四、解分式方程
【例4】解分式方程：$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{2x}{3x - 3}$.

解：方程两边同乘$3(x - 1)$，得$3x - 3(x - 1) = 2x$
去括号，得$3x - 3x + 3 = 2x$
移项、合并同类项，得$-2x = -3$
解得$x = \frac{3}{2}$
检验：当$x = \frac{3}{2}$时，$3(x - 1) = 3×(\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{2} ≠ 0$
所以原分式方程的解为$x = \frac{3}{2}$

练习4 $m$，$n$为实数，定义一种新运算：$m☆n=\frac{n}{3m - 9}$.若关于$x$的方程$a(x☆x)=(x☆12)+1$无解，则$a$的值是()
A.4
B.−3
C.4或−3
D.4或3

D

根据定义$m☆n = \frac{n}{3m - 9}$，
则$x☆x=\frac{x}{3x - 9}$，$x☆12=\frac{12}{3x - 9}$，
原方程$a(x☆x)=(x☆12)+1$可化为$\frac{ax}{3x - 9}=\frac{12}{3x - 9}+1$，
方程两边同乘$3x - 9$得：$ax = 12 + 3x - 9$，
移项可得：$ax-3x=3$，
合并同类项得：$(a - 3)x = 3$，
当$a - 3 = 0$，即$a = 3$时，方程变为$0=3$，此方程无解，此时原分式方程也无解；
当$a-3≠0$时，$x=\frac{3}{a - 3}$，
因为原分式方程分母不能为$0$，即$3x - 9≠0$，$x≠3$，
若$\frac{3}{a - 3}=3$，
则$3(a - 3)=3$，
$3a-9 = 3$，
$3a=12$，
$a = 4$，
当$a = 4$时，原分式方程分母为$0$，此时方程无解。
综上，$a$的值为$4$或$3$时，原方程无解。

五、分式方程的应用
【例5】某铁路工程建设指挥部要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的$\frac{2}{3}$.若由甲队先做10天，剩下的工程要再由甲、乙两队合做30天才能完成.
(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天.
(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元，工程的施工预算为500万元.为缩短工期并高效完成工程，拟定的施工预算是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.

(1)设乙队单独完成这项工程需要$x$天，则甲队单独完成这项工程需要$\frac{2}{3}x$天。
根据题意，甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成，可以列出方程：
$\frac{10 + 30}{\frac{2}{3}x} + \frac{30}{x} = 1$
$\frac{40}{\frac{2}{3}x} + \frac{30}{x} = 1$
$\frac{60}{x} + \frac{30}{x} = 1$
$\frac{90}{x} = 1$
$x = 90$
经检验，$x = 90$是原方程的解，并且符合题意。
因此，乙队单独完成这项工程需要90天，甲队单独完成这项工程需要$\frac{2}{3} × 90 = 60(天)$。
答：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天。
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要$y$天，根据题意，可以列出方程：
$y×(\frac{1}{60} + \frac{1}{90}) = 1$
$y×(\frac{3}{180} + \frac{2}{180}) = 1$
$y×\frac{5}{180} = 1$
$y = 36$
因此，甲、乙两队合作完成这项工程需要36天，需要的施工费用为：
$36 × (8.4 + 5.6) = 36 × 14 = 504(万元)$
$504＞500$，因此工程预算的施工费用不够用，需追加预算$504 - 500 = 4(万元)$。
答：拟定的施工预算不够用，需追加预算4万元。