1.下列关于对位似图形的表述，其中正确的是 （填序号）.
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.

解：
对于①，相似图形不一定满足对应点连线交于同一点、对应边平行，因此相似图形不一定是位似图形；位似图形是特殊的相似图形，一定是相似图形，故①错误。
对于②，根据位似图形的定义，位似图形一定存在位似中心，故②正确。
对于③，若两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，符合位似图形的定义，因此这两个图形是位似图形，故③正确。
对于④，位似图形上是对应两点与位似中心的距离之比等于相似比，并非任意两点，故④错误。
综上，正确的是$\boldsymbol{②③}$。

2.△ABC与△DEF位似，它们的周长比为2：3.已知位似中心O到A的距离为6，那么O到D的距离为.

9

解：
∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，相似比等于两三角形的周长比，即2:3。
根据位似的性质，位似中心到对应点的距离之比等于相似比，
∴OA:OD = 2:3，
已知OA=6，代入得6:OD = 2:3，
解得OD=9。

3.如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,将△ABC放大后得到△BDE.若点A(2,0),B(6,0),则△ABC与△BDE的面积比是.

$\boldsymbol{1:9}$

解：
∵ 点A(2,0)，点B(6,0)，
∴ OA=2，OB=6，
∵ 以原点O为位似中心，将△ABC放大后得到△BDE，
∴ △ABC与△BDE是位似图形，位似比为 $\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$，
∴ △ABC与△BDE的相似比为 $1:3$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得△ABC与△BDE的面积比为 $(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$。

4.如图,在$10×10$的正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,以点A为位似中心画四边形$AB'C'D'$,使它与四边形ABCD位似,且相似比为2.

(1)在图中画出四边形$AB'C'D'$;
(2)$△AC'D'$是三角形.

等腰直角

解：
(1) 作图：
① 分别延长AB、AC、AD，在延长线上取点$B'$、$C'$、$D'$，使$AB'=2AB$，$AC'=2AC$，$AD'=2AD$；
② 顺次连接$B'$、$C'$、$D'$，所得四边形$AB'C'D'$即为与四边形ABCD位似、相似比为2的图形。
(也可在点A的异侧按相同相似比作出符合要求的位似四边形)
(2) 设每个小方格的边长为1，由勾股定理可得：
$AC'^2 = 80$，$AD'^2 = 40$，$C'D'^2 = 40$，
因此$AD'=C'D'$，且$AD'^2 + C'D'^2 = AC'^2$，
$△ AC'D'$是等腰直角三角形。

5. 提升题 已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)（正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，如图所示）。
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A₁B₁C₁，并写出点C₁的坐标是；
(2)若以点B为位似中心，在网格内画出△A₂B₂C₂，使△A₂B₂C₂与△ABC位似，且相似比为2，则点C₂的坐标是；
(3)△A₂B₂C₂的面积是多少个平方单位？

解：
(1) 将点A、B、C分别向下平移4个单位长度，依次连接对应点得到△A₁B₁C₁，点$C_1$的坐标是$\boldsymbol{(2,-2)}$；
(2) 以点B为位似中心，延长BA至$A_2$使$BA_2=2BA$，延长BC至$C_2$使$BC_2=2BC$，点B对应自身为$B_2$，依次连接得到△A₂B₂C₂，点$C_2$的坐标是$\boldsymbol{(1,0)}$；
(3) 用割补法计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=3×2 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×2=\frac{5}{2}$
因为△A₂B₂C₂与△ABC的相似比为2，位似图形面积比等于相似比的平方，因此：
$S_{△ A_2B_2C_2}=2^2× S_{△ ABC}=4×\frac{5}{2}=10$
答：△A₂B₂C₂的面积是10个平方单位。