登录
例 已知$(x+m)(x+n)=x^2+x-3.$
(1)求$(m-1)(n-1)$的值；
(2)求$(m-n)^2$的值.
解:$\because (x+m)(x+n)=x^2+x-3,$
$\therefore x^2+(m+n)x+mn=x^2+x-3.$
$\therefore m+n=1,mn=-3.$
(1)$(m-1)(n-1)$
$=mn-(m+n)+1$
$=-3-1+1$
$=-3.$
(2)$(m-n)^2$
$=(m+n)^2-4mn$
$=1^2-4×(-3)$
$=1+12$
$=13.$
(1)求$(m-1)(n-1)$的值；
(2)求$(m-n)^2$的值.
解:$\because (x+m)(x+n)=x^2+x-3,$
$\therefore x^2+(m+n)x+mn=x^2+x-3.$
$\therefore m+n=1,mn=-3.$
(1)$(m-1)(n-1)$
$=mn-(m+n)+1$
$=-3-1+1$
$=-3.$
(2)$(m-n)^2$
$=(m+n)^2-4mn$
$=1^2-4×(-3)$
$=1+12$
$=13.$
答案
解：$\because (x+m)(x+n)=x^2+x-3$，
$\therefore x^2+(m+n)x+mn=x^2+x-3$，
$\therefore m+n=1$，$mn=-3$。
(1)
$\begin{aligned}(m-1)(n-1)&=mn - m - n + 1\\&=mn-(m+n)+1\\&=-3 - 1 + 1\\&=-3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(m-n)^2&=m^2-2mn+n^2\\&=(m+n)^2-4mn\\&=1^2 - 4×(-3)\\&=1+12\\&=13\end{aligned}$
$\therefore x^2+(m+n)x+mn=x^2+x-3$，
$\therefore m+n=1$，$mn=-3$。
(1)
$\begin{aligned}(m-1)(n-1)&=mn - m - n + 1\\&=mn-(m+n)+1\\&=-3 - 1 + 1\\&=-3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(m-n)^2&=m^2-2mn+n^2\\&=(m+n)^2-4mn\\&=1^2 - 4×(-3)\\&=1+12\\&=13\end{aligned}$
解析
【分析】
解题时首先利用多项式乘多项式法则将等式左边展开，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，可求出m+n与mn的整体值，无需单独计算m、n的具体数值。第(1)问先将待求式(m-1)(n-1)展开整理，转化为含有m+n和mn的代数式，再整体代入已知值计算；第(2)问利用完全平方公式的变形，将(m-n)²转化为用(m+n)和mn表示的形式，再整体代入求值即可。
【解析】
$\because (x+m)(x+n)=x^2+x-3$，
$\therefore x^2+(m+n)x+mn=x^2+x-3$，
$\therefore m+n=1$，$mn=-3$。
(1)
$\begin{aligned}(m-1)(n-1)&=mn - m - n + 1\\&=mn-(m+n)+1\\&=-3 - 1 + 1\\&=-3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(m-n)^2&=m^2-2mn+n^2\\&=(m+n)^2-4mn\\&=1^2 - 4×(-3)\\&=1+12\\&=13\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{13}$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式运算相关公式的灵活变形能力，核心解题技巧是通过整体思想代入求值，省去求解单个字母数值的繁琐步骤，是整式运算中典型的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用多项式乘多项式法则将等式左边展开，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，可求出m+n与mn的整体值，无需单独计算m、n的具体数值。第(1)问先将待求式(m-1)(n-1)展开整理，转化为含有m+n和mn的代数式，再整体代入已知值计算；第(2)问利用完全平方公式的变形，将(m-n)²转化为用(m+n)和mn表示的形式，再整体代入求值即可。
【解析】
$\because (x+m)(x+n)=x^2+x-3$，
$\therefore x^2+(m+n)x+mn=x^2+x-3$，
$\therefore m+n=1$，$mn=-3$。
(1)
$\begin{aligned}(m-1)(n-1)&=mn - m - n + 1\\&=mn-(m+n)+1\\&=-3 - 1 + 1\\&=-3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(m-n)^2&=m^2-2mn+n^2\\&=(m+n)^2-4mn\\&=1^2 - 4×(-3)\\&=1+12\\&=13\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{13}$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式运算相关公式的灵活变形能力，核心解题技巧是通过整体思想代入求值，省去求解单个字母数值的繁琐步骤，是整式运算中典型的常考题型。
【难度系数】
0.8
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著,他在第二卷“几何与代数”中,阐述了数与形是一家,即通过“以数解形”和“以形助数”,可以把代数公式与几何图形相互转化.
(1)观察图①,它所对应的公式为
①$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$
②$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
③$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
(2)如图②,边长为$a,b$的长方形,它的周长为16,面积为6,求$(a+1)(b+1)$的值.
(3)将正方形$ABCD$与正方形$AEFG$如图③摆放,当正方形$ABCD$与正方形$AEFG$的面积和为40,$BE=4$时,求图中阴影部分的面积.
(1)观察图①,它所对应的公式为
①
.(填序号)①$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$
②$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
③$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
(2)如图②,边长为$a,b$的长方形,它的周长为16,面积为6,求$(a+1)(b+1)$的值.
(3)将正方形$ABCD$与正方形$AEFG$如图③摆放,当正方形$ABCD$与正方形$AEFG$的面积和为40,$BE=4$时,求图中阴影部分的面积.
答案
(1) ①
(2) $\because$ 边长为$a,b$的长方形,它的周长为16,面积为6,
$\therefore 2(a+b)=16,ab=6.$
$\therefore a+b=8.$
$\therefore (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=6+8+1=15.$
(3) 设正方形$ABCD$与正方形$AEFG$的边长分别为$x,y$,
$\because$ 两个正方形的面积和为40,$BE=4$,
$\therefore x^2+y^2=40,x-y=4.$
$\therefore (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=16.$
$\therefore 16=40-2xy.$ 解得$xy=12.$
$\therefore (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=40+2×12=64.$
$\therefore x+y=8$或$x+y=-8$(舍去).
$\therefore (x+y)(x-y)=x^2-y^2=8×4=32.$
$\therefore$ 阴影部分的面积为
$S_{正方形ABCD}-S_{梯形ABFG}-S_{△ CDG}$
$=x^2-\frac{1}{2}y(x+y)-\frac{1}{2}x(x-y)$
$=x^2-\frac{1}{2}xy-\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}xy$
$=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2$
$=\frac{1}{2}(x^2-y^2)$
$=\frac{1}{2}×32$
$=16.$
答:图中阴影部分的面积是16.
(2) $\because$ 边长为$a,b$的长方形,它的周长为16,面积为6,
$\therefore 2(a+b)=16,ab=6.$
$\therefore a+b=8.$
$\therefore (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=6+8+1=15.$
(3) 设正方形$ABCD$与正方形$AEFG$的边长分别为$x,y$,
$\because$ 两个正方形的面积和为40,$BE=4$,
$\therefore x^2+y^2=40,x-y=4.$
$\therefore (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=16.$
$\therefore 16=40-2xy.$ 解得$xy=12.$
$\therefore (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=40+2×12=64.$
$\therefore x+y=8$或$x+y=-8$(舍去).
$\therefore (x+y)(x-y)=x^2-y^2=8×4=32.$
$\therefore$ 阴影部分的面积为
$S_{正方形ABCD}-S_{梯形ABFG}-S_{△ CDG}$
$=x^2-\frac{1}{2}y(x+y)-\frac{1}{2}x(x-y)$
$=x^2-\frac{1}{2}xy-\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}xy$
$=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2$
$=\frac{1}{2}(x^2-y^2)$
$=\frac{1}{2}×32$
$=16.$
答:图中阴影部分的面积是16.
解析
【分析】
(1) 观察图①：大正方形边长为$x+y$，面积可表示为$(x+y)^2$；中间空白小正方形边长为$x-y$，面积为$(x-y)^2$，周围4个小长方形每个面积为$xy$，总面积为$4xy$。根据“大正方形面积=小正方形面积+4个长方形面积”，即可匹配对应公式。
(2) 先根据长方形周长、面积公式求出$a+b$和$ab$的值，再将$(a+1)(b+1)$展开，整体代入数值计算即可。
(3) 设两个正方形边长分别为$x$、$y$，先根据题意得到$x^2+y^2=40$、$x-y=4$，利用完全平方公式变形求出$xy$和$x+y$的值，再通过割补法表示阴影部分面积，化简后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 由图①的面积关系可得：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，故选①。
(2) $\because$ 边长为$a,b$的长方形周长为16，面积为6，
$\therefore 2(a+b)=16$，$ab=6$，
$\therefore a+b=8$，
$\therefore (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=6+8+1=15$。
(3) 设正方形$ABCD$边长为$x$，正方形$AEFG$边长为$y$，
$\because$ 两个正方形面积和为40，$BE=4$，
$\therefore x^2+y^2=40$，$x-y=4$，
由完全平方公式得：$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=16$，
代入得$16=40-2xy$，解得$xy=12$，
$\therefore (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=40+2×12=64$，
$\because x、y$均为正数，$\therefore x+y=8$，
$\therefore x^2-y^2=(x+y)(x-y)=8×4=32$，
阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{正方形ABCD}-S_{梯形ABFG}-S_{△ CDG}\\&=x^2-\frac{1}{2}y(x+y)-\frac{1}{2}x(x-y)\\&=x^2-\frac{1}{2}xy-\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}xy\\&=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}(x^2-y^2)\\&=\frac{1}{2}×32=16\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) $\boxed{15}$
(3) $\boxed{16}$
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，割补法求面积
【点评】
本题围绕数形结合思想展开，将乘法公式的几何意义、公式变形应用、不规则图形面积计算融合考查，三个小问梯度清晰，既要求熟练掌握乘法公式的变形技巧，也需要具备一定的几何分析能力，能较好地考查综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图①：大正方形边长为$x+y$，面积可表示为$(x+y)^2$；中间空白小正方形边长为$x-y$，面积为$(x-y)^2$，周围4个小长方形每个面积为$xy$，总面积为$4xy$。根据“大正方形面积=小正方形面积+4个长方形面积”，即可匹配对应公式。
(2) 先根据长方形周长、面积公式求出$a+b$和$ab$的值，再将$(a+1)(b+1)$展开，整体代入数值计算即可。
(3) 设两个正方形边长分别为$x$、$y$，先根据题意得到$x^2+y^2=40$、$x-y=4$，利用完全平方公式变形求出$xy$和$x+y$的值，再通过割补法表示阴影部分面积，化简后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 由图①的面积关系可得：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，故选①。
(2) $\because$ 边长为$a,b$的长方形周长为16，面积为6，
$\therefore 2(a+b)=16$，$ab=6$，
$\therefore a+b=8$，
$\therefore (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=6+8+1=15$。
(3) 设正方形$ABCD$边长为$x$，正方形$AEFG$边长为$y$，
$\because$ 两个正方形面积和为40，$BE=4$，
$\therefore x^2+y^2=40$，$x-y=4$，
由完全平方公式得：$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=16$，
代入得$16=40-2xy$，解得$xy=12$，
$\therefore (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=40+2×12=64$，
$\because x、y$均为正数，$\therefore x+y=8$，
$\therefore x^2-y^2=(x+y)(x-y)=8×4=32$，
阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{正方形ABCD}-S_{梯形ABFG}-S_{△ CDG}\\&=x^2-\frac{1}{2}y(x+y)-\frac{1}{2}x(x-y)\\&=x^2-\frac{1}{2}xy-\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}xy\\&=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}(x^2-y^2)\\&=\frac{1}{2}×32=16\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) $\boxed{15}$
(3) $\boxed{16}$
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，割补法求面积
【点评】
本题围绕数形结合思想展开，将乘法公式的几何意义、公式变形应用、不规则图形面积计算融合考查，三个小问梯度清晰，既要求熟练掌握乘法公式的变形技巧，也需要具备一定的几何分析能力，能较好地考查综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
