在比例尺为1:8000的某学校地图上,矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm,矩形运动场的实际尺寸是多少?
答案
解：设矩形运动场的实际宽为$x\ \mathrm{cm}$，实际长为$y\ \mathrm{cm}$。
根据比例尺的定义，得
$\frac{1}{x}=\frac{1}{8000}$，解得$x=8000$，
$8000\mathrm{cm}=80\mathrm{m}$；
$\frac{2}{y}=\frac{1}{8000}$，解得$y=16000$，
$16000\mathrm{cm}=160\mathrm{m}$。
答：矩形运动场的实际尺寸是$80\mathrm{m}×160\mathrm{m}$。
根据比例尺的定义，得
$\frac{1}{x}=\frac{1}{8000}$，解得$x=8000$，
$8000\mathrm{cm}=80\mathrm{m}$；
$\frac{2}{y}=\frac{1}{8000}$，解得$y=16000$，
$16000\mathrm{cm}=160\mathrm{m}$。
答：矩形运动场的实际尺寸是$80\mathrm{m}×160\mathrm{m}$。
例1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{4}$,求$\dfrac{AC}{AB}$、$\dfrac{BC}{AB}$的值.
分析 由于各边的具体长度不知道,本题可以通过引入比值$k$的方法,借助代数运算求值.
解 根据$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{4}$,可设$AC=3k$,$BC=4k$ ($k＞0$).
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{9k^{2}+16k^{2}}=5k$.
所以$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3k}{5k}=\dfrac{3}{5}$,$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4k}{5k}=\dfrac{4}{5}$.
分析 由于各边的具体长度不知道,本题可以通过引入比值$k$的方法,借助代数运算求值.
解 根据$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{4}$,可设$AC=3k$,$BC=4k$ ($k＞0$).
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{9k^{2}+16k^{2}}=5k$.
所以$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3k}{5k}=\dfrac{3}{5}$,$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4k}{5k}=\dfrac{4}{5}$.
答案
解：
根据$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{4}$，设$AC=3k$，$BC=4k$（$k＞0$）。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=\sqrt{9k^2+16k^2}=\sqrt{25k^2}=5k$。
所以$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3k}{5k}=\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4k}{5k}=\dfrac{4}{5}$。
根据$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{4}$，设$AC=3k$，$BC=4k$（$k＞0$）。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=\sqrt{9k^2+16k^2}=\sqrt{25k^2}=5k$。
所以$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3k}{5k}=\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4k}{5k}=\dfrac{4}{5}$。
例2 求证:已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$,那么$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$.
证明 $\because \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$,
两边同加上1,得$\dfrac{a}{b}+1=\dfrac{c}{d}+1$.
$\boldsymbol{}$
证明 $\because \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$,
两边同加上1,得$\dfrac{a}{b}+1=\dfrac{c}{d}+1$.
$\boldsymbol{}$
答案
证明：$\because \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$,
两边同加上1,得$\dfrac{a}{b}+1=\dfrac{c}{d}+1$.
$\because 1=\dfrac{b}{b}$，$1=\dfrac{d}{d}$,
$\therefore \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}=\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{d}$,
$\therefore \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$.
两边同加上1,得$\dfrac{a}{b}+1=\dfrac{c}{d}+1$.
$\because 1=\dfrac{b}{b}$，$1=\dfrac{d}{d}$,
$\therefore \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}=\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{d}$,
$\therefore \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$.
1. 判断题:
(1)两条线段的比就是这两条线段的长度的比； ()
(2)线段$a=4\ \mathrm{cm}$,线段$b=9\ \mathrm{cm}$,它们的比例中项为36 cm； ()
(3)已知四条线段的长分别为2 cm、3 cm、4 cm、9 cm,那么这四条线段成比例；()
(4)把$ad=bc$改写成比例式,应为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}$. ()
(1)两条线段的比就是这两条线段的长度的比； ()
(2)线段$a=4\ \mathrm{cm}$,线段$b=9\ \mathrm{cm}$,它们的比例中项为36 cm； ()
(3)已知四条线段的长分别为2 cm、3 cm、4 cm、9 cm,那么这四条线段成比例；()
(4)把$ad=bc$改写成比例式,应为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}$. ()
答案
解：
(1) √
根据两条线段的比的定义，两条线段的比就是这两条线段长度的比（单位需统一），该说法符合定义。
(2) ×
设线段$a$、$b$的比例中项为$x\ \mathrm{cm}$，由比例中项的定义得$x^2=4×9=36$，解得$x=6$（线段长度为正数），故原说法错误。
(3) ×
将四条线段按从小到大排列为2 cm、3 cm、4 cm、9 cm，
因为$2×9=18$，$3×4=12$，$18≠12$，不满足成比例线段的条件，故原说法错误。
(4) ×
由$ad=bc$，根据比例的基本性质，可改写为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$（$b≠0,d≠0$），而$\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}$可推出$ac=bd$，与$ad=bc$不符，故原说法错误。
(1) √
根据两条线段的比的定义，两条线段的比就是这两条线段长度的比（单位需统一），该说法符合定义。
(2) ×
设线段$a$、$b$的比例中项为$x\ \mathrm{cm}$，由比例中项的定义得$x^2=4×9=36$，解得$x=6$（线段长度为正数），故原说法错误。
(3) ×
将四条线段按从小到大排列为2 cm、3 cm、4 cm、9 cm，
因为$2×9=18$，$3×4=12$，$18≠12$，不满足成比例线段的条件，故原说法错误。
(4) ×
由$ad=bc$，根据比例的基本性质，可改写为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$（$b≠0,d≠0$），而$\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}$可推出$ac=bd$，与$ad=bc$不符，故原说法错误。
(1)在矩形$ABCD$中,$AB=2$,$BC=1$,则$AB:BC=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$,$AB:AC=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$；
答案
解：
在矩形$ABCD$中，$∠ B=90°$，
$\because AB=2$，$BC=1$，
$\therefore AB:BC=2:1$；
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$\therefore AB:AC=2:\sqrt{5}=2\sqrt{5}:5$。
最终结论：$AB:BC=\boldsymbol{2:1}$，$AB:AC=\boldsymbol{2\sqrt{5}:5}$（或$\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$）
在矩形$ABCD$中，$∠ B=90°$，
$\because AB=2$，$BC=1$，
$\therefore AB:BC=2:1$；
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$\therefore AB:AC=2:\sqrt{5}=2\sqrt{5}:5$。
最终结论：$AB:BC=\boldsymbol{2:1}$，$AB:AC=\boldsymbol{2\sqrt{5}:5}$（或$\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$）
