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4. 如图，MN是$\odot O$的直径，$MN=4$，点A在$\odot O$上，$∠ AMN=30°$，B为$\overset{\frown}{AN}$的中点，P是直径MN上一动点.
(1)利用尺规作图，确定当$PA+PB$最小时P点的位置(保留作图痕迹，不写作法).
(2)求$PA+PB$的最小值.
(1)利用尺规作图，确定当$PA+PB$最小时P点的位置(保留作图痕迹，不写作法).
(2)求$PA+PB$的最小值.
答案
(1)作图略 (2)$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 要使$PA+PB$最小，属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路是作其中一个点关于直线$MN$的对称点，利用对称性质将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，两点连线与$MN$的交点即为所求的$P$点。
(2) 求$PA+PB$的最小值，本质是求对称点与$B$点的连线长度。先根据圆周角定理求出对应弧的圆心角度数，再结合对称性质得到所求线段所在三角形的内角，最后利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
(1) 作点$A$关于直径$MN$的对称点$A'$，连接$A'B$，$A'B$与$MN$的交点即为所求的点$P$，保留作图痕迹即可。
(2) 连接$OA$、$OA'$、$OB$：
$\because MN$是$\odot O$的直径，$MN=4$，$\therefore \odot O$的半径$OA=OA'=OB=2$。
$\because ∠ AMN=30°$，$∠ AMN$是$\overset{\frown}{AN}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\therefore ∠ AON=2∠ AMN=60°$。
$\because B$为$\overset{\frown}{AN}$的中点，$\therefore ∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$。
$\because$点$A'$是点$A$关于$MN$的对称点，$\therefore ∠ A'ON=∠ AON=60°$。
$\therefore ∠ A'OB=∠ A'ON+∠ BON=60°+30°=90°$，即$△ A'OB$是等腰直角三角形。
由勾股定理得：$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
根据对称性质$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB≥ A'B$，即$PA+PB$的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 作图略；(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
将军饮马模型，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题将最短路径问题与圆的性质结合考查，解题的核心是通过作对称点将线段和的最值转化为两点间线段长度，同时需要熟练运用圆周角定理和勾股定理进行角度、线段的计算，是几何综合类的基础题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要使$PA+PB$最小，属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路是作其中一个点关于直线$MN$的对称点，利用对称性质将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，两点连线与$MN$的交点即为所求的$P$点。
(2) 求$PA+PB$的最小值，本质是求对称点与$B$点的连线长度。先根据圆周角定理求出对应弧的圆心角度数，再结合对称性质得到所求线段所在三角形的内角，最后利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
(1) 作点$A$关于直径$MN$的对称点$A'$，连接$A'B$，$A'B$与$MN$的交点即为所求的点$P$，保留作图痕迹即可。
(2) 连接$OA$、$OA'$、$OB$：
$\because MN$是$\odot O$的直径，$MN=4$，$\therefore \odot O$的半径$OA=OA'=OB=2$。
$\because ∠ AMN=30°$，$∠ AMN$是$\overset{\frown}{AN}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\therefore ∠ AON=2∠ AMN=60°$。
$\because B$为$\overset{\frown}{AN}$的中点，$\therefore ∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$。
$\because$点$A'$是点$A$关于$MN$的对称点，$\therefore ∠ A'ON=∠ AON=60°$。
$\therefore ∠ A'OB=∠ A'ON+∠ BON=60°+30°=90°$，即$△ A'OB$是等腰直角三角形。
由勾股定理得：$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
根据对称性质$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB≥ A'B$，即$PA+PB$的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 作图略；(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
将军饮马模型，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题将最短路径问题与圆的性质结合考查，解题的核心是通过作对称点将线段和的最值转化为两点间线段长度，同时需要熟练运用圆周角定理和勾股定理进行角度、线段的计算，是几何综合类的基础题型。
【难度系数】
0.6
1. 已知AB，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，且$\overset{\frown}{BD}=2\overset{\frown}{AD}$，连接BC，AD.
(1)如图1，若AB是⊙O的直径，求∠C的度数.
(2)如图2，求证：①CD=CB；②AE+AD=BE.
(1)如图1，若AB是⊙O的直径，求∠C的度数.
(2)如图2，求证：①CD=CB；②AE+AD=BE.
答案
(1)$∠C=60°$ (2)证明略
解析
【分析】
(1) 第一问先结合AB是直径、CD⊥AB的条件，利用垂径定理得到弧BC和弧BD相等；再结合已知弧BD=2弧AD，利用半圆的度数为180°求出弧BD的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠C的度数。
(2) 第二问两个结论：
① 要证CD=CB，可证对应的底角相等，即∠CDB=∠CBD：结合圆周角定理得到∠BAD和∠ABD的倍数关系，再利用直角三角形两锐角互余推导两个角相等，即可得边相等。
② 要证AE+AD=BE，采用截长补短法：在BE上截取EF=AE，利用垂直平分线的性质得AD=DF，再通过角度推导得DF=FB，即可得到线段和的关系。
【解析】
(1) 解：
∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴ 由垂径定理可得：$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
已知$\overset{\frown}{BD}=2\overset{\frown}{AD}$，且半圆$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BD}=180°$，
代入得：$\overset{\frown}{AD}+2\overset{\frown}{AD}=180°$，解得$\overset{\frown}{AD}=60°$，
∴ $\overset{\frown}{BD}=120°$，
∵ ∠C是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴ $∠ C=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{BD}$的度数$=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(2) 证明：
① 设∠ABD=α，
∵ $\overset{\frown}{BD}=2\overset{\frown}{AD}$，圆周角度数等于所对弧度数的一半，
∴ ∠BAD=2∠ABD=2α，
∵ ∠BCD和∠BAD都是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴ ∠BCD=∠BAD=2α，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CEB=∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，∠CDB=90°-∠ABD=90°-α，
在Rt△CEB中，∠CBA=90°-∠BCD=90°-2α，
∴ ∠CBD=∠CBA+∠ABD=(90°-2α)+α=90°-α，
∴ ∠CDB=∠CBD，
∴ CD=CB。
② 在BE上截取EF=AE，连接DF，
∵ CD⊥AB，且EF=AE，
∴ CD是线段AF的垂直平分线，
∴ AD=DF，
∴ ∠DAF=∠DFA=2α，
∵ ∠DFA是△DFB的外角，
∴ ∠DFA=∠FDB+∠FBD，
代入得2α=∠FDB+α，解得∠FDB=α=∠FBD，
∴ DF=FB，即AD=FB，
∵ BE=EF+FB，且EF=AE，
∴ AE+AD=BE。
【答案】
(1) $∠ C=60°$
(2) ①②证明成立。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的性质的综合应用，核心考查垂径定理和圆周角定理的掌握，线段和差类证明的截长补短法是常用解题技巧，解题时要注意弧、角、边之间的等量转换。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问先结合AB是直径、CD⊥AB的条件，利用垂径定理得到弧BC和弧BD相等；再结合已知弧BD=2弧AD，利用半圆的度数为180°求出弧BD的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠C的度数。
(2) 第二问两个结论：
① 要证CD=CB，可证对应的底角相等，即∠CDB=∠CBD：结合圆周角定理得到∠BAD和∠ABD的倍数关系，再利用直角三角形两锐角互余推导两个角相等，即可得边相等。
② 要证AE+AD=BE，采用截长补短法：在BE上截取EF=AE，利用垂直平分线的性质得AD=DF，再通过角度推导得DF=FB，即可得到线段和的关系。
【解析】
(1) 解：
∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴ 由垂径定理可得：$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
已知$\overset{\frown}{BD}=2\overset{\frown}{AD}$，且半圆$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BD}=180°$，
代入得：$\overset{\frown}{AD}+2\overset{\frown}{AD}=180°$，解得$\overset{\frown}{AD}=60°$，
∴ $\overset{\frown}{BD}=120°$，
∵ ∠C是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴ $∠ C=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{BD}$的度数$=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(2) 证明：
① 设∠ABD=α，
∵ $\overset{\frown}{BD}=2\overset{\frown}{AD}$，圆周角度数等于所对弧度数的一半，
∴ ∠BAD=2∠ABD=2α，
∵ ∠BCD和∠BAD都是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴ ∠BCD=∠BAD=2α，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CEB=∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，∠CDB=90°-∠ABD=90°-α，
在Rt△CEB中，∠CBA=90°-∠BCD=90°-2α，
∴ ∠CBD=∠CBA+∠ABD=(90°-2α)+α=90°-α，
∴ ∠CDB=∠CBD，
∴ CD=CB。
② 在BE上截取EF=AE，连接DF，
∵ CD⊥AB，且EF=AE，
∴ CD是线段AF的垂直平分线，
∴ AD=DF，
∴ ∠DAF=∠DFA=2α，
∵ ∠DFA是△DFB的外角，
∴ ∠DFA=∠FDB+∠FBD，
代入得2α=∠FDB+α，解得∠FDB=α=∠FBD，
∴ DF=FB，即AD=FB，
∵ BE=EF+FB，且EF=AE，
∴ AE+AD=BE。
【答案】
(1) $∠ C=60°$
(2) ①②证明成立。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的性质的综合应用，核心考查垂径定理和圆周角定理的掌握，线段和差类证明的截长补短法是常用解题技巧，解题时要注意弧、角、边之间的等量转换。
【难度系数】
0.65
