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16. (★★★)若$5x^2 - 30xy + 45y^2 = 0(y≠0)$，则$\frac{x}{y}$的值为。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】首先观察给出的等式，左边是二次三项式，可先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；结合已知$y≠0$的条件，可得到$x$与$y$的数量关系，进而求出$\frac{x}{y}$的值。也可通过设$k=\frac{x}{y}$，将$x=ky$代入原式转化为关于$k$的方程求解，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
解：对等式$5x^2 - 30xy + 45y^2 = 0$左边因式分解：
1. 提取公因式5，可得：
$5(x^2 - 6xy + 9y^2) = 0$
2. 括号内的多项式符合完全平方公式，整理得：
$5(x - 3y)^2 = 0$
3. 两边同时除以5，得：
$(x - 3y)^2 = 0$
4. 开方可得$x - 3y = 0$，即$x = 3y$
已知$y≠0$，等式两边同时除以$y$，可得：
$\frac{x}{y} = 3$
【答案】$\boldsymbol{3}$
【知识点】因式分解；完全平方公式；等式的性质
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，利用$y≠0$的条件建立$x$与$y$的关系，解题时注意不要忽略$y≠0$的限制条件，避免出现无意义的运算。
【难度系数】0.7
【解析】
解：对等式$5x^2 - 30xy + 45y^2 = 0$左边因式分解：
1. 提取公因式5，可得：
$5(x^2 - 6xy + 9y^2) = 0$
2. 括号内的多项式符合完全平方公式，整理得：
$5(x - 3y)^2 = 0$
3. 两边同时除以5，得：
$(x - 3y)^2 = 0$
4. 开方可得$x - 3y = 0$，即$x = 3y$
已知$y≠0$，等式两边同时除以$y$，可得：
$\frac{x}{y} = 3$
【答案】$\boldsymbol{3}$
【知识点】因式分解；完全平方公式；等式的性质
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，利用$y≠0$的条件建立$x$与$y$的关系，解题时注意不要忽略$y≠0$的限制条件，避免出现无意义的运算。
【难度系数】0.7
17. (★★★)(1)阅读下面的例题:
解方程$x^2 - |x| -2=0$.
解:分两种情况讨论.
当$x≥0$时,原方程化为$x^2 -x -2=0$.
解得$x_1=2,x_2=-1$(不合题意,舍去).
当$x＜0$时,原方程化为$x^2 +x -2=0$.
解得$x_3=-2,x_4=1$(不合题意,舍去).
综上所述,原方程的根是$x=2$,或$x=-2$.
(2)请参照(1)中例题解下列方程:
①$x^2 - |x| -6=0$;
②$x^2 - |x-1| -1=0$.
解方程$x^2 - |x| -2=0$.
解:分两种情况讨论.
当$x≥0$时,原方程化为$x^2 -x -2=0$.
解得$x_1=2,x_2=-1$(不合题意,舍去).
当$x＜0$时,原方程化为$x^2 +x -2=0$.
解得$x_3=-2,x_4=1$(不合题意,舍去).
综上所述,原方程的根是$x=2$,或$x=-2$.
(2)请参照(1)中例题解下列方程:
①$x^2 - |x| -6=0$;
②$x^2 - |x-1| -1=0$.
答案
解：
① 分两种情况讨论.
当$x≥0$时，原方程化为$x^2 - x - 6 = 0$.
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$（不合题意，舍去）.
当$x＜0$时，原方程化为$x^2 + x - 6 = 0$.
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x_3=-3$，$x_4=2$（不合题意，舍去）.
综上所述，方程$x^2 - |x| -6=0$的根是$x=3$或$x=-3$.
② 分两种情况讨论.
当$x≥1$时，$|x-1|=x-1$，原方程化为$x^2 - (x-1) -1 = 0$.
整理得$x^2 - x = 0$，即$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$（不合题意，舍去），$x_2=1$.
当$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，原方程化为$x^2 - (1-x) -1 = 0$.
整理得$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_3=-2$，$x_4=1$（不合题意，舍去）.
综上所述，方程$x^2 - |x-1| -1=0$的根是$x=1$或$x=-2$.
① 分两种情况讨论.
当$x≥0$时，原方程化为$x^2 - x - 6 = 0$.
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$（不合题意，舍去）.
当$x＜0$时，原方程化为$x^2 + x - 6 = 0$.
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x_3=-3$，$x_4=2$（不合题意，舍去）.
综上所述，方程$x^2 - |x| -6=0$的根是$x=3$或$x=-3$.
② 分两种情况讨论.
当$x≥1$时，$|x-1|=x-1$，原方程化为$x^2 - (x-1) -1 = 0$.
整理得$x^2 - x = 0$，即$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$（不合题意，舍去），$x_2=1$.
当$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，原方程化为$x^2 - (1-x) -1 = 0$.
整理得$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_3=-2$，$x_4=1$（不合题意，舍去）.
综上所述，方程$x^2 - |x-1| -1=0$的根是$x=1$或$x=-2$.
解析
【分析】
这是含绝对值的一元二次方程，解题核心是利用绝对值的性质分类讨论去掉绝对值符号，将方程转化为普通一元二次方程求解。具体思路为：第一步找到绝对值内代数式的零点，划分自变量的取值范围；第二步在每个取值范围内去掉绝对值，解对应的一元二次方程；第三步检验解得的根是否符合当前取值范围，舍去不符合的根，最后汇总所有符合条件的根。
【解析】
① 求解$x^2 - |x| -6=0$：
分两种情况讨论：
当$x≥0$时，$|x|=x$，原方程化为$x^2 - x - 6 = 0$，
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$，因$x≥0$，$x_2=-2$不合题意，舍去；
当$x＜0$时，$|x|=-x$，原方程化为$x^2 + x - 6 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x_3=-3$，$x_4=2$，因$x＜0$，$x_4=2$不合题意，舍去；
综上所述，方程$x^2 - |x| -6=0$的根是$x=3$或$x=-3$。
② 求解$x^2 - |x-1| -1=0$：
分两种情况讨论：
当$x≥1$时，$|x-1|=x-1$，原方程化为$x^2 - (x-1) -1 = 0$，
整理得$x^2 - x = 0$，即$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，因$x≥1$，$x_1=0$不合题意，舍去；
当$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，原方程化为$x^2 - (1-x) -1 = 0$，
整理得$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_3=-2$，$x_4=1$，因$x＜1$，$x_4=1$不合题意，舍去；
综上所述，方程$x^2 - |x-1| -1=0$的根是$x=1$或$x=-2$。
【答案】
①$x=3$或$x=-3$；②$x=1$或$x=-2$
【知识点】
绝对值的性质，一元二次方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题属于含绝对值的方程类基础题型，关键是掌握分类讨论去绝对值的方法，求解后要注意验证根是否符合对应取值范围，避免出现增根，熟练掌握该方法即可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
这是含绝对值的一元二次方程，解题核心是利用绝对值的性质分类讨论去掉绝对值符号，将方程转化为普通一元二次方程求解。具体思路为：第一步找到绝对值内代数式的零点，划分自变量的取值范围；第二步在每个取值范围内去掉绝对值，解对应的一元二次方程；第三步检验解得的根是否符合当前取值范围，舍去不符合的根，最后汇总所有符合条件的根。
【解析】
① 求解$x^2 - |x| -6=0$：
分两种情况讨论：
当$x≥0$时，$|x|=x$，原方程化为$x^2 - x - 6 = 0$，
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$，因$x≥0$，$x_2=-2$不合题意，舍去；
当$x＜0$时，$|x|=-x$，原方程化为$x^2 + x - 6 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x_3=-3$，$x_4=2$，因$x＜0$，$x_4=2$不合题意，舍去；
综上所述，方程$x^2 - |x| -6=0$的根是$x=3$或$x=-3$。
② 求解$x^2 - |x-1| -1=0$：
分两种情况讨论：
当$x≥1$时，$|x-1|=x-1$，原方程化为$x^2 - (x-1) -1 = 0$，
整理得$x^2 - x = 0$，即$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，因$x≥1$，$x_1=0$不合题意，舍去；
当$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，原方程化为$x^2 - (1-x) -1 = 0$，
整理得$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_3=-2$，$x_4=1$，因$x＜1$，$x_4=1$不合题意，舍去；
综上所述，方程$x^2 - |x-1| -1=0$的根是$x=1$或$x=-2$。
【答案】
①$x=3$或$x=-3$；②$x=1$或$x=-2$
【知识点】
绝对值的性质，一元二次方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题属于含绝对值的方程类基础题型，关键是掌握分类讨论去绝对值的方法，求解后要注意验证根是否符合对应取值范围，避免出现增根，熟练掌握该方法即可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
