一、分式的概念
【例1】若分式$\frac{1}{x - 5}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是.

$x ≠ 5$

要使分式$\frac{1}{x - 5}$有意义，则分母不能为0，即$x - 5 ≠ 0$，解得$x ≠ 5$。

练习1 若分式$\frac{x - 2}{x + 1}$的值为0，则$x$的值为()
A.2或−1
B.0
C.2
D.−1

C

要使分式 $\frac{x - 2}{x + 1}$ 的值为0，需满足分子为0且分母不为0。
1. 分子为0：$x - 2 = 0$，解得 $x = 2$。
2. 分母不为0：$x + 1 ≠ 0$，即 $x ≠ -1$。
综上，$x = 2$ 满足条件。

二、分式的基本性质
【例2】分式$\frac{-2a}{a + b}$可变形为()

A.$\frac{2a}{a - b}$
B.$-\frac{2a}{a + b}$
C.$-\frac{2a}{a - b}$
D.$\frac{-2a}{-a - b}$

B

根据分式的基本性质，分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个的符号，分式的值不变。
对于分式$\frac{-2a}{a+b}$，分子已经为负，若将其变为$-\frac{2a}{a + b}$，此时分子变为正，在分式前加负号，分母不变，分式的值与原分式相同。
对于选项A，$\frac{2a}{a - b}$，分子分母以及分式本身的符号与原分式相比都发生了变化，分式的值改变。
对于选项C，$-\frac{2a}{a - b}$，分母与原分式不同，分式的值改变。
对于选项D，$\frac{-2a}{-a - b}=\frac{-2a}{-(a + b)}=\frac{2a}{a + b}$，与原分式不同。

练习2 下列等式成立的是()
A.$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{3}{a + b}$
B.$\frac{0.2a}{0.3a + b}=\frac{2a}{3a + b}$
C.$\frac{ab}{ab - b^2}=\frac{a}{a - b}$
D.$\frac{a}{-a + b}=-\frac{a}{a + b}$

C

A选项：分式$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$，通分得到$\frac{b + 2a}{ab}≠\frac{3}{a + b}$，所以A选项错误。
B选项：分式$\frac{0.2a}{0.3a + b}$，分子分母同时乘以$10$，得到$\frac{2a}{3a + 10b}≠\frac{2a}{3a + b}$，所以B选项错误。
C选项：分式$\frac{ab}{ab - b^2}$，对分母提取公因式$b$，得到$\frac{ab}{b(a - b)}$，约分可得$\frac{a}{a - b}$，所以C选项正确。
D选项：分式$\frac{a}{-a + b}=\frac{a}{-(a - b)}=-\frac{a}{a - b}≠-\frac{a}{a + b}$，所以D选项错误。

三、分式的运算及化简求值
【例3】计算：
(1)$\frac{4x}{3y}·\frac{y}{2x^4}÷(\frac{1}{x})^2$.
(2)$(\frac{a}{a - b}-\frac{2b}{a - b})÷\frac{a - 2b}{a}$.

(1)
原式
$= \frac{4x}{3y} · \frac{y}{2x^{4}} ÷ \frac{1}{x^{2}}$
首先进行乘法运算：
$= \frac{4x · y}{3y · 2x^{4}}$
$= \frac{4x y}{6x^{4} y}$
$= \frac{2}{3x^{3}}$
然后进行除法运算：
$= \frac{2}{3x^{3}} · x^{2}$
$= \frac{2}{3x}$
(2)
原式
$= ( \frac{a}{a - b} - \frac{2b}{a - b} ) ÷ \frac{a - 2b}{a}$
首先进行括号内的减法运算：
$= \frac{a - 2b}{a - b} ÷ \frac{a - 2b}{a}$
然后进行除法运算：
$= \frac{a - 2b}{a - b} · \frac{a}{a - 2b}$
$= \frac{a}{a - b}$