登录
1. 若$(x-1)^0=1$成立，则$x$的取值范围是（
A.$x＞1$
B.$x＜1$
C.$x=1$
D.$x≠1$
D
）A.$x＞1$
B.$x＜1$
C.$x=1$
D.$x≠1$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆零指数幂的相关规定：当底数不为0时，一个数的0次幂等于1，0的0次幂没有意义。本题中零指数幂的底数是$x-1$，因此只需要让底数不等于0，解出对应的x的取值范围即可得到答案。
【解析】
根据零指数幂的运算性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，0的0次幂无意义。
要使$(x-1)^0=1$成立，需满足底数不为0，即：
$x-1≠0$
解得$x≠1$，因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，主要考查零指数幂成立的前提条件，易错点是忽略底数不能为0的限制，误认为所有数的0次幂都等于1导致选错。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆零指数幂的相关规定：当底数不为0时，一个数的0次幂等于1，0的0次幂没有意义。本题中零指数幂的底数是$x-1$，因此只需要让底数不等于0，解出对应的x的取值范围即可得到答案。
【解析】
根据零指数幂的运算性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，0的0次幂无意义。
要使$(x-1)^0=1$成立，需满足底数不为0，即：
$x-1≠0$
解得$x≠1$，因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，主要考查零指数幂成立的前提条件，易错点是忽略底数不能为0的限制，误认为所有数的0次幂都等于1导致选错。
【难度系数】
0.85
2. 下列运算结果为$a^6$的是 （
A.$a^3 · a^2$
B.$a^3 + a^3$
C.$(a^2)^3$
D.$a^{18} ÷ a^3$
C
）A.$a^3 · a^2$
B.$a^3 + a^3$
C.$(a^2)^3$
D.$a^{18} ÷ a^3$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题时需先回忆同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则、合并同类项法则，再逐一计算每个选项的运算结果，最终选出结果为$a^6$的选项即可。
【解析】
我们对每个选项按照对应运算法则逐一计算：
选项A：根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可得$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5$，不符合要求；
选项B：根据“合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”，可得$a^3+a^3=2a^3$，不符合要求；
选项C：根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，符合要求；
选项D：根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，可得$a^{18}÷ a^3=a^{18-3}=a^{15}$，不符合要求。
综上，只有选项C的运算结果为$a^6$。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查各类幂运算规则的掌握情况，解题时要注意区分不同运算对应的指数计算规则，避免法则混淆导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题时需先回忆同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则、合并同类项法则，再逐一计算每个选项的运算结果，最终选出结果为$a^6$的选项即可。
【解析】
我们对每个选项按照对应运算法则逐一计算：
选项A：根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可得$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5$，不符合要求；
选项B：根据“合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”，可得$a^3+a^3=2a^3$，不符合要求；
选项C：根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，符合要求；
选项D：根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，可得$a^{18}÷ a^3=a^{18-3}=a^{15}$，不符合要求。
综上，只有选项C的运算结果为$a^6$。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查各类幂运算规则的掌握情况，解题时要注意区分不同运算对应的指数计算规则，避免法则混淆导致出错。
【难度系数】
0.8
3. 下列计算正确的是（
A.$-3x(x-1) = -3x^2 + 3x$
B.$(-\dfrac{1}{2}a)^2 · (-a) = \dfrac{1}{4}a^3$
C.$(2a-1)(a+1) = 2a^2 - a - 1$
D.$(2a^3b) ÷ (-ab) = -2a^3$
A
）A.$-3x(x-1) = -3x^2 + 3x$
B.$(-\dfrac{1}{2}a)^2 · (-a) = \dfrac{1}{4}a^3$
C.$(2a-1)(a+1) = 2a^2 - a - 1$
D.$(2a^3b) ÷ (-ab) = -2a^3$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查整式的各类运算，解题思路是依次对每个选项运用对应的整式运算法则计算，对比计算结果和选项给出的结果判断对错，最终选出正确选项。计算时要重点关注符号变化、指数运算规则这两个易错点。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
选项A：根据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项再相加：
$-3x(x-1)=-3x· x + (-3x)· (-1)=-3x^2 + 3x$，计算结果和选项一致，该选项正确。
选项B：先算积的乘方，再算同底数幂的乘法：
$(-\dfrac{1}{2}a)^2· (-a)=\dfrac{1}{4}a^2· (-a)=-\dfrac{1}{4}a^3$，和选项给出的$\dfrac{1}{4}a^3$不符，该选项错误。
选项C：根据多项式乘多项式法则展开：
$(2a-1)(a+1)=2a· a + 2a· 1 -1· a -1×1=2a^2 + 2a -a -1=2a^2 +a -1$，和选项给出的$2a^2 -a -1$不符，该选项错误。
选项D：根据单项式除以单项式法则，系数、同底数幂分别相除：
$(2a^3b)÷ (-ab)=[2÷ (-1)]· (a^3÷ a)· (b÷ b)=-2a^2$，和选项给出的$-2a^3$不符，该选项错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 整式的乘除运算 2. 幂的运算 3. 多项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，核心是检验对整式各类运算法则的熟练掌握程度，解题时要格外注意运算过程中的符号判断、幂的指数变化规律，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的各类运算，解题思路是依次对每个选项运用对应的整式运算法则计算，对比计算结果和选项给出的结果判断对错，最终选出正确选项。计算时要重点关注符号变化、指数运算规则这两个易错点。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
选项A：根据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项再相加：
$-3x(x-1)=-3x· x + (-3x)· (-1)=-3x^2 + 3x$，计算结果和选项一致，该选项正确。
选项B：先算积的乘方，再算同底数幂的乘法：
$(-\dfrac{1}{2}a)^2· (-a)=\dfrac{1}{4}a^2· (-a)=-\dfrac{1}{4}a^3$，和选项给出的$\dfrac{1}{4}a^3$不符，该选项错误。
选项C：根据多项式乘多项式法则展开：
$(2a-1)(a+1)=2a· a + 2a· 1 -1· a -1×1=2a^2 + 2a -a -1=2a^2 +a -1$，和选项给出的$2a^2 -a -1$不符，该选项错误。
选项D：根据单项式除以单项式法则，系数、同底数幂分别相除：
$(2a^3b)÷ (-ab)=[2÷ (-1)]· (a^3÷ a)· (b÷ b)=-2a^2$，和选项给出的$-2a^3$不符，该选项错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 整式的乘除运算 2. 幂的运算 3. 多项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，核心是检验对整式各类运算法则的熟练掌握程度，解题时要格外注意运算过程中的符号判断、幂的指数变化规律，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.8
4. 当$a=\frac{3}{4}$时，式子$(28a^3 -28a^2 +7a)÷7a$的值是
（
A.6.25
B.0.25
C.-2.25
D.-4
（
B
）A.6.25
B.0.25
C.-2.25
D.-4
答案
4. B
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题优先采用先化简再代值的思路，避免直接代入数值产生的复杂运算。首先根据多项式除以单项式的运算规则，将原式的每一项分别除以除式7a，化简得到最简整式后，再代入a的数值计算结果即可。
【解析】
首先对原式进行化简：
根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以7a：
$\begin{aligned}(28a^3 -28a^2 +7a)÷7a&=28a^3÷7a -28a^2÷7a +7a÷7a\\&=4a^2 -4a +1\\&=(2a-1)^2\end{aligned}$
将$a=\frac{3}{4}$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}(2×\frac{3}{4} -1)^2&=(\frac{3}{2} -1)^2\\&=(\frac{1}{2})^2\\&=\frac{1}{4}=0.25\end{aligned}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式，整式化简求值，完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握先化简再求值的运算思路，可有效降低计算量、减少运算错误，熟练掌握整式除法法则和常用乘法公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值类题目，解题优先采用先化简再代值的思路，避免直接代入数值产生的复杂运算。首先根据多项式除以单项式的运算规则，将原式的每一项分别除以除式7a，化简得到最简整式后，再代入a的数值计算结果即可。
【解析】
首先对原式进行化简：
根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以7a：
$\begin{aligned}(28a^3 -28a^2 +7a)÷7a&=28a^3÷7a -28a^2÷7a +7a÷7a\\&=4a^2 -4a +1\\&=(2a-1)^2\end{aligned}$
将$a=\frac{3}{4}$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}(2×\frac{3}{4} -1)^2&=(\frac{3}{2} -1)^2\\&=(\frac{1}{2})^2\\&=\frac{1}{4}=0.25\end{aligned}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式，整式化简求值，完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握先化简再求值的运算思路，可有效降低计算量、减少运算错误，熟练掌握整式除法法则和常用乘法公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 已知 $a^m = p$，$a^n = q$，那么 $a^{2m - 3n} = $ (
A.$2p - 3q$
B.$p^2 - q^3$
C.$\dfrac{2b}{3q}$
D.$\dfrac{p^2}{q^3}$
D
)A.$2p - 3q$
B.$p^2 - q^3$
C.$\dfrac{2b}{3q}$
D.$\dfrac{p^2}{q^3}$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的指数特征，指数为差的形式，应先逆用同底数幂的除法法则，将其转化为两个幂相除的形式；再观察指数的系数为2和3，逆用幂的乘方法则，将两个幂分别转化为已知的$a^m$、$a^n$的乘方形式，最后代入已知条件计算即可。也可通过排除法快速排除明显错误的选项：选项A、B是整式加减形式，不符合幂的运算结果特征，选项C出现了题目中不存在的字母b，可直接排除。
【解析】
根据幂的运算性质逆用计算：
第一步，逆用同底数幂的除法法则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得：
$a^{2m-3n}=a^{2m}÷ a^{3n}$
第二步，逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$a^{2m}=(a^m)^2=p^2$，$a^{3n}=(a^n)^3=q^3$
第三步，代入计算得：
$a^{2m-3n}=\frac{p^2}{q^3}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的逆用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能根据所求代数式的指数特征对其正确变形，再代入已知条件求值，是幂运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的指数特征，指数为差的形式，应先逆用同底数幂的除法法则，将其转化为两个幂相除的形式；再观察指数的系数为2和3，逆用幂的乘方法则，将两个幂分别转化为已知的$a^m$、$a^n$的乘方形式，最后代入已知条件计算即可。也可通过排除法快速排除明显错误的选项：选项A、B是整式加减形式，不符合幂的运算结果特征，选项C出现了题目中不存在的字母b，可直接排除。
【解析】
根据幂的运算性质逆用计算：
第一步，逆用同底数幂的除法法则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得：
$a^{2m-3n}=a^{2m}÷ a^{3n}$
第二步，逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$a^{2m}=(a^m)^2=p^2$，$a^{3n}=(a^n)^3=q^3$
第三步，代入计算得：
$a^{2m-3n}=\frac{p^2}{q^3}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的逆用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能根据所求代数式的指数特征对其正确变形，再代入已知条件求值，是幂运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
6. 已知$2x - 3y - 2 = 0$，则$(10^x)^2 ÷ (10^y)^3 =$
100
答案
6. 100
解析
【分析】
解题时先利用幂的运算性质化简所求的代数式，再结合已知等式求出指数部分的值，最后整体代入计算即可。第一步：根据幂的乘方法则，分别化简$(10^x)^2$和$(10^y)^3$；第二步：根据同底数幂的除法法则计算化简后的式子，得到指数为$2x-3y$；第三步：从已知方程中变形得到$2x-3y$的值，代入化简后的式子计算出结果。
【解析】
首先对所求式子进行化简：
1. 由幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(10^x)^2=10^{2x}$，$(10^y)^3=10^{3y}$
2. 由同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数），可得：
原式$=10^{2x} ÷ 10^{3y} = 10^{2x-3y}$
3. 已知$2x - 3y - 2 = 0$，移项得$2x - 3y = 2$，将其代入上式：
$10^{2x-3y}=10^2=100$
【答案】
100
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的除法，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查幂的基本运算性质的应用，核心是通过整体思想将已知条件转化为所求式子的指数值，只要熟练掌握幂的相关运算法则就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用幂的运算性质化简所求的代数式，再结合已知等式求出指数部分的值，最后整体代入计算即可。第一步：根据幂的乘方法则，分别化简$(10^x)^2$和$(10^y)^3$；第二步：根据同底数幂的除法法则计算化简后的式子，得到指数为$2x-3y$；第三步：从已知方程中变形得到$2x-3y$的值，代入化简后的式子计算出结果。
【解析】
首先对所求式子进行化简：
1. 由幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(10^x)^2=10^{2x}$，$(10^y)^3=10^{3y}$
2. 由同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数），可得：
原式$=10^{2x} ÷ 10^{3y} = 10^{2x-3y}$
3. 已知$2x - 3y - 2 = 0$，移项得$2x - 3y = 2$，将其代入上式：
$10^{2x-3y}=10^2=100$
【答案】
100
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的除法，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查幂的基本运算性质的应用，核心是通过整体思想将已知条件转化为所求式子的指数值，只要熟练掌握幂的相关运算法则就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
7. 如果在计算$(8a^3b - 5a^2b^2)÷4ab$时把括号内的减号不小心抄成加号，那么正确结果和错误结果的差是________。
答案
7. $-\dfrac{5}{2}ab$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要分别求出正确算式的结果和抄错符号后的错误算式的结果，再计算两个结果的差即可。解题步骤可分为三步：第一步根据多项式除以单项式的法则计算正确结果；第二步将括号内减号换为加号，用同样法则计算错误结果；第三步用正确结果减去错误结果，化简后得到最终差值。
【解析】
首先计算正确结果：
根据多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相减：
$\begin{split}正确结果&=(8a^3b - 5a^2b^2)÷4ab\\&=8a^3b÷4ab - 5a^2b^2÷4ab\\&=2a^2 - \frac{5}{4}ab\end{split}$
再计算抄错符号后的错误结果：
$\begin{split}错误结果&=(8a^3b + 5a^2b^2)÷4ab\\&=8a^3b÷4ab + 5a^2b^2÷4ab\\&=2a^2 + \frac{5}{4}ab\end{split}$
最后计算两个结果的差：
$\begin{split}差&=正确结果 - 错误结果\\&=(2a^2 - \frac{5}{4}ab) - (2a^2 + \frac{5}{4}ab)\\&=2a^2 - \frac{5}{4}ab - 2a^2 - \frac{5}{4}ab\\&=-\frac{10}{4}ab\\&=-\frac{5}{2}ab\end{split}$
【答案】
$-\dfrac{5}{2}ab$
【知识点】
1. 多项式除以单项式法则
2. 整式的加减运算
3. 去括号法则
【点评】
本题重点考查整式的基本运算，解题的核心是准确区分正确和错误的运算式，严格按照运算法则计算，尤其要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要分别求出正确算式的结果和抄错符号后的错误算式的结果，再计算两个结果的差即可。解题步骤可分为三步：第一步根据多项式除以单项式的法则计算正确结果；第二步将括号内减号换为加号，用同样法则计算错误结果；第三步用正确结果减去错误结果，化简后得到最终差值。
【解析】
首先计算正确结果：
根据多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相减：
$\begin{split}正确结果&=(8a^3b - 5a^2b^2)÷4ab\\&=8a^3b÷4ab - 5a^2b^2÷4ab\\&=2a^2 - \frac{5}{4}ab\end{split}$
再计算抄错符号后的错误结果：
$\begin{split}错误结果&=(8a^3b + 5a^2b^2)÷4ab\\&=8a^3b÷4ab + 5a^2b^2÷4ab\\&=2a^2 + \frac{5}{4}ab\end{split}$
最后计算两个结果的差：
$\begin{split}差&=正确结果 - 错误结果\\&=(2a^2 - \frac{5}{4}ab) - (2a^2 + \frac{5}{4}ab)\\&=2a^2 - \frac{5}{4}ab - 2a^2 - \frac{5}{4}ab\\&=-\frac{10}{4}ab\\&=-\frac{5}{2}ab\end{split}$
【答案】
$-\dfrac{5}{2}ab$
【知识点】
1. 多项式除以单项式法则
2. 整式的加减运算
3. 去括号法则
【点评】
本题重点考查整式的基本运算，解题的核心是准确区分正确和错误的运算式，严格按照运算法则计算，尤其要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
8. 定义:$L(A)$是多项式$A$化简后的项数,例如多项式$A=x^2+2x-3$,则$L(A)=3$.一个多项式$A$乘多项式$B$化简得到多项式$C$(即$C=A× B$),若$L(A)≤ L(C)≤ L(A)+1$,则称$B$是$A$的“好多项式”;若$L(A)=L(C)$,则称$B$是$A$的“极好多项式”.若$A=x-3,B=x^2-ax+9$均是关于$x$的多项式,且$B$是$A$的“极好多项式”,则$a=$
-3
.答案
8. -3
解析
【分析】
首先理解题中“极好多项式”的新定义：若B是A的极好多项式，则乘积$C=A×B$化简后的项数等于A的项数。首先确定A的项数$L(A)=2$，因此乘积C化简后项数需为2。再将A、B相乘展开并合并同类项，由于乘积的三次项和常数项必然存在，因此只需让二次项、一次项的系数均为0，即可让C的项数为2，据此列方程求解a的值即可。
【解析】
首先计算A的项数：多项式$A=x-3$化简后有2项，因此$L(A)=2$。
∵B是A的“极好多项式”，
∴$L(C)=L(A)=2$，即$C=A×B$化简后仅有2项。
计算乘积：
$\begin{aligned}C&=(x-3)(x^2-ax+9)\\&=x·x^2 +x·(-ax)+x·9 -3·x^2 -3·(-ax) -3·9\\&=x^3 -ax^2 +9x -3x^2 +3ax -27\\&=x^3 +(-a-3)x^2 +(9+3a)x -27\end{aligned}$
观察化简后的多项式，三次项$x^3$和常数项$-27$一定存在，要让总项数为2，需使二次项和一次项的系数都为0，列方程：
$\begin{cases}-a-3=0\\9+3a=0\end{cases}$
解第一个方程得：$a=-3$，代入第二个方程验证：左边$=9+3×(-3)=0$，等式成立。
因此$a=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
新定义运算、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题属于新定义类运算题，解题核心是准确理解新定义的规则，将陌生问题转化为熟悉的多项式运算问题，通过令对应项系数为0建立方程求解，运算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
首先理解题中“极好多项式”的新定义：若B是A的极好多项式，则乘积$C=A×B$化简后的项数等于A的项数。首先确定A的项数$L(A)=2$，因此乘积C化简后项数需为2。再将A、B相乘展开并合并同类项，由于乘积的三次项和常数项必然存在，因此只需让二次项、一次项的系数均为0，即可让C的项数为2，据此列方程求解a的值即可。
【解析】
首先计算A的项数：多项式$A=x-3$化简后有2项，因此$L(A)=2$。
∵B是A的“极好多项式”，
∴$L(C)=L(A)=2$，即$C=A×B$化简后仅有2项。
计算乘积：
$\begin{aligned}C&=(x-3)(x^2-ax+9)\\&=x·x^2 +x·(-ax)+x·9 -3·x^2 -3·(-ax) -3·9\\&=x^3 -ax^2 +9x -3x^2 +3ax -27\\&=x^3 +(-a-3)x^2 +(9+3a)x -27\end{aligned}$
观察化简后的多项式，三次项$x^3$和常数项$-27$一定存在，要让总项数为2，需使二次项和一次项的系数都为0，列方程：
$\begin{cases}-a-3=0\\9+3a=0\end{cases}$
解第一个方程得：$a=-3$，代入第二个方程验证：左边$=9+3×(-3)=0$，等式成立。
因此$a=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
新定义运算、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题属于新定义类运算题，解题核心是准确理解新定义的规则，将陌生问题转化为熟悉的多项式运算问题，通过令对应项系数为0建立方程求解，运算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
