7. 问题情境
已知矩形的面积为a(a为常数,$a＞0$),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?
数学模型
设该矩形的长为x,周长为y,则y与x之间的函数表达式为$y=2\left ( x+\frac{a}{x}\right )(x＞0)$.
探索研究
(1)我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数$y=x+\frac{1}{x}(x＞0)$的图像性质.
① 填写下表,画出函数的图像;


② 观察图像,写出该函数两条不同类型的性质.
解决问题
(2)用上述方法解决"问题情境"中的问题,直接写出答案.

解：
(1)①
当$x=\frac{1}{4}$时，$y=\frac{1}{4}+\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$；
当$x=\frac{1}{3}$时，$y=\frac{1}{3}+\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{10}{3}$；
当$x=\frac{1}{2}$时，$y=\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{5}{2}$；
当$x=1$时，$y=1+\frac{1}{1}=2$；
当$x=2$时，$y=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$；
当$x=3$时，$y=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$；
当$x=4$时，$y=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$；
填表如下：
| $x$ | $\dots$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|---------------|---------------|---------------|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $\frac{17}{4}$ | $\frac{10}{3}$ | $\frac{5}{2}$ | $2$ | $\frac{5}{2}$ | $\frac{10}{3}$ | $\frac{17}{4}$ | $\dots$ |
图像绘制：在平面直角坐标系中，描出上述各点，用平滑曲线连接即可。
② 性质1：当$0＜x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
性质2：当$x=1$时，函数$y=x+\frac{1}{x}(x＞0)$的最小值为$2$。
(2) 当矩形的长为$\sqrt{a}$时，周长最小，最小值为$4\sqrt{a}$。