1. 如图,四边形ABCD与A'B'C'D'以O为位似中心,相似比为$\frac{1}{2}$.点A的对应点是点,点B的对应点是点,线段AB的对应线段是线段,∠DAB的对应角是,线段AD与A'D'的比为,它们关于点位似.△OAB与相似,相似比为.

解：
点A的对应点是点$\boldsymbol{A'}$，点B的对应点是点$\boldsymbol{B'}$，线段AB的对应线段是线段$\boldsymbol{A'B'}$，$∠ DAB$的对应角是$\boldsymbol{∠ D'A'B'}$，线段AD与$A'D'$的比为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，它们关于点$\boldsymbol{O}$位似。$△ OAB$与$\boldsymbol{△ OA'B'}$相似，相似比为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。

2. 提升题 如图，直线 $y=\frac{1}{3}x+1$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别相交于 $A$，$B$ 两点. 若 $△ BOC$ 与 $△ B'O'C'$ 是以点 $A$ 为位似中心的位似图形，且相似比为 $\frac{1}{2}$，则点 $B'$ 的坐标为 .

解：
当$y=0$时，$\frac{1}{3}x+1=0$，解得$x=-3$，
∴点$A$的坐标为$(-3,0)$。
当$x=0$时，$y=1$，
∴点$B$的坐标为$(0,1)$。
∵$△ BOC$与$△ B'O'C'$以点$A$为位似中心，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{AB'}=\frac{1}{2}$，即$AB'=2AB$。
① 当点$B'$与点$B$在位似中心$A$的同侧时：
点$B'$的横坐标为$-3 + [0 - (-3)] × 2 = 3$，
点$B'$的纵坐标为$0 + (1 - 0) × 2 = 2$，
得$B'(3,2)$。
② 当点$B'$与点$B$在位似中心$A$的异侧时：
点$B'$的横坐标为$-3 - [0 - (-3)] × 2 = -9$，
点$B'$的纵坐标为$0 - (1 - 0) × 2 = -2$，
得$B'(-9,-2)$。
综上，点$B'$的坐标为$\boldsymbol{(3,2)}$或$\boldsymbol{(-9,-2)}$。

3. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4,0),B(0,2),C(-2,4).
(1)△A₁B₁C₁三个顶点的坐标分别为A₁(2,0),B₁(0,-1),C₁(1,-2).若△A₁B₁C₁是△ABC通过位似变换得到的，则位似中心为，△A₁B₁C₁和△ABC的相似比为.
(2)请在线段AB上找一点M，使得AM:BM=2:3.

(1) $\boldsymbol{(0,0)}$；$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$（或$1:2$）
(2) 点$M$坐标为$(-\dfrac{12}{5},\dfrac{4}{5})$，在线段$AB$上标注该点即可。

解：
(1) 连接$AA_1$、$BB_1$，两条连线的交点为坐标原点$(0,0)$，即位似中心为$(0,0)$；
对应点到位似中心的距离之比为$OA_1:OA=2:4=1:2$，因此$△ A_1B_1C_1$和$△ ABC$的相似比为$\frac{1}{2}$（或$1:2$）。
(2) 由$AM:BM=2:3$，可知点$M$将线段$AB$分为长度比为$2:3$的两段，结合$A(-4,0)$、$B(0,2)$，计算得点$M$的坐标为$(-\frac{12}{5},\frac{4}{5})$，在线段$AB$上描出该点，即为所求点$M$。

4. 如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点A,B的坐标分别为(-2,-3),(2,-1).
(1)以原点O为位似中心,在x轴下方画出△OA₁B₁,使它与△OAB的相似比为2.
(2)在(1)的条件下.
①点A的对应点A₁的坐标为,点B的对应点B₁的坐标为;
②△OAB边上任意一点D(a,b)的对应点D₁的坐标为.

解：
(1) 分别取点$A_1(-4,-6)$，$B_1(4,-2)$，连接$OA_1$、$OB_1$、$A_1B_1$，所得$△ OA_1B_1$即为所求作的图形。
(2) ① 点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-4,-6)}$，点$B_1$的坐标为$\boldsymbol{(4,-2)}$；
② 点$D_1$的坐标为$\boldsymbol{(2a,2b)}$。