6. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书，统计出三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用 5 天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工。某同学设规定的工期为 $ x $ 天，根据题意列出了方程：$ \frac{4}{x} + \frac{x}{x + 5} = 1 $。则方案③中被墨水污染的部分应该是()

A.甲、乙合做了 4 天
B.甲先做了 4 天
C.甲先做了工程的 $ \frac{1}{4} $
D.甲、乙合做了工程的 $ \frac{1}{4} $

A

设规定工期为$x$天，甲效率为$\frac{1}{x}$，乙效率为$\frac{1}{x+5}$。方程$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1$中，$\frac{4}{x}$为甲工作量，$\frac{x}{x+5}$为乙工作量。乙工作量$\frac{x}{x+5} = \frac{1}{x+5} × x$，即乙工作$x$天；甲工作量$\frac{4}{x} = \frac{1}{x} × 4$，即甲工作$4$天。因总工期为$x$天，故甲、乙合做$4$天（共做$4$天），之后乙单独做$x - 4$天，总工作量为$4(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}) + (x - 4)\frac{1}{x+5} = \frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1$，符合方程。

7. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树 6 000 棵。开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划多 $ 20\% $，结果提前 2 天完成任务。原计划每天种植梨树多少棵？

设原计划每天种植梨树$ x $棵，则实际每天种植梨树$ 1.2x $棵。
根据题意，原计划完成任务的时间为$ \frac{6000}{x} $天，实际完成任务的时间为$ \frac{6000}{1.2x} $天，且提前2天完成，可列方程：
$\frac{6000}{x} - \frac{6000}{1.2x} = 2$
化简方程：
$\frac{6000}{x} - \frac{5000}{x} = 2$
$\frac{1000}{x} = 2$
解得：
$x = 500$
经检验，$ x = 500 $是原方程的解，且符合题意。
答：原计划每天种植梨树500棵。

8. 某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球。已知篮球的单价比足球的单价多 40 元，用 1 500 元购进的篮球个数与用 900 元购进的足球个数相等。
（1）篮球与足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用 1 000 元购进篮球和足球，问：恰好用完 1 000 元，并且篮球和足球都买的购买方案有哪几种？

（1）设足球的单价为$x$元，则篮球的单价为$(x + 40)$元。
由题意得：$\frac{1500}{x + 40} = \frac{900}{x}$
交叉相乘得：$1500x = 900(x + 40)$
化简得：$1500x = 900x + 36000$
移项得：$600x = 36000$
解得：$x = 60$
经检验，$x = 60$是原方程的解，且符合题意。
篮球单价：$60 + 40 = 100$（元）
答：篮球单价100元，足球单价60元。
（2）设购买篮球$m$个，足球$n$个，$m$、$n$为正整数。
由题意得：$100m + 60n = 1000$
化简得：$5m + 3n = 50$
则$m = 10 - \frac{3n}{5}$
因为$m$、$n$为正整数，所以$\frac{3n}{5}$为整数，$n$是5的倍数。
设$n = 5k$（$k$为正整数），则$m = 10 - 3k$
由$m ＞ 0$得：$10 - 3k ＞ 0$，$k ＜ \frac{10}{3}$，$k = 1,2,3$
当$k = 1$时，$n = 5$，$m = 7$；
当$k = 2$时，$n = 10$，$m = 4$；
当$k = 3$时，$n = 15$，$m = 1$。
答：购买方案有三种：①篮球7个，足球5个；②篮球4个，足球10个；③篮球1个，足球15个。