的最小值为$0-24=-24$。
(2) 对$-x^2+2x+18$配方：
$-x^2+2x+18=-(x^2-2x)+18=-(x^2-2x+1-1)+18=-(x-1)^2+19$
$\because -(x-1)^2≤0$，当$x=1$时，$-(x-1)^2$取最大值0
$\therefore$ 此时$-(x-1)^2+19$的最大值为$0+19=19$。
(3) 先对已知式变形求$y$的表达式：
$\because -x^2+5x+y+20=0$
$\therefore y=x^2-5x-20$
则$y+x=x^2-5x-20+x=x^2-4x-20$
配方得：$x^2-4x-20=x^2-4x+4-4-20=(x-2)^2-24$
$\because (x-2)^2≥0$，当$x=2$时，$(x-2)^2$取最小值0
$\therefore (x-2)^2-24≥ 0-24=-24$，即$y+x$的最小值为$-24$。
(4) 对已知等式配方：
$\because a^2+b^2-2a-8b+17=0$
整理得：$(a^2-2a+1)+(b^2-8b+16)=0$，即$(a-1)^2+(b-4)^2=0$
根据非负数的性质，得$a-1=0$，$b-4=0$，解得$a=1$，$b=4$
根据三角形三边关系：两边之差$＜$第三边$＜$两边之和，得$4-1＜c＜4+1$，即$3＜c＜5$
$\because c$是正整数，$\therefore c=4$
$\therefore △ ABC$的周长为$1+4+4=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{-24}$
(2) $\boldsymbol{大}$，$\boldsymbol{19}$
(3) $y+x$的最小值为$\boldsymbol{-24}$
(4) $△ ABC$的周长为$\boldsymbol{9}$
【知识点】
完全平方公式，配方法的应用，非负数的性质
【点评】
本题围绕完全平方公式的灵活应用展开，核心是通过配方法将代数式转化为完全平方式加常数的形式，结合平方的非负性求解最值，同时结合方程、三角形三边关系考查综合应用能力，解题时需注意二次项系数为负时的符号处理，以及三角形第三边的取值限制。
【难度系数】
0.7

2. 现有若干个长与宽分别为$a,b$的小长方形，用两个这样的小长方形拼成如图①的图形，用四个这样的小长方形拼成如图②的图形，请认真观察图形，解答下列问题：

(1) 根据图①，教材已给出关于$a,b$的关系式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；根据图②，关于$a,b$的关系式可表示为.
(2) ①若$4m^2 + n^2 = 40$，$2m + n = 8$，则$mn =$；
②若$(4 - m)(5 - m) = 6$，则$(4 - m)^2 + (5 - m)^2 =$.
(3) 如图③，$C$是线段$AB$上的一点，分别以$AC,BC$为边向两侧作正方形，设$AB=7$，两正方形的面积和$S_1 + S_2 = 16$，求图中阴影部分的面积.

(1)$(a-b)^2+4ab=(a+b)^2$
(2)①6 ②13
(3)图中阴影部分的面积为16.5.

【分析】
(1) 观察图②可知，大正方形边长为$a+b$，面积可表示为$(a+b)^2$；中间阴影正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，周围4个小长方形的总面积为$4ab$，根据“大正方形面积=中间阴影正方形面积+4个小长方形面积”即可推导得到关系式。
(2) ① 将$2m$、$n$看作两个整体，利用完全平方和公式展开$(2m+n)^2$，代入已知数值即可求出$mn$。
② 把$(4-m)$和$(5-m)$看作两个整体，先计算两个整体的差值，再利用完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$代入计算即可。
(3) 设$AC=x$，$BC=y$，根据题意得$x+y=AB=7$，两正方形面积和$x^2+y^2=16$，阴影部分面积为$xy$，利用完全平方和公式的变形$xy=\frac{1}{2}[(x+y)^2-(x^2+y^2)]$代入计算即可。
【解析】
(1) 图②中大正方形面积等于中间阴影正方形面积加4个小长方形的面积，因此关系式为：
$\boldsymbol{(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2}$
(2) ① 由完全平方和公式可得：
$(2m + n)^2 = 4m^2 + 4mn + n^2$
将$4m^2 + n^2 = 40$，$2m + n = 8$代入上式：
$8^2 = 40 + 4mn$
$64 = 40 + 4mn$
解得$mn=6$。
② 设$x=4-m$，$y=5-m$，则$xy=6$，$x-y=(4-m)-(5-m)=-1$。
由完全平方公式变形得：
$x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy$
代入数值计算：$x^2 + y^2 = (-1)^2 + 2×6 = 1 + 12 =13$，即$(4 - m)^2 + (5 - m)^2 =13$。
(3) 设$AC=x$，$BC=y$，由题意得：
$x + y = AB =7$，$S_1 + S_2 = x^2 + y^2 =16$
阴影部分面积为$xy$，根据完全平方和公式：
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
代入数值：$7^2 =16 + 2xy$
$49 =16 + 2xy$
解得$xy = \frac{33}{2}=16.5$，即阴影部分面积为16.5。
【答案】
(1) $(a-b)^2+4ab=(a+b)^2$
(2) ①$6$；②$13$
(3) $16.5$
【知识点】
完全平方公式、完全平方公式变形、代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的应用，解题关键是理解完全平方公式的几何意义，熟练掌握公式的常见变形，能灵活运用变形解决代数式求值和几何面积计算问题。
【难度系数】
0.65