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1. 在月历中,我们可以发现其中某些数满足一定的规律.
(1)如图①是某月的月历,我们用如图所示的“Z”字形框任意框住月历中的5个数(如图①中的阴影部分),将位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减,例如:$6×20 - 5×21 =$
(2)设“Z”字形框中位置C上的数为x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明.
(3)如图②,在某月的月历中,长方形方框框住9个位置(阴影部分)上的数,如果最小的数和最大的数乘积为17,那么中间位置上的数$a=$
(1)如图①是某月的月历,我们用如图所示的“Z”字形框任意框住月历中的5个数(如图①中的阴影部分),将位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减,例如:$6×20 - 5×21 =$
15
, $3×17 - 2×18 =$15
,不难发现,结果都等于15
.(请完成填空)(2)设“Z”字形框中位置C上的数为x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明.
(3)如图②,在某月的月历中,长方形方框框住9个位置(阴影部分)上的数,如果最小的数和最大的数乘积为17,那么中间位置上的数$a=$
9
.答案
(1)15 15 15
(2)设C为x,则A,B,D,E四个数依次为x-8,x-7,x+7,x+8,
∴ (x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15.
故结果都等于15.
(3)9
(2)设C为x,则A,B,D,E四个数依次为x-8,x-7,x+7,x+8,
∴ (x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15.
故结果都等于15.
(3)9
解析
【分析】
(1)第一小问直接按照运算顺序计算两个算式的结果，对比即可得到共同结果；
(2)第二小问先明确月历的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7，用C位置的数x分别表示出A、B、D、E四个位置的数，再代入B×D - A×E的式子，通过整式运算化简即可证明规律；
(3)第三小问先找到9格方框中最小数、最大数和中间数a的关系：最小数比a小8，最大数比a大8，根据二者乘积为17列方程求解即可，注意月历中的数为正整数，取正根。
【解析】
(1)计算第一个式子：$6×20 - 5×21 = 120 - 105 = 15$；
计算第二个式子：$3×17 - 2×18 = 51 - 36 = 15$；
对比可得结果都等于15。
(2)根据月历数字规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。
设C位置的数为x，则：
B在C的正上方，故$B = x - 7$；
A在B的左侧，故$A = (x - 7) - 1 = x - 8$；
D在C的正下方，故$D = x + 7$；
E在D的右侧，故$E = (x + 7) + 1 = x + 8$。
代入计算$B·D - A·E$：
$\begin{aligned}&(x-7)(x+7) - (x-8)(x+8)\\=&(x^2 - 49) - (x^2 - 64)\\=&x^2 - 49 - x^2 + 64\\=&15\end{aligned}$
故规律成立，结果恒为15。
(3)观察9格方框的数字规律，中间数为a时：
最小数在左上角，比a小8，即最小数为$a - 8$；
最大数在右下角，比a大8，即最大数为$a + 8$。
由题意得：$(a - 8)(a + 8) = 17$
由平方差公式得：$a^2 - 64 = 17$
整理得：$a^2 = 81$
因为月历中的数为正整数，故$a = 9$（负根舍去）。
【答案】
(1)15；15；15
(2)证明见解析，结果恒为15
(3)9
【知识点】
月历数字规律；平方差公式；列代数式
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律探究，解题的关键是先观察归纳出月历中数字的差量关系，再通过整式运算验证规律、求解问题，属于规律探究类的基础题型，能够锻炼学生的观察能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
(1)第一小问直接按照运算顺序计算两个算式的结果，对比即可得到共同结果；
(2)第二小问先明确月历的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7，用C位置的数x分别表示出A、B、D、E四个位置的数，再代入B×D - A×E的式子，通过整式运算化简即可证明规律；
(3)第三小问先找到9格方框中最小数、最大数和中间数a的关系：最小数比a小8，最大数比a大8，根据二者乘积为17列方程求解即可，注意月历中的数为正整数，取正根。
【解析】
(1)计算第一个式子：$6×20 - 5×21 = 120 - 105 = 15$；
计算第二个式子：$3×17 - 2×18 = 51 - 36 = 15$；
对比可得结果都等于15。
(2)根据月历数字规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。
设C位置的数为x，则：
B在C的正上方，故$B = x - 7$；
A在B的左侧，故$A = (x - 7) - 1 = x - 8$；
D在C的正下方，故$D = x + 7$；
E在D的右侧，故$E = (x + 7) + 1 = x + 8$。
代入计算$B·D - A·E$：
$\begin{aligned}&(x-7)(x+7) - (x-8)(x+8)\\=&(x^2 - 49) - (x^2 - 64)\\=&x^2 - 49 - x^2 + 64\\=&15\end{aligned}$
故规律成立，结果恒为15。
(3)观察9格方框的数字规律，中间数为a时：
最小数在左上角，比a小8，即最小数为$a - 8$；
最大数在右下角，比a大8，即最大数为$a + 8$。
由题意得：$(a - 8)(a + 8) = 17$
由平方差公式得：$a^2 - 64 = 17$
整理得：$a^2 = 81$
因为月历中的数为正整数，故$a = 9$（负根舍去）。
【答案】
(1)15；15；15
(2)证明见解析，结果恒为15
(3)9
【知识点】
月历数字规律；平方差公式；列代数式
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律探究，解题的关键是先观察归纳出月历中数字的差量关系，再通过整式运算验证规律、求解问题，属于规律探究类的基础题型，能够锻炼学生的观察能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
2. 请阅读下列材料，并完成相应的任务.
“头同尾合十”的两位数乘法速算
所谓“头同尾合十”的两位数是指:两个因数的十位数字相同,个位数字相加刚好为10. 其对应的乘法速算方法是:
第一步:用两个因数的个位数字相乘,把得到的乘积作为结果的后两位,如果乘积是一位数,就把这个数作为结果的个位,十位用0表示;
第二步:用相同的十位数字乘比它大1的数,把得到的乘积放在第一步结果的前面,像这样组成的数就是两位数相乘的结果.
例如:
速算$74×76$,先算$4×6=24$,再算$7×(7+1)=56$,则$74×76=5624$;
速算$59×51$,先算$9×1=9$,再算$5×(5+1)=30$,则$59×51=3009$.
任务:
(1)利用上述速算方法,计算$32×38$:先算$2×8=16$,再算
(2)用$\overline{ab}$和$\overline{ac}$分别表示两个两位数,其中$a$表示十位数字,$b$和$c$表示它们的个位数字,且$b+c=10$.
①根据题意,两位数$\overline{ab}=10a+b$,则两位数$\overline{ac}=$
②为了说明该速算方法的正确性,请你证明$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$成立.
“头同尾合十”的两位数乘法速算
所谓“头同尾合十”的两位数是指:两个因数的十位数字相同,个位数字相加刚好为10. 其对应的乘法速算方法是:
第一步:用两个因数的个位数字相乘,把得到的乘积作为结果的后两位,如果乘积是一位数,就把这个数作为结果的个位,十位用0表示;
第二步:用相同的十位数字乘比它大1的数,把得到的乘积放在第一步结果的前面,像这样组成的数就是两位数相乘的结果.
例如:
速算$74×76$,先算$4×6=24$,再算$7×(7+1)=56$,则$74×76=5624$;
速算$59×51$,先算$9×1=9$,再算$5×(5+1)=30$,则$59×51=3009$.
任务:
(1)利用上述速算方法,计算$32×38$:先算$2×8=16$,再算
3×(3+1)=12
,则$32×38=$1216
.(2)用$\overline{ab}$和$\overline{ac}$分别表示两个两位数,其中$a$表示十位数字,$b$和$c$表示它们的个位数字,且$b+c=10$.
①根据题意,两位数$\overline{ab}=10a+b$,则两位数$\overline{ac}=$
10a+c
;②为了说明该速算方法的正确性,请你证明$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$成立.
答案
(1)$3×(3+1)=12$ 1216
(2)①$10a+c$
②$\overline{ab}×\overline{ac}$
$=(10a+b)(10a+c)$
$=100a^2+10ac+10ab+bc$
$=100a^2+10a(b+c)+bc.$
∵ $b+c=10,$
∴ $100a^2+10a(b+c)+bc$
$=100a^2+100a+bc$
$=100a(a+1)+bc.$
∴ $\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$ 成立.
(2)①$10a+c$
②$\overline{ab}×\overline{ac}$
$=(10a+b)(10a+c)$
$=100a^2+10ac+10ab+bc$
$=100a^2+10a(b+c)+bc.$
∵ $b+c=10,$
∴ $100a^2+10a(b+c)+bc$
$=100a^2+100a+bc$
$=100a(a+1)+bc.$
∴ $\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$ 成立.
解析
【分析】
(1) 第一问直接套用“头同尾合十”的速算规则即可：两个因数十位均为3，按速算第二步要求，用十位数字乘比它大1的数，再将所得结果和个位相乘的结果拼接，就能得到最终乘积。
(2) ① 考查两位数的代数表示方法：两位数=十位数字×10+个位数字，直接套用规则写出$\overline{ac}$的代数式即可。
② 证明题的解题思路：先将两个两位数用代数式展开，按照多项式乘多项式的法则计算乘积，再结合已知条件$b+c=10$代入化简，最终整理得到等号右侧的式子即可完成证明。
【解析】
(1) 按照速算第二步，计算十位数字乘比它大1的数：$3×(3+1)=12$，将12与第一步个位相乘的结果16拼接，得$32×38=1216$。
(2) ① $\overline{ac}$的十位数字是$a$，个位数字是$c$，因此$\overline{ac}=10a+c$。
② 证明：
$\overline{ab}×\overline{ac}$
$=(10a+b)(10a+c)$
$=100a^2+10ac+10ab+bc$
$=100a^2+10a(b+c)+bc.$
∵ $b+c=10,$
∴ $100a^2+10a(b+c)+bc$
$=100a^2+100a+bc$
$=100a(a+1)+bc.$
∴ $\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$ 成立。
【答案】
(1)$3×(3+1)=12$；1216
(2)①$10a+c$
②证明见上述解析
【知识点】
1. 新定义运算
2. 整式乘法运算
3. 代数式化简
【点评】
本题以趣味乘法速算为背景，既考查了对新规则的阅读理解和应用能力，又结合整式运算考查了代数逻辑推理能力，能帮助学生理解速算背后的数学本质。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问直接套用“头同尾合十”的速算规则即可：两个因数十位均为3，按速算第二步要求，用十位数字乘比它大1的数，再将所得结果和个位相乘的结果拼接，就能得到最终乘积。
(2) ① 考查两位数的代数表示方法：两位数=十位数字×10+个位数字，直接套用规则写出$\overline{ac}$的代数式即可。
② 证明题的解题思路：先将两个两位数用代数式展开，按照多项式乘多项式的法则计算乘积，再结合已知条件$b+c=10$代入化简，最终整理得到等号右侧的式子即可完成证明。
【解析】
(1) 按照速算第二步，计算十位数字乘比它大1的数：$3×(3+1)=12$，将12与第一步个位相乘的结果16拼接，得$32×38=1216$。
(2) ① $\overline{ac}$的十位数字是$a$，个位数字是$c$，因此$\overline{ac}=10a+c$。
② 证明：
$\overline{ab}×\overline{ac}$
$=(10a+b)(10a+c)$
$=100a^2+10ac+10ab+bc$
$=100a^2+10a(b+c)+bc.$
∵ $b+c=10,$
∴ $100a^2+10a(b+c)+bc$
$=100a^2+100a+bc$
$=100a(a+1)+bc.$
∴ $\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$ 成立。
【答案】
(1)$3×(3+1)=12$；1216
(2)①$10a+c$
②证明见上述解析
【知识点】
1. 新定义运算
2. 整式乘法运算
3. 代数式化简
【点评】
本题以趣味乘法速算为背景，既考查了对新规则的阅读理解和应用能力，又结合整式运算考查了代数逻辑推理能力，能帮助学生理解速算背后的数学本质。
【难度系数】
0.75
