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9. 如图，若等边$△ ABC$的边长为2，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，则$\odot O$的半径是 （
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$1$
D.$\frac{1}{3}$
B
）A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$1$
D.$\frac{1}{3}$
答案
9.B
解析
【分析】
要计算等边三角形内切圆的半径，首先明确等边三角形的内心与重心、垂心、角平分线交点重合，内切圆半径是内心到三角形边的距离。解题时可先求出等边三角形的高，再利用重心分高为2:1的比例得到内切圆半径，也可构造含30°角的直角三角形，通过解直角三角形计算半径。
【解析】
连接AD、OB，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，
∴AD⊥BC，BD = $\frac{1}{2}$BC = 1，∠OBD = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，且圆心O在AD上。
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD = $\sqrt{AB^2 - BD^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$。
∵O是等边三角形的内心，也是重心，重心到对边的距离为高的$\frac{1}{3}$，
∴内切圆半径OD = $\frac{1}{3}$AD = $\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内切圆的性质；解直角三角形
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是掌握等边三角形“四心合一”的特殊性质，结合直角三角形的相关性质即可快速求解，熟练记忆特殊三角形的相关结论能提高解题效率。
【难度系数】
0.7
要计算等边三角形内切圆的半径，首先明确等边三角形的内心与重心、垂心、角平分线交点重合，内切圆半径是内心到三角形边的距离。解题时可先求出等边三角形的高，再利用重心分高为2:1的比例得到内切圆半径，也可构造含30°角的直角三角形，通过解直角三角形计算半径。
【解析】
连接AD、OB，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，
∴AD⊥BC，BD = $\frac{1}{2}$BC = 1，∠OBD = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，且圆心O在AD上。
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD = $\sqrt{AB^2 - BD^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$。
∵O是等边三角形的内心，也是重心，重心到对边的距离为高的$\frac{1}{3}$，
∴内切圆半径OD = $\frac{1}{3}$AD = $\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内切圆的性质；解直角三角形
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是掌握等边三角形“四心合一”的特殊性质，结合直角三角形的相关性质即可快速求解，熟练记忆特殊三角形的相关结论能提高解题效率。
【难度系数】
0.7
10. 如图,以 BC 为底的等腰△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,过点 A 作 AD//BC 交 BO 的反向延长线于点 D.
(1)求证:AD 是⊙O 的切线;
(2)若四边形 ADBC 是平行四边形,且 BC=12,求⊙O 的半径.
(1)求证:AD 是⊙O 的切线;
(2)若四边形 ADBC 是平行四边形,且 BC=12,求⊙O 的半径.
答案
10.(1)证明略.
(2)如题图,设OA与BC交于点E,
由(1)得$BE=\frac{1}{2}BC=6.$
$\because$四边形 ADBC 是平行四边形,$\therefore AC=BD.$
$\because AC=AB,\therefore AB=BD,\therefore ∠D=∠DAB.$
$\because ∠OAD=90°,\therefore ∠D+∠AOD=90°.$
$\because ∠BAO+∠DAB=90°,$
$\therefore ∠BAO=∠AOD,\therefore AB=OB,$
易得$△ABO$是等边三角形,$\therefore ∠BOA=60°,$
$\therefore OB=\frac{BE}{\sin 60°}=4\sqrt{3},\therefore \odot O$的半径为$4\sqrt{3}.$
(2)如题图,设OA与BC交于点E,
由(1)得$BE=\frac{1}{2}BC=6.$
$\because$四边形 ADBC 是平行四边形,$\therefore AC=BD.$
$\because AC=AB,\therefore AB=BD,\therefore ∠D=∠DAB.$
$\because ∠OAD=90°,\therefore ∠D+∠AOD=90°.$
$\because ∠BAO+∠DAB=90°,$
$\therefore ∠BAO=∠AOD,\therefore AB=OB,$
易得$△ABO$是等边三角形,$\therefore ∠BOA=60°,$
$\therefore OB=\frac{BE}{\sin 60°}=4\sqrt{3},\therefore \odot O$的半径为$4\sqrt{3}.$
解析
【分析】
(1) 要证AD是⊙O的切线，根据切线判定定理，只需证明AD垂直于半径OA。首先等腰△ABC以BC为底，点A在BC的垂直平分线上；圆心O到B、C的距离相等，也在BC的垂直平分线上，因此OA是BC的垂直平分线，可得OA⊥BC，再结合AD//BC，即可推出OA⊥AD，完成切线证明。
(2) 求⊙O的半径，先设OA交BC于点E，由(1)的垂直关系得E是BC中点，算出BE=6；再结合平行四边形ADBC的对边相等、等腰△ABC的两腰相等的性质，推导角的关系，证明△ABO是等边三角形，得到∠AOB=60°，最后在Rt△OBE中利用三角函数即可求出半径OB的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OA，
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，
∴AB=AC，即点A在BC的垂直平分线上，
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，即点O也在BC的垂直平分线上，
∴直线OA垂直平分BC，即OA⊥BC，
又
∵AD//BC，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线。
(2) 解：设OA与BC交于点E，
由(1)得OA⊥BC，
∴E为BC中点，即$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$。
∵四边形ADBC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵△ABC是等腰三角形，AC=AB，
∴AB=BD，
∴∠D=∠DAB，
由(1)知∠OAD=90°，在Rt△OAD中，∠D+∠AOD=90°，
又
∵∠DAB+∠BAO=∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠AOD，
∴AB=OB，
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴OA=OB=AB，即△ABO是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
在Rt△OBE中，$\sin∠ BOE=\frac{BE}{OB}$，
∴$OB=\frac{BE}{\sin60°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$4\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；平行四边形的性质；解直角三角形
【点评】
本题第一问核心是利用垂直平分线的性质证明半径与直线垂直，属于切线判定的常规考法；第二问结合四边形、等腰三角形、等边三角形的性质，将半径转化到直角三角形中求解，综合考查了圆与几何图形的综合应用，解题时需注意各性质之间的灵活转化。
【难度系数】
0.6
(1) 要证AD是⊙O的切线，根据切线判定定理，只需证明AD垂直于半径OA。首先等腰△ABC以BC为底，点A在BC的垂直平分线上；圆心O到B、C的距离相等，也在BC的垂直平分线上，因此OA是BC的垂直平分线，可得OA⊥BC，再结合AD//BC，即可推出OA⊥AD，完成切线证明。
(2) 求⊙O的半径，先设OA交BC于点E，由(1)的垂直关系得E是BC中点，算出BE=6；再结合平行四边形ADBC的对边相等、等腰△ABC的两腰相等的性质，推导角的关系，证明△ABO是等边三角形，得到∠AOB=60°，最后在Rt△OBE中利用三角函数即可求出半径OB的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OA，
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，
∴AB=AC，即点A在BC的垂直平分线上，
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，即点O也在BC的垂直平分线上，
∴直线OA垂直平分BC，即OA⊥BC，
又
∵AD//BC，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线。
(2) 解：设OA与BC交于点E，
由(1)得OA⊥BC，
∴E为BC中点，即$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$。
∵四边形ADBC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵△ABC是等腰三角形，AC=AB，
∴AB=BD，
∴∠D=∠DAB，
由(1)知∠OAD=90°，在Rt△OAD中，∠D+∠AOD=90°，
又
∵∠DAB+∠BAO=∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠AOD，
∴AB=OB，
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴OA=OB=AB，即△ABO是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
在Rt△OBE中，$\sin∠ BOE=\frac{BE}{OB}$，
∴$OB=\frac{BE}{\sin60°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$4\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；平行四边形的性质；解直角三角形
【点评】
本题第一问核心是利用垂直平分线的性质证明半径与直线垂直，属于切线判定的常规考法；第二问结合四边形、等腰三角形、等边三角形的性质，将半径转化到直角三角形中求解，综合考查了圆与几何图形的综合应用，解题时需注意各性质之间的灵活转化。
【难度系数】
0.6
11. [2025·滁州凤阳一模]如图，正六边形螺帽的边长为$2\sqrt{3}$ cm，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为点B，AB=17 cm，用扳手拧动螺帽旋转$90°$，则点A在该过程中所经过的路径长为（
A.$(17+\sqrt{3})π$ cm
B.$(17+2\sqrt{3})π$ cm
C.$10π$ cm
D.$20π$ cm
C
）A.$(17+\sqrt{3})π$ cm
B.$(17+2\sqrt{3})π$ cm
C.$10π$ cm
D.$20π$ cm
答案
11.C
解析
【分析】
要求点A旋转过程中经过的路径长，首先明确点A的运动路径是以O为圆心、OA长为半径、圆心角为90°的圆弧，因此需先求出OA的长度。OA由OB和AB两段组成，AB已知为17 cm，因此只需计算正六边形的边心距OB即可。结合正六边形的性质，可构造直角三角形用勾股定理求出OB，最后代入弧长公式计算路径长。
【解析】
连接OC、OD：
1. 正六边形的中心角$∠ COD = 360°÷6 = 60°$，又$OC=OD$，因此$△ OCD$是等边三角形，可得$OC = CD = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 已知OA垂直平分CD，因此$BC = \frac{1}{2}CD = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$∠ OBC = 90°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得：$OB = \sqrt{OC^2 - BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 - 3} = 3\ \mathrm{cm}$。
4. 因此$OA = OB + AB = 3 + 17 = 20\ \mathrm{cm}$。
5. 点A旋转$90°$经过的路径长为弧长，根据弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $，代入$n=90$，$r=20$，得$ l = \frac{90× π × 20}{180} = 10π\ \mathrm{cm} $。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题结合生活中的扳手拧螺帽的场景考查几何计算，解题的核心是明确旋转路径的形状和对应参数，将实际问题转化为正六边形性质和弧长计算的数学问题，难度适中。
【难度系数】
0.7
要求点A旋转过程中经过的路径长，首先明确点A的运动路径是以O为圆心、OA长为半径、圆心角为90°的圆弧，因此需先求出OA的长度。OA由OB和AB两段组成，AB已知为17 cm，因此只需计算正六边形的边心距OB即可。结合正六边形的性质，可构造直角三角形用勾股定理求出OB，最后代入弧长公式计算路径长。
【解析】
连接OC、OD：
1. 正六边形的中心角$∠ COD = 360°÷6 = 60°$，又$OC=OD$，因此$△ OCD$是等边三角形，可得$OC = CD = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 已知OA垂直平分CD，因此$BC = \frac{1}{2}CD = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$∠ OBC = 90°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得：$OB = \sqrt{OC^2 - BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 - 3} = 3\ \mathrm{cm}$。
4. 因此$OA = OB + AB = 3 + 17 = 20\ \mathrm{cm}$。
5. 点A旋转$90°$经过的路径长为弧长，根据弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $，代入$n=90$，$r=20$，得$ l = \frac{90× π × 20}{180} = 10π\ \mathrm{cm} $。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题结合生活中的扳手拧螺帽的场景考查几何计算，解题的核心是明确旋转路径的形状和对应参数，将实际问题转化为正六边形性质和弧长计算的数学问题，难度适中。
【难度系数】
0.7
12. 如图,已知AB为$\odot O$的直径,CD是弦,$AB ⊥ CD$,垂足为点E,$OF ⊥ AC$,垂足为点F,$BE=OF$.
(1)求证:$AC=CD$;
(2)若$BE=4$,$CD=8\sqrt{3}$,求阴影部分的面积.
(1)求证:$AC=CD$;
(2)若$BE=4$,$CD=8\sqrt{3}$,求阴影部分的面积.
答案
12.(1)证明略.
(2)如题图,连接OD.由题意,得$CE=\frac{1}{2}CD=4\sqrt{3},$
设$OC=r$,则$OE=r-4.$
在$Rt△OCE$中,$r^2=(r-4)^2+(4\sqrt{3})^2,$
解得$r=8.$
在$Rt△OCE$中,$OE=4=\frac{1}{2}OC,$
$\therefore ∠OCE=30°,∠COB=60°,∴∠COD=120°,$
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OCD}-S_{△OCD}=\frac{120π×8^2}{360}-\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×4=$$\frac{64}{3}π-16\sqrt{3}.$
(2)如题图,连接OD.由题意,得$CE=\frac{1}{2}CD=4\sqrt{3},$
设$OC=r$,则$OE=r-4.$
在$Rt△OCE$中,$r^2=(r-4)^2+(4\sqrt{3})^2,$
解得$r=8.$
在$Rt△OCE$中,$OE=4=\frac{1}{2}OC,$
$\therefore ∠OCE=30°,∠COB=60°,∴∠COD=120°,$
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OCD}-S_{△OCD}=\frac{120π×8^2}{360}-\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×4=$$\frac{64}{3}π-16\sqrt{3}.$
解析
【分析】
(1) 要证明两条弦相等，可结合圆的性质转化为证明弦的一半相等：已知AB⊥CD，OF⊥AC，由垂径定理可得$CD=2CE$，$AC=2AF$，因此只需证明$CE=AF$即可。结合已知$BE=OF$，通过证明三角形全等推导对应边相等，即可得到$AC=CD$。
(2) 阴影部分为不规则图形，采用割补法求解：阴影面积 = 扇形OCD的面积 - △OCD的面积。首先用垂径定理得到CE的长度，设半径为r，结合勾股定理列方程求出半径，再根据直角三角形边角关系求出圆心角∠COD的度数，最后代入扇形和三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AB是⊙O的直径，$AB⊥CD$，
∴由垂径定理得：$CE=\frac{1}{2}CD$，$∠CEB=90°$，
∵$OF⊥AC$，
∴$AF=\frac{1}{2}AC$，$∠AFO=90°$，
∴$∠AFO=∠CEB$，
∵同弧BC所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠COB=2∠CAB$，
在$Rt△COE$中$∠OCE + ∠COB=90°$，在$Rt△AOF$中$∠AOF + ∠CAB=90°$，
又
∵$OA=OC$，$BE=OF$，
∴$△AFO≌△CEB$（AAS），
∴$AF=CE$，
∴$2AF=2CE$，即$AC=CD$。
(2) 解：连接OD，
∵$AB⊥CD$，$CD=8\sqrt{3}$，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=4\sqrt{3}$，
设⊙O的半径为$r$，则$OC=OB=r$，
∵$BE=4$，
∴$OE=OB-BE=r-4$，
在$Rt△OCE$中，由勾股定理得：$OC^2=OE^2 + CE^2$，
即$r^2=(r-4)^2+(4\sqrt{3})^2$，
展开得$r^2=r^2-8r+16+48$，解得$r=8$，
∴$OE=8-4=4=\frac{1}{2}OC$，
∴在$Rt△OCE$中，$∠OCE=30°$，
∴$∠COB=90°-30°=60°$，
∵$AB⊥CD$，$OC=OD$，
∴$∠COD=2∠COB=120°$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形OCD}-S_{△OCD}$，
其中$S_{扇形OCD}=\frac{120π×8^2}{360}=\frac{64}{3}π$，
$S_{△OCD}=\frac{1}{2}×CD×OE=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×4=16\sqrt{3}$，
∴$S_{阴影}=\frac{64}{3}π - 16\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{\frac{64}{3}π - 16\sqrt{3}}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合应用题，既考查了圆的基本性质、全等三角形的判定，也考查了不规则图形面积的计算方法，解题核心是熟练运用垂径定理和割补法，将未知量转化为已知量求解，是圆章节的典型考法。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明两条弦相等，可结合圆的性质转化为证明弦的一半相等：已知AB⊥CD，OF⊥AC，由垂径定理可得$CD=2CE$，$AC=2AF$，因此只需证明$CE=AF$即可。结合已知$BE=OF$，通过证明三角形全等推导对应边相等，即可得到$AC=CD$。
(2) 阴影部分为不规则图形，采用割补法求解：阴影面积 = 扇形OCD的面积 - △OCD的面积。首先用垂径定理得到CE的长度，设半径为r，结合勾股定理列方程求出半径，再根据直角三角形边角关系求出圆心角∠COD的度数，最后代入扇形和三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AB是⊙O的直径，$AB⊥CD$，
∴由垂径定理得：$CE=\frac{1}{2}CD$，$∠CEB=90°$，
∵$OF⊥AC$，
∴$AF=\frac{1}{2}AC$，$∠AFO=90°$，
∴$∠AFO=∠CEB$，
∵同弧BC所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠COB=2∠CAB$，
在$Rt△COE$中$∠OCE + ∠COB=90°$，在$Rt△AOF$中$∠AOF + ∠CAB=90°$，
又
∵$OA=OC$，$BE=OF$，
∴$△AFO≌△CEB$（AAS），
∴$AF=CE$，
∴$2AF=2CE$，即$AC=CD$。
(2) 解：连接OD，
∵$AB⊥CD$，$CD=8\sqrt{3}$，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=4\sqrt{3}$，
设⊙O的半径为$r$，则$OC=OB=r$，
∵$BE=4$，
∴$OE=OB-BE=r-4$，
在$Rt△OCE$中，由勾股定理得：$OC^2=OE^2 + CE^2$，
即$r^2=(r-4)^2+(4\sqrt{3})^2$，
展开得$r^2=r^2-8r+16+48$，解得$r=8$，
∴$OE=8-4=4=\frac{1}{2}OC$，
∴在$Rt△OCE$中，$∠OCE=30°$，
∴$∠COB=90°-30°=60°$，
∵$AB⊥CD$，$OC=OD$，
∴$∠COD=2∠COB=120°$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形OCD}-S_{△OCD}$，
其中$S_{扇形OCD}=\frac{120π×8^2}{360}=\frac{64}{3}π$，
$S_{△OCD}=\frac{1}{2}×CD×OE=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×4=16\sqrt{3}$，
∴$S_{阴影}=\frac{64}{3}π - 16\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{\frac{64}{3}π - 16\sqrt{3}}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合应用题，既考查了圆的基本性质、全等三角形的判定，也考查了不规则图形面积的计算方法，解题核心是熟练运用垂径定理和割补法，将未知量转化为已知量求解，是圆章节的典型考法。
【难度系数】
0.6
