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4. 如图，AB是⊙O的直径，弦AC，BC的长分别为6 cm，8 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD，BD.
(1)求AD的长；
(2)求CD的长.
(1)求AD的长；
(2)求CD的长.
答案
(1)$5\sqrt{2}$ (2)$7\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先利用直径所对圆周角为直角，得到Rt△ACB，用勾股定理算出直径AB的长度；再根据CD平分∠ACB，推出相等的圆周角，得到弧AD=弧BD，因此AD=BD，△ADB为等腰直角三角形，结合AB的长度即可求出AD。
(2) 解题思路：求CD时，过A作CD的垂线构造直角三角形，先在含45°角的等腰Rt△ACF中算出CF和AF的长度，再在Rt△AFD中用勾股定理算出FD的长度，CD=CF+FD即可求解。
【解析】
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ACB中，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得弧AD=弧BD，
∴AD=BD，即△ADB为等腰直角三角形，
∴$2AD^2=AB^2$，代入AB=10得$AD=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点A作$AF⊥ CD$于点F，
∵∠ACF=45°，∠AFC=90°，
∴△AFC为等腰直角三角形，
∴$AF=CF=AC·\sin45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
在Rt△AFD中，$AD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$AF=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$FD=\sqrt{AD^2-AF^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$CD=CF+FD=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$5\sqrt{2}$
(2)$7\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与直角三角形的综合题，需要结合圆周角的性质转化边角关系，第二问作辅助线构造直角三角形是解题的关键，这类题是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65
(1) 解题思路：首先利用直径所对圆周角为直角，得到Rt△ACB，用勾股定理算出直径AB的长度；再根据CD平分∠ACB，推出相等的圆周角，得到弧AD=弧BD，因此AD=BD，△ADB为等腰直角三角形，结合AB的长度即可求出AD。
(2) 解题思路：求CD时，过A作CD的垂线构造直角三角形，先在含45°角的等腰Rt△ACF中算出CF和AF的长度，再在Rt△AFD中用勾股定理算出FD的长度，CD=CF+FD即可求解。
【解析】
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ACB中，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得弧AD=弧BD，
∴AD=BD，即△ADB为等腰直角三角形，
∴$2AD^2=AB^2$，代入AB=10得$AD=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点A作$AF⊥ CD$于点F，
∵∠ACF=45°，∠AFC=90°，
∴△AFC为等腰直角三角形，
∴$AF=CF=AC·\sin45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
在Rt△AFD中，$AD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$AF=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$FD=\sqrt{AD^2-AF^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$CD=CF+FD=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$5\sqrt{2}$
(2)$7\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与直角三角形的综合题，需要结合圆周角的性质转化边角关系，第二问作辅助线构造直角三角形是解题的关键，这类题是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65
1. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接OB，OC，$∠ OBC=40°$，$∠ A=110°$，则$∠ OCD$的度数为________。
答案
30°
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，回忆圆内接四边形的性质，对角互补，已知∠A的度数，可先求出它的对角∠BCD的度数；第二步，根据同圆的半径相等，可知OB=OC，△OBC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，由已知的∠OBC求出∠OCB的度数；第三步，观察图形可知∠OCD=∠BCD-∠OCB，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
1.
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ $∠ A + ∠ BCD = 180°$，
已知$∠ A=110°$，代入得$∠ BCD = 180° - 110° = 70°$。
2.
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OC$，$△ OBC$为等腰三角形，
∴ $∠ OBC = ∠ OCB$，
已知$∠ OBC=40°$，故$∠ OCB=40°$。
3. 由图可得$∠ OCD = ∠ BCD - ∠ OCB$，
代入数值得$∠ OCD = 70° - 40° = 30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
圆内接四边形性质，等腰三角形性质，同圆半径相等
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形和等腰三角形的相关性质，通过角度的和差关系计算所求角，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：第一步，回忆圆内接四边形的性质，对角互补，已知∠A的度数，可先求出它的对角∠BCD的度数；第二步，根据同圆的半径相等，可知OB=OC，△OBC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，由已知的∠OBC求出∠OCB的度数；第三步，观察图形可知∠OCD=∠BCD-∠OCB，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
1.
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ $∠ A + ∠ BCD = 180°$，
已知$∠ A=110°$，代入得$∠ BCD = 180° - 110° = 70°$。
2.
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OC$，$△ OBC$为等腰三角形，
∴ $∠ OBC = ∠ OCB$，
已知$∠ OBC=40°$，故$∠ OCB=40°$。
3. 由图可得$∠ OCD = ∠ BCD - ∠ OCB$，
代入数值得$∠ OCD = 70° - 40° = 30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
圆内接四边形性质，等腰三角形性质，同圆半径相等
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形和等腰三角形的相关性质，通过角度的和差关系计算所求角，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
2. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，点E在BC的延长线上。若$∠ BOD=120°$，则$∠ DCE=$
60
$°$。答案
2. 60
解析
【分析】
解题思路可分两步走：第一步，已知圆心角∠BOD的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出同弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；第二步，四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，它的外角等于内对角，即可直接得到∠DCE的度数，也可先利用圆内接四边形对角互补求出∠BCD，再结合邻补角的性质计算∠DCE。
【解析】
解：
∵ 弧BD所对的圆心角为∠BOD=120°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×120° = 60°$，
又
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，∠DCE是四边形ABCD的外角，
根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得：
$∠ DCE = ∠ BAD = 60°$。
【答案】
60
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，理清角之间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分两步走：第一步，已知圆心角∠BOD的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出同弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；第二步，四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，它的外角等于内对角，即可直接得到∠DCE的度数，也可先利用圆内接四边形对角互补求出∠BCD，再结合邻补角的性质计算∠DCE。
【解析】
解：
∵ 弧BD所对的圆心角为∠BOD=120°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×120° = 60°$，
又
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，∠DCE是四边形ABCD的外角，
根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得：
$∠ DCE = ∠ BAD = 60°$。
【答案】
60
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，理清角之间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，等边三角形ABC内接于$\odot O$，点P是$\odot O$上不与点A，B重合的任一点，则$∠ APB$的度数是
60°或120°
。答案
3. 60°或120°
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质。首先明确等边三角形每个内角为60°，其次点P在圆上不与A、B重合，存在两种位置：在优弧AB上、在劣弧AB上，需分情况结合对应定理求解角度，避免漏解。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，劣弧AB的度数为2×60°=120°。
分两种情况讨论：
① 当点P在优弧AB上时，∠APB与∠ACB都是劣弧AB所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠APB=∠ACB=60°；
② 当点P在劣弧AB上时，四边形APBC是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得∠APB + ∠ACB=180°，则∠APB=180°-60°=120°。
综上，∠APB的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题重点考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是对点P的位置进行分类讨论，易错点是容易忽略劣弧上的点P的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等边三角形的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质。首先明确等边三角形每个内角为60°，其次点P在圆上不与A、B重合，存在两种位置：在优弧AB上、在劣弧AB上，需分情况结合对应定理求解角度，避免漏解。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，劣弧AB的度数为2×60°=120°。
分两种情况讨论：
① 当点P在优弧AB上时，∠APB与∠ACB都是劣弧AB所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠APB=∠ACB=60°；
② 当点P在劣弧AB上时，四边形APBC是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得∠APB + ∠ACB=180°，则∠APB=180°-60°=120°。
综上，∠APB的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题重点考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是对点P的位置进行分类讨论，易错点是容易忽略劣弧上的点P的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，四边形ABCD是菱形，$\odot O$经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AE.若$∠ D=75°$，则$∠ BAE=$
30
°.答案
4. 30
解析
【分析】
解题时先回忆菱形和圆内接四边形的性质：菱形的对角相等、邻角互补，圆内接四边形的对角互补。我们先利用菱形性质求出∠B的度数，再利用圆内接四边形的性质推出∠AEB和∠D的等量关系，最后通过三角形内角和定理计算出∠BAE的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，∠D=75°
∴∠B=∠D=75°
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形
∴∠D + ∠AEC=180°
又
∵∠AEB + ∠AEC=180°（平角的定义）
∴∠AEB=∠D=75°
在△ABE中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-75°-75°=30°
【答案】
30
【知识点】
菱形的性质；圆内接四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，结合了菱形与圆的性质进行考查，解题的核心是熟练掌握相关图形的角的性质，准确找到角之间的转化关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆菱形和圆内接四边形的性质：菱形的对角相等、邻角互补，圆内接四边形的对角互补。我们先利用菱形性质求出∠B的度数，再利用圆内接四边形的性质推出∠AEB和∠D的等量关系，最后通过三角形内角和定理计算出∠BAE的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，∠D=75°
∴∠B=∠D=75°
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形
∴∠D + ∠AEC=180°
又
∵∠AEB + ∠AEC=180°（平角的定义）
∴∠AEB=∠D=75°
在△ABE中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-75°-75°=30°
【答案】
30
【知识点】
菱形的性质；圆内接四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，结合了菱形与圆的性质进行考查，解题的核心是熟练掌握相关图形的角的性质，准确找到角之间的转化关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
