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5. 如图，$\odot C$过原点$O$，且与两坐标轴分别交于点$A$，$B$，点$A$的坐标为$(0,4)$，点$M$是第三象限内圆上一点，$∠ BMO=120°$，则圆心$C$的坐标为(
A.$(-2\sqrt{3},2)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,-\sqrt{3})$
D.$(-4,2\sqrt{3})$
A
).A.$(-2\sqrt{3},2)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,-\sqrt{3})$
D.$(-4,2\sqrt{3})$
答案
5. A
解析
【分析】
首先根据∠AOB=90°，结合圆周角定理的推论可判断AB是⊙C的直径，即点C为AB的中点；再利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知∠BMO=120°求出∠BAO的度数；接下来结合点A的坐标，在Rt△ABO中通过三角函数求出OB的长度，得到点B的坐标；最后根据中点坐标公式计算即可得到圆心C的坐标。
【解析】
1. 判定AB为直径：
∵∠AOB=90°，且A、O、B三点均在⊙C上，
∴AB是⊙C的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），即C是AB的中点。
2. 求∠BAO的度数：
∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，
∴∠BMO + ∠BAO = 180°（圆内接四边形对角互补），
已知∠BMO=120°，代入得∠BAO=180°-120°=60°。
3. 求点B的坐标：
∵A点坐标为(0,4)，
∴OA=4，
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，
$\tan∠ BAO=\frac{OB}{OA}$，即$OB=OA·\tan60°=4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
又
∵B在x轴负半轴，
∴B点坐标为$(-4\sqrt{3},0)$。
4. 求圆心C的坐标：
∵C是AB的中点，A(0,4)、B$(-4\sqrt{3},0)$，
根据中点坐标公式：
横坐标：$\frac{0+(-4\sqrt{3})}{2}=-2\sqrt{3}$，纵坐标：$\frac{4+0}{2}=2$，
即C点坐标为$(-2\sqrt{3},2)$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形边角关系
【点评】
本题是圆的性质与平面直角坐标系、直角三角形结合的常规题型，解题的核心是先确定直径AB，再逐步推导角度、线段长度得到B点坐标，最终求出中点即圆心坐标，对圆的基础性质应用考查比较全面。
【难度系数】
0.7
首先根据∠AOB=90°，结合圆周角定理的推论可判断AB是⊙C的直径，即点C为AB的中点；再利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知∠BMO=120°求出∠BAO的度数；接下来结合点A的坐标，在Rt△ABO中通过三角函数求出OB的长度，得到点B的坐标；最后根据中点坐标公式计算即可得到圆心C的坐标。
【解析】
1. 判定AB为直径：
∵∠AOB=90°，且A、O、B三点均在⊙C上，
∴AB是⊙C的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），即C是AB的中点。
2. 求∠BAO的度数：
∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，
∴∠BMO + ∠BAO = 180°（圆内接四边形对角互补），
已知∠BMO=120°，代入得∠BAO=180°-120°=60°。
3. 求点B的坐标：
∵A点坐标为(0,4)，
∴OA=4，
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，
$\tan∠ BAO=\frac{OB}{OA}$，即$OB=OA·\tan60°=4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
又
∵B在x轴负半轴，
∴B点坐标为$(-4\sqrt{3},0)$。
4. 求圆心C的坐标：
∵C是AB的中点，A(0,4)、B$(-4\sqrt{3},0)$，
根据中点坐标公式：
横坐标：$\frac{0+(-4\sqrt{3})}{2}=-2\sqrt{3}$，纵坐标：$\frac{4+0}{2}=2$，
即C点坐标为$(-2\sqrt{3},2)$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形边角关系
【点评】
本题是圆的性质与平面直角坐标系、直角三角形结合的常规题型，解题的核心是先确定直径AB，再逐步推导角度、线段长度得到B点坐标，最终求出中点即圆心坐标，对圆的基础性质应用考查比较全面。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ ACD=∠ CAB$，$AD=2$，$AC=4$，则$\odot O$的半径为(
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
D
).A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时首先观察到AB是圆的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，因此先连接辅助线BC得到Rt△ACB。再根据已知条件∠ACD=∠CAB，结合圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AD=弧BC，由等弧对等弦推出BC=AD=2。最后在直角三角形ACB中利用勾股定理求出直径AB的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
解：连接BC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠ACD=∠CAB，且∠ACD对应弧AD，∠CAB对应弧BC，
∴弧AD=弧BC，
∴BC=AD=2（等弧对等弦）。
在Rt△ACB中，AC=4，BC=2，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径为$\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；等弧对等弦
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题核心是通过构造辅助线BC，将已知条件转化到直角三角形中，结合圆周角的性质得到边的等量关系，再用勾股定理求解，能较好地考察学生对圆的基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到AB是圆的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，因此先连接辅助线BC得到Rt△ACB。再根据已知条件∠ACD=∠CAB，结合圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AD=弧BC，由等弧对等弦推出BC=AD=2。最后在直角三角形ACB中利用勾股定理求出直径AB的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
解：连接BC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠ACD=∠CAB，且∠ACD对应弧AD，∠CAB对应弧BC，
∴弧AD=弧BC，
∴BC=AD=2（等弧对等弦）。
在Rt△ACB中，AC=4，BC=2，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径为$\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；等弧对等弦
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题核心是通过构造辅助线BC，将已知条件转化到直角三角形中，结合圆周角的性质得到边的等量关系，再用勾股定理求解，能较好地考察学生对圆的基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线分别相交于点E，F. ∠E=55°，∠F=37°，则∠A的度数为(
A.34°
B.44°
C.88°
D.92°
B
).A.34°
B.44°
C.88°
D.92°
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先利用圆内接四边形的对角互补性质，再结合三角形内角和与平角的性质，推导出∠ABC、∠ADC分别与∠A、∠E、∠F的数量关系，最后代入对角互补的等式即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形对角互补）
在△ABE中，根据三角形内角和定理：
∠A + ∠E + ∠ABE = 180°
又
∵∠ABE + ∠ABC = 180°（平角的定义）
∴∠ABC = ∠A + ∠E
同理，在△ADF中：
∠A + ∠F + ∠ADF = 180°
又
∵∠ADF + ∠ADC = 180°（平角的定义）
∴∠ADC = ∠A + ∠F
将∠ABC = ∠A + ∠E、∠ADC = ∠A + ∠F代入∠ABC + ∠ADC = 180°得：
∠A + 55° + ∠A + 37° = 180°
整理得2∠A = 88°
解得∠A = 44°
【答案】
B
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 平角的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，需要结合三角形角的性质与圆内接四边形的性质联立求解，解题核心是找到已知角和未知角之间的数量关系，熟练掌握基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用圆内接四边形的对角互补性质，再结合三角形内角和与平角的性质，推导出∠ABC、∠ADC分别与∠A、∠E、∠F的数量关系，最后代入对角互补的等式即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形对角互补）
在△ABE中，根据三角形内角和定理：
∠A + ∠E + ∠ABE = 180°
又
∵∠ABE + ∠ABC = 180°（平角的定义）
∴∠ABC = ∠A + ∠E
同理，在△ADF中：
∠A + ∠F + ∠ADF = 180°
又
∵∠ADF + ∠ADC = 180°（平角的定义）
∴∠ADC = ∠A + ∠F
将∠ABC = ∠A + ∠E、∠ADC = ∠A + ∠F代入∠ABC + ∠ADC = 180°得：
∠A + 55° + ∠A + 37° = 180°
整理得2∠A = 88°
解得∠A = 44°
【答案】
B
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 平角的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，需要结合三角形角的性质与圆内接四边形的性质联立求解，解题核心是找到已知角和未知角之间的数量关系，熟练掌握基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D，E在$\odot O$上，连接AE，DE，BC，DC.若$∠ C=110°$，则$∠ E$的度数为________°.
答案
2. 20
解析
【分析】
解题时首先观察图形，已知AB是圆的直径，且四边形ABCD是圆内接四边形，可先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAD的度数；再结合直径所对的圆周角是直角的性质，求出∠ABD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠AED的度数。
【解析】
解：连接BD。
1.
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
已知$∠ BCD=110°$，代入得$∠ BAD=180° - 110°=70°$。
2.
∵ AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=180° - ∠ ADB - ∠ BAD=180° - 90° -70°=20°$。
3.
∵ $∠ AED$和$∠ ABD$都是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ AED=∠ ABD=20°$。
【答案】
20
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理及直径的相关性质，通过合理添加辅助线构造直角三角形即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，已知AB是圆的直径，且四边形ABCD是圆内接四边形，可先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAD的度数；再结合直径所对的圆周角是直角的性质，求出∠ABD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠AED的度数。
【解析】
解：连接BD。
1.
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
已知$∠ BCD=110°$，代入得$∠ BAD=180° - 110°=70°$。
2.
∵ AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=180° - ∠ ADB - ∠ BAD=180° - 90° -70°=20°$。
3.
∵ $∠ AED$和$∠ ABD$都是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ AED=∠ ABD=20°$。
【答案】
20
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理及直径的相关性质，通过合理添加辅助线构造直角三角形即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是半圆O的直径，C是$\overset{\frown}{AB}$上一点，点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接AD.
(1)求证$AC// OD$；
(2)若$AB=10$，$AD=3\sqrt{10}$，求AC的长.
(1)求证$AC// OD$；
(2)若$AB=10$，$AD=3\sqrt{10}$，求AC的长.
答案
(1)证明略(提示：由弧的中点D得圆周角相等.) (2)$AC=8$(提示：连接BC.)
解析
【分析】
(1)要证明$AC// OD$，可通过内错角相等推导：先利用弧中点的性质得到等弧所对的圆周角相等，再结合半径相等得到等边对等角，转化得到$∠CAD=∠ODA$，即可证明平行。
(2)要求$AC$的长，先连接$BD$、$BC$，利用直径所对圆周角为直角，先通过勾股定理求出$BD$的长度；再结合垂径定理得到$OD$垂直平分$BC$，结合$AC// OD$推出$OE$是$△ ABC$的中位线，设$OE$为$x$，利用勾股定理列方程求出$x$，进而得到$AC$的长度。
【解析】
(1)证明：
∵点$D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠BAD=∠CAD$（等弧所对的圆周角相等）。
又
∵$OA=OD$（都是半圆$O$的半径），
∴$∠OAD=∠ODA$，
∴$∠CAD=∠ODA$，
∴$AC// OD$（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：
连接$BD$、$BC$，设$OD$与$BC$交于点$E$。
∵$AB$是半圆$O$的直径，
∴$∠ADB=∠ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt△ ADB$中，$AB=10$，$AD=3\sqrt{10}$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - (3\sqrt{10})^2}=\sqrt{10}$。
∵$D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，$OD$是半径，
∴$OD$垂直平分$BC$（垂径定理），即$BE=EC$，$∠BEO=90°$。
∵$O$是$AB$的中点，且由(1)知$AC// OD$，
∴$OE$是$△ ABC$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AC$。
设$OE=x$，则$AC=2x$，又$OD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴$DE=OD - OE=5 - x$。
在$Rt△ BEO$中，由勾股定理得：$BE^2=OB^2 - OE^2=25 - x^2$。
在$Rt△ BED$中，由勾股定理得：$BE^2=BD^2 - DE^2=(\sqrt{10})^2 - (5 - x)^2=10x - 15 - x^2$。
联立得：$25 - x^2=10x - 15 - x^2$，
解得$x=4$，
∴$AC=2x=8$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$AC=8$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考察圆的基本性质与三角形知识的结合运用，解题的关键是根据弧中点、直径的特征作出对应的辅助线，转化边角关系建立方程求解，这类题是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$AC// OD$，可通过内错角相等推导：先利用弧中点的性质得到等弧所对的圆周角相等，再结合半径相等得到等边对等角，转化得到$∠CAD=∠ODA$，即可证明平行。
(2)要求$AC$的长，先连接$BD$、$BC$，利用直径所对圆周角为直角，先通过勾股定理求出$BD$的长度；再结合垂径定理得到$OD$垂直平分$BC$，结合$AC// OD$推出$OE$是$△ ABC$的中位线，设$OE$为$x$，利用勾股定理列方程求出$x$，进而得到$AC$的长度。
【解析】
(1)证明：
∵点$D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠BAD=∠CAD$（等弧所对的圆周角相等）。
又
∵$OA=OD$（都是半圆$O$的半径），
∴$∠OAD=∠ODA$，
∴$∠CAD=∠ODA$，
∴$AC// OD$（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：
连接$BD$、$BC$，设$OD$与$BC$交于点$E$。
∵$AB$是半圆$O$的直径，
∴$∠ADB=∠ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt△ ADB$中，$AB=10$，$AD=3\sqrt{10}$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - (3\sqrt{10})^2}=\sqrt{10}$。
∵$D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，$OD$是半径，
∴$OD$垂直平分$BC$（垂径定理），即$BE=EC$，$∠BEO=90°$。
∵$O$是$AB$的中点，且由(1)知$AC// OD$，
∴$OE$是$△ ABC$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AC$。
设$OE=x$，则$AC=2x$，又$OD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴$DE=OD - OE=5 - x$。
在$Rt△ BEO$中，由勾股定理得：$BE^2=OB^2 - OE^2=25 - x^2$。
在$Rt△ BED$中，由勾股定理得：$BE^2=BD^2 - DE^2=(\sqrt{10})^2 - (5 - x)^2=10x - 15 - x^2$。
联立得：$25 - x^2=10x - 15 - x^2$，
解得$x=4$，
∴$AC=2x=8$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$AC=8$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考察圆的基本性质与三角形知识的结合运用，解题的关键是根据弧中点、直径的特征作出对应的辅助线，转化边角关系建立方程求解，这类题是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
