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4. 如图，CD为$\odot O$的直径，弦AB交CD于点E，点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点。若$\overset{\frown}{BC}$的度数为$60°$，点O到AD的距离为2，则OE的长为（
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3$
D.$2$
D
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3$
D.$2$
答案
4.D
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用弧中点的性质和垂径定理，可得CD垂直AB，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=60°$，据此可推出相关圆周角、圆心角的度数；2. 过O作$OF⊥ AD$于F，已知$OF=2$，结合30°直角三角形的性质求出圆的半径；3. 最后在含60°角的$Rt△ OEB$中计算OE的长度即可。
【解析】
过点O作$OF⊥ AD$于点F，由题意得$OF=2$。
∵点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，CD为$\odot O$的直径，
∴根据垂径定理得$CD⊥ AB$，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=60°$。
∵$\overset{\frown}{AC}$的度数为$60°$，
∴它所对的圆周角$∠ ADC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在$Rt△ OFD$中，$∠ OFD=90°$，$∠ ODF=30°$，$OF=2$，
∴$OD=2OF=4$，即$\odot O$的半径为4，故$OB=4$。
∵$\overset{\frown}{BC}$的度数为$60°$，
∴它所对的圆心角$∠ BOC=60°$。
在$Rt△ OEB$中，$∠ OEB=90°$，$∠ BOE=60°$，
∴$∠ OBE=30°$，则$OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与特殊直角三角形的性质，解题核心是通过弧的度数得到对应角的度数，结合垂径定理构造直角三角形求解，解题时注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用弧中点的性质和垂径定理，可得CD垂直AB，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=60°$，据此可推出相关圆周角、圆心角的度数；2. 过O作$OF⊥ AD$于F，已知$OF=2$，结合30°直角三角形的性质求出圆的半径；3. 最后在含60°角的$Rt△ OEB$中计算OE的长度即可。
【解析】
过点O作$OF⊥ AD$于点F，由题意得$OF=2$。
∵点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，CD为$\odot O$的直径，
∴根据垂径定理得$CD⊥ AB$，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=60°$。
∵$\overset{\frown}{AC}$的度数为$60°$，
∴它所对的圆周角$∠ ADC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在$Rt△ OFD$中，$∠ OFD=90°$，$∠ ODF=30°$，$OF=2$，
∴$OD=2OF=4$，即$\odot O$的半径为4，故$OB=4$。
∵$\overset{\frown}{BC}$的度数为$60°$，
∴它所对的圆心角$∠ BOC=60°$。
在$Rt△ OEB$中，$∠ OEB=90°$，$∠ BOE=60°$，
∴$∠ OBE=30°$，则$OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与特殊直角三角形的性质，解题核心是通过弧的度数得到对应角的度数，结合垂径定理构造直角三角形求解，解题时注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
5.如图，BD是$\odot O$的直径，点A，C在圆上，且$CD=OB$，则$∠ BAC=$（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：BD是⊙O的直径，可知OB、OC、OD均为⊙O的半径，长度相等；结合CD=OB可推出△OCD的三边相等，判定其为等边三角形，得到∠BDC的度数；最后利用同弧所对的圆周角相等，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵BD是⊙O的直径，
∴OB=OC=OD（圆的半径长度相等）。
又
∵CD=OB，
∴CD=OC=OD，即△OCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°。
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠BAC=∠BDC=60°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础题型，解题核心是通过半径相等的隐含条件推出等边三角形，再结合圆周角的性质得到所求角度，难度不大，侧重对基础知识点的综合应用考察。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：BD是⊙O的直径，可知OB、OC、OD均为⊙O的半径，长度相等；结合CD=OB可推出△OCD的三边相等，判定其为等边三角形，得到∠BDC的度数；最后利用同弧所对的圆周角相等，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵BD是⊙O的直径，
∴OB=OC=OD（圆的半径长度相等）。
又
∵CD=OB，
∴CD=OC=OD，即△OCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°。
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠BAC=∠BDC=60°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础题型，解题核心是通过半径相等的隐含条件推出等边三角形，再结合圆周角的性质得到所求角度，难度不大，侧重对基础知识点的综合应用考察。
【难度系数】
0.7
6.如图，$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆，$OE ⊥ AB$交$\odot O$于点$E$，垂足为点$D$，$AE$，$CB$的延长线交于点$F$。若$OD=3$，$AB=8$，则$FC$的长是（
A.8
B.6
C.10
D.4
C
）A.8
B.6
C.10
D.4
答案
6.C
解析
【分析】
首先根据直角三角形外接圆的特征可确定AC是⊙O的直径，∠ABC为直角；再结合OE⊥AB的条件，利用垂径定理可得D是AB的中点，结合已知线段长度用勾股定理可求出⊙O的半径；最后通过OE和FC都垂直于AB判断二者平行，结合O是AC中点可知OE是△AFC的中位线，即可求出FC的长度。
【解析】
解：
∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，O为AC的中点。
∵OE⊥AB，AB是⊙O的弦，
∴根据垂径定理，$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，且∠ADO=90°。
在Rt△ADO中，OD=3，AD=4，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，即⊙O的半径为5，
∴$OE=AO=5$。
∵OE⊥AB，BC⊥AB，
∴OE//FC。
又
∵O是AC中点，
∴OE是△AFC的中位线，
∴$FC=2OE=2×5=10$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是熟练掌握垂径定理、三角形中位线的性质，能快速找到线段之间的位置和数量关系，考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先根据直角三角形外接圆的特征可确定AC是⊙O的直径，∠ABC为直角；再结合OE⊥AB的条件，利用垂径定理可得D是AB的中点，结合已知线段长度用勾股定理可求出⊙O的半径；最后通过OE和FC都垂直于AB判断二者平行，结合O是AC中点可知OE是△AFC的中位线，即可求出FC的长度。
【解析】
解：
∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，O为AC的中点。
∵OE⊥AB，AB是⊙O的弦，
∴根据垂径定理，$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，且∠ADO=90°。
在Rt△ADO中，OD=3，AD=4，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，即⊙O的半径为5，
∴$OE=AO=5$。
∵OE⊥AB，BC⊥AB，
∴OE//FC。
又
∵O是AC中点，
∴OE是△AFC的中位线，
∴$FC=2OE=2×5=10$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是熟练掌握垂径定理、三角形中位线的性质，能快速找到线段之间的位置和数量关系，考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7.[隐圆最值]如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,点P在矩形的内部,连接PA,PB,PC.若∠PBC=∠PAB,则PC的最小值是（
A.6
B.$\sqrt{73}-3$
C.$2\sqrt{13}-4$
D.$4\sqrt{13}-4$
C
）A.6
B.$\sqrt{73}-3$
C.$2\sqrt{13}-4$
D.$4\sqrt{13}-4$
答案
7.C
解析
【分析】
首先从已知角度相等和矩形的直角性质入手，推导得出∠APB=90°，根据“直径所对的圆周角为直角”可确定点P的运动轨迹是以AB为直径的圆；再根据圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，即可求出PC的最小值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠ABP=90°，
又
∵∠PBC=∠PAB，
∴∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠APB=180°-(∠PAB+∠ABP)=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为O（即圆心），则圆O的半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
在Rt△OBC中，OB=4，BC=6，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
根据圆的性质，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，
∴PC的最小值为$OC - r=2\sqrt{13}-4$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，矩形的性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题是典型的隐圆最值问题，解题的核心是通过角度关系确定动点的轨迹为圆，再结合圆的性质计算最值，需要熟练掌握圆周角定理和点与圆的距离规律。
【难度系数】
0.6
首先从已知角度相等和矩形的直角性质入手，推导得出∠APB=90°，根据“直径所对的圆周角为直角”可确定点P的运动轨迹是以AB为直径的圆；再根据圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，即可求出PC的最小值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠ABP=90°，
又
∵∠PBC=∠PAB，
∴∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠APB=180°-(∠PAB+∠ABP)=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为O（即圆心），则圆O的半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
在Rt△OBC中，OB=4，BC=6，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
根据圆的性质，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，
∴PC的最小值为$OC - r=2\sqrt{13}-4$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，矩形的性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题是典型的隐圆最值问题，解题的核心是通过角度关系确定动点的轨迹为圆，再结合圆的性质计算最值，需要熟练掌握圆周角定理和点与圆的距离规律。
【难度系数】
0.6
8.[2025·合肥经开区一模]如图，AB是半圆O的直径，动点C在半圆上，OD平分∠COB与半圆O交于点D，连接CA.
(1)求证:$OD// AC$；
(2)过点B作$EB⊥ AB$，交OD的延长线于点E，设$△ OAC$的面积为$S_1$，$△ OBE$的面积为$S_2$.
①若$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$，求$\tan∠ ACO$；
②若$S_1=S_2$，则$\tan∠ ACO=$
(1)求证:$OD// AC$；
(2)过点B作$EB⊥ AB$，交OD的延长线于点E，设$△ OAC$的面积为$S_1$，$△ OBE$的面积为$S_2$.
①若$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$，求$\tan∠ ACO$；
②若$S_1=S_2$，则$\tan∠ ACO=$
1
.(直接写出答案)答案
8.(1)证明略.
(2)①过 C 作$CH ⊥ AO$于点 H.
$\because \frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$,即$\frac{\frac{1}{2}OA · CH}{\frac{1}{2}OB · BE}=\frac{1}{2},\therefore \frac{CH}{BE}=\frac{1}{2}.$
易得$∠A=∠BOE$,
$\therefore \tan A=\tan ∠BOE,\therefore \frac{CH}{AH}=\frac{BE}{OB},即\frac{AH}{OB}=\frac{CH}{BE}=\frac{1}{2}.$
$\therefore AH=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}OA,\therefore H$ 为AO的中点,易得$AC=CO$,
$\therefore △ACO$是等边三角形,$\therefore ∠ACO=60°,\therefore \tan ∠ACO=\sqrt{3}.$
②1
(2)①过 C 作$CH ⊥ AO$于点 H.
$\because \frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$,即$\frac{\frac{1}{2}OA · CH}{\frac{1}{2}OB · BE}=\frac{1}{2},\therefore \frac{CH}{BE}=\frac{1}{2}.$
易得$∠A=∠BOE$,
$\therefore \tan A=\tan ∠BOE,\therefore \frac{CH}{AH}=\frac{BE}{OB},即\frac{AH}{OB}=\frac{CH}{BE}=\frac{1}{2}.$
$\therefore AH=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}OA,\therefore H$ 为AO的中点,易得$AC=CO$,
$\therefore △ACO$是等边三角形,$\therefore ∠ACO=60°,\therefore \tan ∠ACO=\sqrt{3}.$
②1
解析
【分析】
(1) 要证$OD// AC$，可通过证明同位角相等推导：已知OA、OC都是半圆半径，故$△ OAC$为等腰三角形，外角$∠ COB=2∠ A$；结合OD平分$∠ COB$可得$∠ COB=2∠ DOB$，即可推出$∠ A=∠ DOB$，同位角相等则两直线平行。
(2) ①要求$\tan∠ ACO$，先过C作$CH⊥ AO$于H，结合两个三角形的面积比、OA=OB的性质，先推出CH与BE的比值；再利用$∠ A=∠ BOE$的正切值相等，推导得AH与OB的关系，判断H是AO中点，进而推出$△ OAC$是等边三角形，即可求出$\tan∠ ACO$。②同理按照①的推导思路，当面积相等时推导对应边的关系，即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because OA=OC$（均为半圆O的半径），
$\therefore ∠ A=∠ ACO$，
$\therefore ∠ COB=∠ A+∠ ACO=2∠ A$。
$\because OD$平分$∠ COB$，
$\therefore ∠ COB=2∠ DOB$，
$\therefore ∠ A=∠ DOB$，
$\therefore OD// AC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) ①过点C作$CH⊥ AO$于点H，设半圆O半径为$r$，则$OA=OB=r$。
$S_1=\frac{1}{2}· OA· CH=\frac{1}{2}r· CH$，$S_2=\frac{1}{2}· OB· BE=\frac{1}{2}r· BE$，
$\because \frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{\frac{1}{2}r· CH}{\frac{1}{2}r· BE}=\frac{CH}{BE}=\frac{1}{2}$。
由(1)得$∠ A=∠ BOE$，$\therefore \tan A=\tan∠ BOE$，
即$\frac{CH}{AH}=\frac{BE}{OB}$，变形得$\frac{AH}{OB}=\frac{CH}{BE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore AH=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}r=\frac{1}{2}OA$，即H为AO中点。
又$CH⊥ AO$，$\therefore CH$是AO的垂直平分线，$\therefore AC=OC$，
结合$OA=OC$，可得$OA=OC=AC$，即$△ OAC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ACO=60°$，$\tan∠ ACO=\tan60°=\sqrt{3}$。
②当$S_1=S_2$时，同理可得$\frac{CH}{BE}=1$，即$CH=BE$，
由$\tan A=\tan∠ BOE$得$\frac{AH}{OB}=\frac{CH}{BE}=1$，即$AH=OA$，H与O重合，
此时$∠ AOC=90°$，$△ OAC$为等腰直角三角形，$∠ ACO=45°$，$\tan∠ ACO=1$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) ①$\sqrt{3}$；②$1$
【知识点】
平行线的判定；圆的基本性质；解直角三角形
【点评】
本题综合考察了圆的性质、平行线判定、特殊三角形的判定、三角形面积计算及三角函数的应用，既覆盖基础知识点，也对逻辑推导、知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$OD// AC$，可通过证明同位角相等推导：已知OA、OC都是半圆半径，故$△ OAC$为等腰三角形，外角$∠ COB=2∠ A$；结合OD平分$∠ COB$可得$∠ COB=2∠ DOB$，即可推出$∠ A=∠ DOB$，同位角相等则两直线平行。
(2) ①要求$\tan∠ ACO$，先过C作$CH⊥ AO$于H，结合两个三角形的面积比、OA=OB的性质，先推出CH与BE的比值；再利用$∠ A=∠ BOE$的正切值相等，推导得AH与OB的关系，判断H是AO中点，进而推出$△ OAC$是等边三角形，即可求出$\tan∠ ACO$。②同理按照①的推导思路，当面积相等时推导对应边的关系，即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because OA=OC$（均为半圆O的半径），
$\therefore ∠ A=∠ ACO$，
$\therefore ∠ COB=∠ A+∠ ACO=2∠ A$。
$\because OD$平分$∠ COB$，
$\therefore ∠ COB=2∠ DOB$，
$\therefore ∠ A=∠ DOB$，
$\therefore OD// AC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) ①过点C作$CH⊥ AO$于点H，设半圆O半径为$r$，则$OA=OB=r$。
$S_1=\frac{1}{2}· OA· CH=\frac{1}{2}r· CH$，$S_2=\frac{1}{2}· OB· BE=\frac{1}{2}r· BE$，
$\because \frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{\frac{1}{2}r· CH}{\frac{1}{2}r· BE}=\frac{CH}{BE}=\frac{1}{2}$。
由(1)得$∠ A=∠ BOE$，$\therefore \tan A=\tan∠ BOE$，
即$\frac{CH}{AH}=\frac{BE}{OB}$，变形得$\frac{AH}{OB}=\frac{CH}{BE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore AH=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}r=\frac{1}{2}OA$，即H为AO中点。
又$CH⊥ AO$，$\therefore CH$是AO的垂直平分线，$\therefore AC=OC$，
结合$OA=OC$，可得$OA=OC=AC$，即$△ OAC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ACO=60°$，$\tan∠ ACO=\tan60°=\sqrt{3}$。
②当$S_1=S_2$时，同理可得$\frac{CH}{BE}=1$，即$CH=BE$，
由$\tan A=\tan∠ BOE$得$\frac{AH}{OB}=\frac{CH}{BE}=1$，即$AH=OA$，H与O重合，
此时$∠ AOC=90°$，$△ OAC$为等腰直角三角形，$∠ ACO=45°$，$\tan∠ ACO=1$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) ①$\sqrt{3}$；②$1$
【知识点】
平行线的判定；圆的基本性质；解直角三角形
【点评】
本题综合考察了圆的性质、平行线判定、特殊三角形的判定、三角形面积计算及三角函数的应用，既覆盖基础知识点，也对逻辑推导、知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
