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1. (★)用配方法解下列方程：
(1)$x^2 -6x -9=0$；
(2)$2x^2 +7x -4=0$。
(1)$x^2 -6x -9=0$；
(2)$2x^2 +7x -4=0$。
答案
解：
(1) 移项，得：
$x^2 - 6x = 9$
配方，两边同时加上$9$，得：
$x^2 - 6x + 9 = 9 + 9$
即$(x-3)^2 = 18$
开平方，得：
$x - 3 = \pm 3\sqrt{2}$
解得：
$x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$，$x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$
(2) 移项，得：
$2x^2 + 7x = 4$
二次项系数化为1，两边同时除以2，得：
$x^2 + \dfrac{7}{2}x = 2$
配方，两边同时加上$\dfrac{49}{16}$，得：
$x^2 + \dfrac{7}{2}x + \dfrac{49}{16} = 2 + \dfrac{49}{16}$
即$(x + \dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
开平方，得：
$x + \dfrac{7}{4} = \pm \dfrac{9}{4}$
解得：
$x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_2 = -4$
(1) 移项，得：
$x^2 - 6x = 9$
配方，两边同时加上$9$，得：
$x^2 - 6x + 9 = 9 + 9$
即$(x-3)^2 = 18$
开平方，得：
$x - 3 = \pm 3\sqrt{2}$
解得：
$x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$，$x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$
(2) 移项，得：
$2x^2 + 7x = 4$
二次项系数化为1，两边同时除以2，得：
$x^2 + \dfrac{7}{2}x = 2$
配方，两边同时加上$\dfrac{49}{16}$，得：
$x^2 + \dfrac{7}{2}x + \dfrac{49}{16} = 2 + \dfrac{49}{16}$
即$(x + \dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
开平方，得：
$x + \dfrac{7}{4} = \pm \dfrac{9}{4}$
解得：
$x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_2 = -4$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②移项，将常数项移到方程等号右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式；④开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。第(1)问二次项系数已经是1，可直接移项后配方；第(2)问二次项系数为2，需先把二次项系数化为1再按步骤运算。
【解析】
(1) 移项，得：
$x^2 - 6x = 9$
配方，两边同时加上$9$，得：
$x^2 - 6x + 9 = 9 + 9$
即$(x-3)^2 = 18$
开平方，得：
$x - 3 = \pm 3\sqrt{2}$
解得：
$x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$，$x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$
(2) 移项，得：
$2x^2 + 7x = 4$
二次项系数化为1，两边同时除以2，得：
$x^2 + \dfrac{7}{2}x = 2$
配方，两边同时加上$\dfrac{49}{16}$，得：
$x^2 + \dfrac{7}{2}x + \dfrac{49}{16} = 2 + \dfrac{49}{16}$
即$(x + \dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
开平方，得：
$x + \dfrac{7}{4} = \pm \dfrac{9}{4}$
解得：
$x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_2 = -4$
【答案】
(1) $x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$，$x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$；
(2) $x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_2 = -4$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根的意义
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意二次项系数不为1时要先化为1再配方，计算配方时所加的常数为一次项系数一半的平方，避免计算错误，熟练掌握步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②移项，将常数项移到方程等号右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式；④开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。第(1)问二次项系数已经是1，可直接移项后配方；第(2)问二次项系数为2，需先把二次项系数化为1再按步骤运算。
【解析】
(1) 移项，得：
$x^2 - 6x = 9$
配方，两边同时加上$9$，得：
$x^2 - 6x + 9 = 9 + 9$
即$(x-3)^2 = 18$
开平方，得：
$x - 3 = \pm 3\sqrt{2}$
解得：
$x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$，$x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$
(2) 移项，得：
$2x^2 + 7x = 4$
二次项系数化为1，两边同时除以2，得：
$x^2 + \dfrac{7}{2}x = 2$
配方，两边同时加上$\dfrac{49}{16}$，得：
$x^2 + \dfrac{7}{2}x + \dfrac{49}{16} = 2 + \dfrac{49}{16}$
即$(x + \dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
开平方，得：
$x + \dfrac{7}{4} = \pm \dfrac{9}{4}$
解得：
$x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_2 = -4$
【答案】
(1) $x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$，$x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$；
(2) $x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_2 = -4$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根的意义
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意二次项系数不为1时要先化为1再配方，计算配方时所加的常数为一次项系数一半的平方，避免计算错误，熟练掌握步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. (★)用公式法解下列方程：
(1) $3x^2 = 2 - 5x$；
(2) $4x^2 + 3x - 2 = 0$。
(1) $3x^2 = 2 - 5x$；
(2) $4x^2 + 3x - 2 = 0$。
答案
解：
(1) 将方程整理为一般形式：
$3x^2 + 5x - 2 = 0$
其中 $a=3$，$b=5$，$c=-2$
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4×3×(-2) = 25 + 24 = 49 ＞ 0$
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{-5\pm7}{6}$
$\therefore x_1=\frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3}$，$x_2=\frac{-5-7}{6}=-2$
(2) 方程 $4x^2 + 3x - 2 = 0$ 中，
$a=4$，$b=3$，$c=-2$
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×4×(-2) = 9 + 32 = 41 ＞ 0$
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{2×4}=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{8}$
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$
(1) 将方程整理为一般形式：
$3x^2 + 5x - 2 = 0$
其中 $a=3$，$b=5$，$c=-2$
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4×3×(-2) = 25 + 24 = 49 ＞ 0$
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{-5\pm7}{6}$
$\therefore x_1=\frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3}$，$x_2=\frac{-5-7}{6}=-2$
(2) 方程 $4x^2 + 3x - 2 = 0$ 中，
$a=4$，$b=3$，$c=-2$
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×4×(-2) = 9 + 32 = 41 ＞ 0$
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{2×4}=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{8}$
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定解题步骤：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值（注意数值的正负）；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；③当$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算得到方程的根。第(1)小题原式不是一般形式，需先移项整理；第(2)小题已经是一般形式，可直接确定$a$、$b$、$c$的值代入计算。
【解析】
(1) 将方程整理为一般形式：
$3x^2 + 5x - 2 = 0$
其中 $a=3$，$b=5$，$c=-2$
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4×3×(-2) = 25 + 24 = 49 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{-5\pm7}{6}$
$\therefore x_1=\frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3}$，$x_2=\frac{-5-7}{6}=-2$
(2) 方程 $4x^2 + 3x - 2 = 0$ 中，
$a=4$，$b=3$，$c=-2$
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×4×(-2) = 9 + 32 = 41 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{2×4}=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{8}$
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-2$；
(2) $x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查公式法的标准解题流程，解题时需注意先将方程化为一般形式，确定$a$、$b$、$c$时要留意符号，计算判别式和求根时要保证运算准确，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定解题步骤：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值（注意数值的正负）；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；③当$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算得到方程的根。第(1)小题原式不是一般形式，需先移项整理；第(2)小题已经是一般形式，可直接确定$a$、$b$、$c$的值代入计算。
【解析】
(1) 将方程整理为一般形式：
$3x^2 + 5x - 2 = 0$
其中 $a=3$，$b=5$，$c=-2$
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4×3×(-2) = 25 + 24 = 49 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{-5\pm7}{6}$
$\therefore x_1=\frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3}$，$x_2=\frac{-5-7}{6}=-2$
(2) 方程 $4x^2 + 3x - 2 = 0$ 中，
$a=4$，$b=3$，$c=-2$
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×4×(-2) = 9 + 32 = 41 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{2×4}=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{8}$
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-2$；
(2) $x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查公式法的标准解题流程，解题时需注意先将方程化为一般形式，确定$a$、$b$、$c$时要留意符号，计算判别式和求根时要保证运算准确，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
3. (★)用因式分解法解下列方程：
(1)$3(x-2)^2 = x(x-2)$；
(2)$x^2 -4x +4=(3-2x)^2$。
(1)$3(x-2)^2 = x(x-2)$；
(2)$x^2 -4x +4=(3-2x)^2$。
答案
解：
(1) 移项，得
$3(x-2)^2 - x(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得
$(x-2)[3(x-2)-x] = 0$
化简得
$(x-2)(2x-6) = 0$
整理为
$2(x-2)(x-3) = 0$
于是得 $x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 原方程左边用完全平方公式因式分解，得
$(x-2)^2 = (3-2x)^2$
移项，得
$(x-2)^2 - (3-2x)^2 = 0$
由平方差公式因式分解，得
$[(x-2)-(3-2x)][(x-2)+(3-2x)] = 0$
化简得
$(3x-5)(-x+1) = 0$
于是得 $3x-5=0$ 或 $-x+1=0$
解得 $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=1$。
(1) 移项，得
$3(x-2)^2 - x(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得
$(x-2)[3(x-2)-x] = 0$
化简得
$(x-2)(2x-6) = 0$
整理为
$2(x-2)(x-3) = 0$
于是得 $x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 原方程左边用完全平方公式因式分解，得
$(x-2)^2 = (3-2x)^2$
移项，得
$(x-2)^2 - (3-2x)^2 = 0$
由平方差公式因式分解，得
$[(x-2)-(3-2x)][(x-2)+(3-2x)] = 0$
化简得
$(3x-5)(-x+1) = 0$
于是得 $3x-5=0$ 或 $-x+1=0$
解得 $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=1$。
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：将方程变形为“若干个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
(1) 观察方程发现左右两边都含有公因式$(x-2)$，注意不可直接两边除以$(x-2)$（否则会漏掉$x=2$这个根），正确做法是先移项，再提取公因式$(x-2)$进行因式分解。
(2) 方程左边符合完全平方公式的形式，右边也是整式的平方，先将左边用完全平方公式化简，再移项后用平方差公式分解因式即可求解。
【解析】
(1) 移项，得
$3(x-2)^2 - x(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得
$(x-2)[3(x-2)-x] = 0$
化简得
$(x-2)(2x-6) = 0$
整理为
$2(x-2)(x-3) = 0$
于是得 $x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 原方程左边用完全平方公式因式分解，得
$(x-2)^2 = (3-2x)^2$
移项，得
$(x-2)^2 - (3-2x)^2 = 0$
由平方差公式因式分解，得
$[(x-2)-(3-2x)][(x-2)+(3-2x)] = 0$
化简得
$(3x-5)(-x+1) = 0$
于是得 $3x-5=0$ 或 $-x+1=0$
解得 $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=3$；
(2) $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现丢根的问题，熟练掌握常见的因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：将方程变形为“若干个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
(1) 观察方程发现左右两边都含有公因式$(x-2)$，注意不可直接两边除以$(x-2)$（否则会漏掉$x=2$这个根），正确做法是先移项，再提取公因式$(x-2)$进行因式分解。
(2) 方程左边符合完全平方公式的形式，右边也是整式的平方，先将左边用完全平方公式化简，再移项后用平方差公式分解因式即可求解。
【解析】
(1) 移项，得
$3(x-2)^2 - x(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得
$(x-2)[3(x-2)-x] = 0$
化简得
$(x-2)(2x-6) = 0$
整理为
$2(x-2)(x-3) = 0$
于是得 $x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 原方程左边用完全平方公式因式分解，得
$(x-2)^2 = (3-2x)^2$
移项，得
$(x-2)^2 - (3-2x)^2 = 0$
由平方差公式因式分解，得
$[(x-2)-(3-2x)][(x-2)+(3-2x)] = 0$
化简得
$(3x-5)(-x+1) = 0$
于是得 $3x-5=0$ 或 $-x+1=0$
解得 $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=3$；
(2) $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现丢根的问题，熟练掌握常见的因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
