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4. (★★)用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)$x^2+2x-3=0$；
(2)$(2+x)^2-9=0$；
(3)$6x^2-3x-1=2x-2$；
(4)$x^2-8x+11=0$；
(5)$x^2+10=2\sqrt{5}x$；
(6)$x^2+(1+2\sqrt{3})x+\sqrt{3}-3=0$。
(1)$x^2+2x-3=0$；
(2)$(2+x)^2-9=0$；
(3)$6x^2-3x-1=2x-2$；
(4)$x^2-8x+11=0$；
(5)$x^2+10=2\sqrt{5}x$；
(6)$x^2+(1+2\sqrt{3})x+\sqrt{3}-3=0$。
答案
解：
(1) 因式分解，得
$(x+3)(x-1)=0$
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
$\therefore x_1=-3,\ x_2=1$
(2) 移项，得
$(2+x)^2=9$
直接开平方，得
$2+x=\pm3$
$\therefore x_1=1,\ x_2=-5$
(3) 移项、整理，得
$6x^2-5x+1=0$
因式分解，得
$(2x-1)(3x-1)=0$
$2x-1=0$ 或 $3x-1=0$
$\therefore x_1=\frac{1}{2},\ x_2=\frac{1}{3}$
(4) 移项，得
$x^2-8x=-11$
配方，得
$x^2-8x+16=-11+16$
即 $(x-4)^2=5$
直接开平方，得
$x-4=\pm\sqrt{5}$
$\therefore x_1=4+\sqrt{5},\ x_2=4-\sqrt{5}$
(5) 移项，得
$x^2-2\sqrt{5}x+10=0$
$\because \Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×1×10=20-40=-20＜0$
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(6) 这里$a=1$，$b=1+2\sqrt{3}$，$c=\sqrt{3}-3$
$\Delta=(1+2\sqrt{3})^2-4×1×(\sqrt{3}-3)=1+4\sqrt{3}+12-4\sqrt{3}+12=25＞0$
$x=\frac{-(1+2\sqrt{3})\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{-1-2\sqrt{3}\pm5}{2}$
$\therefore x_1=2-\sqrt{3},\ x_2=-3-\sqrt{3}$
(1) 因式分解，得
$(x+3)(x-1)=0$
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
$\therefore x_1=-3,\ x_2=1$
(2) 移项，得
$(2+x)^2=9$
直接开平方，得
$2+x=\pm3$
$\therefore x_1=1,\ x_2=-5$
(3) 移项、整理，得
$6x^2-5x+1=0$
因式分解，得
$(2x-1)(3x-1)=0$
$2x-1=0$ 或 $3x-1=0$
$\therefore x_1=\frac{1}{2},\ x_2=\frac{1}{3}$
(4) 移项，得
$x^2-8x=-11$
配方，得
$x^2-8x+16=-11+16$
即 $(x-4)^2=5$
直接开平方，得
$x-4=\pm\sqrt{5}$
$\therefore x_1=4+\sqrt{5},\ x_2=4-\sqrt{5}$
(5) 移项，得
$x^2-2\sqrt{5}x+10=0$
$\because \Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×1×10=20-40=-20＜0$
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(6) 这里$a=1$，$b=1+2\sqrt{3}$，$c=\sqrt{3}-3$
$\Delta=(1+2\sqrt{3})^2-4×1×(\sqrt{3}-3)=1+4\sqrt{3}+12-4\sqrt{3}+12=25＞0$
$x=\frac{-(1+2\sqrt{3})\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{-1-2\sqrt{3}\pm5}{2}$
$\therefore x_1=2-\sqrt{3},\ x_2=-3-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解一元二次方程时需根据方程结构特征选择最优解法：①若方程形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$），优先选择直接开平方法；②若方程整理为一般式后左边易因式分解为两个一次因式乘积，优先选择因式分解法；③若方程一次项系数为偶数，配方法计算更简便；④若上述方法均不适用，选择公式法，计算前可先通过判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程是否存在实数根，再代入求解。本题6个小问可分别匹配对应最优解法求解。
【解析】
(1) 因式分解，得
$(x+3)(x-1)=0$
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
$\therefore x_1=-3,\ x_2=1$
(2) 移项，得
$(2+x)^2=9$
直接开平方，得
$2+x=\pm3$
$\therefore x_1=1,\ x_2=-5$
(3) 移项、整理，得
$6x^2-5x+1=0$
因式分解，得
$(2x-1)(3x-1)=0$
$2x-1=0$ 或 $3x-1=0$
$\therefore x_1=\frac{1}{2},\ x_2=\frac{1}{3}$
(4) 移项，得
$x^2-8x=-11$
配方，得
$x^2-8x+16=-11+16$
即 $(x-4)^2=5$
直接开平方，得
$x-4=\pm\sqrt{5}$
$\therefore x_1=4+\sqrt{5},\ x_2=4-\sqrt{5}$
(5) 移项，得
$x^2-2\sqrt{5}x+10=0$
$\because \Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×1×10=20-40=-20＜0$
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(6) 这里$a=1$，$b=1+2\sqrt{3}$，$c=\sqrt{3}-3$
$\Delta=(1+2\sqrt{3})^2-4×1×(\sqrt{3}-3)=1+4\sqrt{3}+12-4\sqrt{3}+12=25＞0$
$x=\frac{-(1+2\sqrt{3})\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{-1-2\sqrt{3}\pm5}{2}$
$\therefore x_1=2-\sqrt{3},\ x_2=-3-\sqrt{3}$
【答案】
(1)$x_1=-3,x_2=1$；(2)$x_1=1,x_2=-5$；(3)$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{1}{3}$；(4)$x_1=4+\sqrt{5},x_2=4-\sqrt{5}$；(5)原方程没有实数根；(6)$x_1=2-\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，需熟练掌握各类解法的适用场景和步骤规范，根据方程特征选择简便方法可以提升解题效率和正确率，遇到带无理数系数的方程时，先计算判别式可简化计算过程。
【难度系数】
0.75
解一元二次方程时需根据方程结构特征选择最优解法：①若方程形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$），优先选择直接开平方法；②若方程整理为一般式后左边易因式分解为两个一次因式乘积，优先选择因式分解法；③若方程一次项系数为偶数，配方法计算更简便；④若上述方法均不适用，选择公式法，计算前可先通过判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程是否存在实数根，再代入求解。本题6个小问可分别匹配对应最优解法求解。
【解析】
(1) 因式分解，得
$(x+3)(x-1)=0$
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
$\therefore x_1=-3,\ x_2=1$
(2) 移项，得
$(2+x)^2=9$
直接开平方，得
$2+x=\pm3$
$\therefore x_1=1,\ x_2=-5$
(3) 移项、整理，得
$6x^2-5x+1=0$
因式分解，得
$(2x-1)(3x-1)=0$
$2x-1=0$ 或 $3x-1=0$
$\therefore x_1=\frac{1}{2},\ x_2=\frac{1}{3}$
(4) 移项，得
$x^2-8x=-11$
配方，得
$x^2-8x+16=-11+16$
即 $(x-4)^2=5$
直接开平方，得
$x-4=\pm\sqrt{5}$
$\therefore x_1=4+\sqrt{5},\ x_2=4-\sqrt{5}$
(5) 移项，得
$x^2-2\sqrt{5}x+10=0$
$\because \Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×1×10=20-40=-20＜0$
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(6) 这里$a=1$，$b=1+2\sqrt{3}$，$c=\sqrt{3}-3$
$\Delta=(1+2\sqrt{3})^2-4×1×(\sqrt{3}-3)=1+4\sqrt{3}+12-4\sqrt{3}+12=25＞0$
$x=\frac{-(1+2\sqrt{3})\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{-1-2\sqrt{3}\pm5}{2}$
$\therefore x_1=2-\sqrt{3},\ x_2=-3-\sqrt{3}$
【答案】
(1)$x_1=-3,x_2=1$；(2)$x_1=1,x_2=-5$；(3)$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{1}{3}$；(4)$x_1=4+\sqrt{5},x_2=4-\sqrt{5}$；(5)原方程没有实数根；(6)$x_1=2-\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，需熟练掌握各类解法的适用场景和步骤规范，根据方程特征选择简便方法可以提升解题效率和正确率，遇到带无理数系数的方程时，先计算判别式可简化计算过程。
【难度系数】
0.75
