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6. 如图，将含$30°$角的直角三角板放置在$\odot O$中，斜边AB恰好是$\odot O$的一条弦，直角顶点C在圆外，AC与$\odot O$相交于点D，连接BD. 测得$CD=1\ \mathrm{cm}$，$CA=9\ \mathrm{cm}$，求$\odot O$的半径.
答案
$2\sqrt{7}$ cm
解析
【分析】
解题思路如下：①先利用含30°角的直角三角形的边角关系，在Rt△ABC中求出直角边BC的长度；②在Rt△BCD中，已知BC和CD的长度，用勾股定理求出BD的长度；③根据圆周角定理，∠A是弧BD所对的圆周角，可推出弧BD对应的圆心角为60°，进而得到△OBD是等边三角形，BD的长度等于圆的半径，即可求出⊙O的半径。
【解析】
解：
∵△ABC是含30°角的直角三角板，∠C为直角，
∴$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}$，已知$AC=9\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=AC·\tan30°=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，$CD=1\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+CD^2=(3\sqrt{3})^2+1^2=27+1=28$，
∴$BD=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$，
连接$OB$、$OD$，
∵$∠ A$是$\odot O$中弧$BD$所对的圆周角，
∴圆心角$∠ BOD=2∠ A=2×30°=60°$，
又
∵$OB=OD$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OBD$是等边三角形，
∴$OB=BD=2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径为$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$ cm
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等边三角形判定
【点评】
本题综合考查了圆周角定理、直角三角形边角关系和勾股定理的应用，解题的关键是利用圆周角定理推出圆心角的度数，得到等边三角形，将求半径的问题转化为求弦BD长度的问题。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：①先利用含30°角的直角三角形的边角关系，在Rt△ABC中求出直角边BC的长度；②在Rt△BCD中，已知BC和CD的长度，用勾股定理求出BD的长度；③根据圆周角定理，∠A是弧BD所对的圆周角，可推出弧BD对应的圆心角为60°，进而得到△OBD是等边三角形，BD的长度等于圆的半径，即可求出⊙O的半径。
【解析】
解：
∵△ABC是含30°角的直角三角板，∠C为直角，
∴$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}$，已知$AC=9\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=AC·\tan30°=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，$CD=1\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+CD^2=(3\sqrt{3})^2+1^2=27+1=28$，
∴$BD=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$，
连接$OB$、$OD$，
∵$∠ A$是$\odot O$中弧$BD$所对的圆周角，
∴圆心角$∠ BOD=2∠ A=2×30°=60°$，
又
∵$OB=OD$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OBD$是等边三角形，
∴$OB=BD=2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径为$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$ cm
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等边三角形判定
【点评】
本题综合考查了圆周角定理、直角三角形边角关系和勾股定理的应用，解题的关键是利用圆周角定理推出圆心角的度数，得到等边三角形，将求半径的问题转化为求弦BD长度的问题。
【难度系数】
0.65
1. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上.点 A，B 的读数分别为 86°，30°，则∠ACB 的大小为(
A.15°
B.28°
C.29°
D.34°
B
).A.15°
B.28°
C.29°
D.34°
答案
1. B
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先明确量角器的中心点是半圆的圆心，点A、B在量角器上的读数差就是弧AB所对的圆心角的度数；其次回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，∠ACB是弧AB所对的圆周角，因此将求出的圆心角度数除以2即可得到∠ACB的大小。
【解析】
设量角器的圆心为O，连接OA、OB。
由题意可得，弧AB对应的圆心角∠AOB = 86° - 30° = 56°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此
∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×56° = 28°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；量角器读数
【点评】
本题结合量角器的实际使用考查圆周角定理的应用，解题核心是找准同弧对应的圆心角和圆周角的数量关系，属于基础题型，熟练掌握圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先明确量角器的中心点是半圆的圆心，点A、B在量角器上的读数差就是弧AB所对的圆心角的度数；其次回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，∠ACB是弧AB所对的圆周角，因此将求出的圆心角度数除以2即可得到∠ACB的大小。
【解析】
设量角器的圆心为O，连接OA、OB。
由题意可得，弧AB对应的圆心角∠AOB = 86° - 30° = 56°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此
∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×56° = 28°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；量角器读数
【点评】
本题结合量角器的实际使用考查圆周角定理的应用，解题核心是找准同弧对应的圆心角和圆周角的数量关系，属于基础题型，熟练掌握圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知$AB=AC=AD$，$∠ CBD=2∠ BDC$，$∠ BAC=44°$，则$∠ CAD$的度数为(
A.$68°$
B.$88°$
C.$90°$
D.$112°$
B
).A.$68°$
B.$88°$
C.$90°$
D.$112°$
答案
2. B
解析
【分析】
已知AB=AC=AD，可推出点B、C、D在以A为圆心、AB为半径的同一个圆上，因此可以借助圆周角定理建立角之间的数量关系。首先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，由已知的∠BAC求出∠BDC的度数，再结合∠CBD=2∠BDC求出∠CBD的度数，最后再次利用圆周角定理，由∠CBD的度数求出对应的圆心角∠CAD的度数即可。
【解析】
解：
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB长为半径的圆上。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半：
1. 弧BC所对的圆周角为∠BDC，圆心角为∠BAC，
∴$∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$，
代入$∠ BAC=44°$，得$∠ BDC = \frac{1}{2}×44°=22°$。
2. 由已知$∠ CBD=2∠ BDC$，
∴$∠ CBD=2×22°=44°$。
3. 弧CD所对的圆周角为$∠ CBD$，圆心角为$∠ CAD$，
∴$∠ CBD = \frac{1}{2}∠ CAD$，
∴$∠ CAD=2×∠ CBD=2×44°=88°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆的定义，角度运算
【点评】
本题的解题核心是根据共端点的等长线段构造辅助圆，将角的关系通过圆周角定理进行转化，属于圆周角性质的典型应用题型，可有效考查对圆周角定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
已知AB=AC=AD，可推出点B、C、D在以A为圆心、AB为半径的同一个圆上，因此可以借助圆周角定理建立角之间的数量关系。首先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，由已知的∠BAC求出∠BDC的度数，再结合∠CBD=2∠BDC求出∠CBD的度数，最后再次利用圆周角定理，由∠CBD的度数求出对应的圆心角∠CAD的度数即可。
【解析】
解：
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB长为半径的圆上。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半：
1. 弧BC所对的圆周角为∠BDC，圆心角为∠BAC，
∴$∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$，
代入$∠ BAC=44°$，得$∠ BDC = \frac{1}{2}×44°=22°$。
2. 由已知$∠ CBD=2∠ BDC$，
∴$∠ CBD=2×22°=44°$。
3. 弧CD所对的圆周角为$∠ CBD$，圆心角为$∠ CAD$，
∴$∠ CBD = \frac{1}{2}∠ CAD$，
∴$∠ CAD=2×∠ CBD=2×44°=88°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆的定义，角度运算
【点评】
本题的解题核心是根据共端点的等长线段构造辅助圆，将角的关系通过圆周角定理进行转化，属于圆周角性质的典型应用题型，可有效考查对圆周角定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图，△ABC中，D为BC的中点，点D在⊙O上，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E。
(1)求证AB=AC；
(2)若AB=10，AE=6，求BC的长。
(1)求证AB=AC；
(2)若AB=10，AE=6，求BC的长。
答案
(1)证明略 (2)$4\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1)要证明AB=AC，可通过证明AD垂直平分BC推导：首先连接AD，AB是⊙O直径，根据直径所对圆周角为直角可得AD⊥BC，结合D是BC中点，可知AD是BC的垂直平分线，即可推出AB=AC。
(2)求BC的长时，先连接BE，利用直径所对圆周角为直角得∠AEB=90°，先在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，再结合AC=AB求出EC的长度，最后在Rt△BEC中用勾股定理计算BC即可。
【解析】
(1)证明：连接AD
∵AB是⊙O的直径，点D在⊙O上
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC
又
∵D为BC的中点
∴AD垂直平分BC
∴AB=AC
(2)解：连接BE
∵AB是⊙O的直径，点E在⊙O上
∴∠AEB=90°，即BE⊥AC
在Rt△ABE中，AB=10，AE=6，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$
由(1)可知$AB=AC=10$
∴$EC=AC - AE=10 - 6=4$
∵$∠ BEC=180°-∠ AEB=90°$
∴在Rt△BEC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2 + EC^2}=\sqrt{8^2 + 4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
【答案】
(1)证明见上述过程；(2)$4\sqrt{5}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，垂直平分线性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的关键是合理构造辅助线，利用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形求解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AB=AC，可通过证明AD垂直平分BC推导：首先连接AD，AB是⊙O直径，根据直径所对圆周角为直角可得AD⊥BC，结合D是BC中点，可知AD是BC的垂直平分线，即可推出AB=AC。
(2)求BC的长时，先连接BE，利用直径所对圆周角为直角得∠AEB=90°，先在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，再结合AC=AB求出EC的长度，最后在Rt△BEC中用勾股定理计算BC即可。
【解析】
(1)证明：连接AD
∵AB是⊙O的直径，点D在⊙O上
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC
又
∵D为BC的中点
∴AD垂直平分BC
∴AB=AC
(2)解：连接BE
∵AB是⊙O的直径，点E在⊙O上
∴∠AEB=90°，即BE⊥AC
在Rt△ABE中，AB=10，AE=6，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$
由(1)可知$AB=AC=10$
∴$EC=AC - AE=10 - 6=4$
∵$∠ BEC=180°-∠ AEB=90°$
∴在Rt△BEC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2 + EC^2}=\sqrt{8^2 + 4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
【答案】
(1)证明见上述过程；(2)$4\sqrt{5}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，垂直平分线性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的关键是合理构造辅助线，利用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形求解。
【难度系数】
0.7
