3. 将长为20cm的铁丝剪成两段,并分别将每段铁丝围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.
答案
解：设其中一段铁丝的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一段长为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $，两个正方形的面积之和为$ S \, \mathrm{cm}^2 $。
由题意得：
$ S = ( \frac{x}{4} )^2 + ( \frac{20 - x}{4} )^2 $
化简得：
$ S = \frac{x^2}{16} + \frac{400 - 40x + x^2}{16} $
$ S = \frac{2x^2 - 40x + 400}{16} $
$ S = \frac{1}{8}x^2 - \frac{5}{2}x + 25 $
因为$ a = \frac{1}{8} ＞ 0 $，所以二次函数图象开口向上，有最小值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{5}{2}}{2 × \frac{1}{8}} = 10 $时，$ S $取得最小值，
将$ x = 10 $代入得：
$ S_{\mathrm{最小}} = ( \frac{10}{4} )^2 + ( \frac{20 - 10}{4} )^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{25}{2} = 12.5 $
答：这两个正方形面积之和的最小值为$ 12.5 \, \mathrm{cm}^2 $。
由题意得：
$ S = ( \frac{x}{4} )^2 + ( \frac{20 - x}{4} )^2 $
化简得：
$ S = \frac{x^2}{16} + \frac{400 - 40x + x^2}{16} $
$ S = \frac{2x^2 - 40x + 400}{16} $
$ S = \frac{1}{8}x^2 - \frac{5}{2}x + 25 $
因为$ a = \frac{1}{8} ＞ 0 $，所以二次函数图象开口向上，有最小值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{5}{2}}{2 × \frac{1}{8}} = 10 $时，$ S $取得最小值，
将$ x = 10 $代入得：
$ S_{\mathrm{最小}} = ( \frac{10}{4} )^2 + ( \frac{20 - 10}{4} )^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{25}{2} = 12.5 $
答：这两个正方形面积之和的最小值为$ 12.5 \, \mathrm{cm}^2 $。
4. 如图,某人从原点O处踢足球,足球的飞行路线是抛物线,可用二次函数$y=-\frac{1}{2}x^{2}+4x$的图像来表示,其中y(m)是垂直高度,x(m)是足球着地前与点O的水平距离.求足球飞行最高点B与地面的距离及足球落地点A与点O的水平距离.
答案
解：
1. 求足球飞行最高点B与地面的距离：
将二次函数$y=-\frac{1}{2}x^{2}+4x$配方，得：
$y=-\frac{1}{2}(x^2-8x)$
$y=-\frac{1}{2}(x^2-8x+16-16)$
$y=-\frac{1}{2}[(x-4)^2-16]$
$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+8$
因为$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，顶点$(4,8)$为最高点，
即足球飞行最高点B与地面的距离为8m。
2. 求足球落地点A与点O的水平距离：
令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x^{2}+4x=0$，
提取公因式得：$x(-\frac{1}{2}x+4)=0$，
解得$x_1=0$，对应原点O，$x_2=8$，
所以足球落地点A与点O的水平距离为8m。
答：足球飞行最高点B与地面的距离为8m，足球落地点A与点O的水平距离为8m。
1. 求足球飞行最高点B与地面的距离：
将二次函数$y=-\frac{1}{2}x^{2}+4x$配方，得：
$y=-\frac{1}{2}(x^2-8x)$
$y=-\frac{1}{2}(x^2-8x+16-16)$
$y=-\frac{1}{2}[(x-4)^2-16]$
$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+8$
因为$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，顶点$(4,8)$为最高点，
即足球飞行最高点B与地面的距离为8m。
2. 求足球落地点A与点O的水平距离：
令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x^{2}+4x=0$，
提取公因式得：$x(-\frac{1}{2}x+4)=0$，
解得$x_1=0$，对应原点O，$x_2=8$，
所以足球落地点A与点O的水平距离为8m。
答：足球飞行最高点B与地面的距离为8m，足球落地点A与点O的水平距离为8m。
5. 如图,已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像过$A(2,0)、B(0,-1)$和$C(4,5)$三点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一平面直角坐标系中画出一次函数$y=x+1$的图像,写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一平面直角坐标系中画出一次函数$y=x+1$的图像,写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
答案
解：
(1) 将$A(2,0)$、$B(0,-1)$、$C(4,5)$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}4a+2b+c=0 \\c=-1 \\16a+4b+c=5\end{cases}$
把$c=-1$代入另外两个方程，得：
$\begin{cases}4a+2b-1=0 \\16a+4b-1=5\end{cases}$
化简为：
$\begin{cases}4a+2b=1 \\8a+2b=3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入$4a+2b=1$，得$2+2b=1$，解得$b=-\frac{1}{2}$。
所以二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$。
(2) 令$y=0$，则$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1=0$，
两边同乘2得$x^2-x-2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
已知点$A(2,0)$，所以点$D$的坐标为$(-1,0)$。
(3) 画出一次函数$y=x+1$的图像（略）。
联立$\begin{cases}y=x+1 \\y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1\end{cases}$，
得$x+1=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$，
整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
结合图像可知，当$-1＜x＜4$时，一次函数的值大于二次函数的值。
(1) 将$A(2,0)$、$B(0,-1)$、$C(4,5)$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}4a+2b+c=0 \\c=-1 \\16a+4b+c=5\end{cases}$
把$c=-1$代入另外两个方程，得：
$\begin{cases}4a+2b-1=0 \\16a+4b-1=5\end{cases}$
化简为：
$\begin{cases}4a+2b=1 \\8a+2b=3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入$4a+2b=1$，得$2+2b=1$，解得$b=-\frac{1}{2}$。
所以二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$。
(2) 令$y=0$，则$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1=0$，
两边同乘2得$x^2-x-2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
已知点$A(2,0)$，所以点$D$的坐标为$(-1,0)$。
(3) 画出一次函数$y=x+1$的图像（略）。
联立$\begin{cases}y=x+1 \\y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1\end{cases}$，
得$x+1=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$，
整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
结合图像可知，当$-1＜x＜4$时，一次函数的值大于二次函数的值。
6. 如图,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去四个全等的等腰直角三角形(图中阴影部分),再沿虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知点E、F在边AB上,且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设$AE=BF=x\ \mathrm{cm}$.
(1)若折成的包装盒恰好是立方体,试求该包装盒的体积V;
(2)要使该包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,x应取何值?
(1)若折成的包装盒恰好是立方体,试求该包装盒的体积V;
(2)要使该包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,x应取何值?
答案
解：
(1) 设折成的立方体的棱长为$a$，
由题意可知，等腰直角三角形的直角边长为$a$，斜边长为$a\sqrt{2}$，且$AE=BF=x=a$。
因为正方形边长为$24\mathrm{cm}$，所以$2x + a\sqrt{2}=24$，
将$x=a$代入得：$2a + a\sqrt{2}=24$，
解得$a=\frac{24}{2+\sqrt{2}}=12(2-\sqrt{2})$，
则包装盒的体积$V=a^3=[12(2-\sqrt{2})]^3=34560-24192\sqrt{2}\ (\mathrm{cm}^3)$。
(2) 设包装盒的表面（不含下底面）面积为$S$，
由题意，包装盒的侧面为长方形，长为$\frac{24-2x}{\sqrt{2}}$，宽为$x\sqrt{2}$，
则$S=4× x×\frac{24-2x}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}x(12-x)=-4\sqrt{2}x^2+48\sqrt{2}x$，
因为$-4\sqrt{2}＜0$，二次函数开口向下，
当$x=-\frac{48\sqrt{2}}{2×(-4\sqrt{2})}=6$时，$S$取得最大值。
答：(1) 该包装盒的体积为$(34560-24192\sqrt{2})\ \mathrm{cm}^3$；
(2) 当$x=6$时，包装盒的表面（不含下底面）面积最大。
(1) 设折成的立方体的棱长为$a$，
由题意可知，等腰直角三角形的直角边长为$a$，斜边长为$a\sqrt{2}$，且$AE=BF=x=a$。
因为正方形边长为$24\mathrm{cm}$，所以$2x + a\sqrt{2}=24$，
将$x=a$代入得：$2a + a\sqrt{2}=24$，
解得$a=\frac{24}{2+\sqrt{2}}=12(2-\sqrt{2})$，
则包装盒的体积$V=a^3=[12(2-\sqrt{2})]^3=34560-24192\sqrt{2}\ (\mathrm{cm}^3)$。
(2) 设包装盒的表面（不含下底面）面积为$S$，
由题意，包装盒的侧面为长方形，长为$\frac{24-2x}{\sqrt{2}}$，宽为$x\sqrt{2}$，
则$S=4× x×\frac{24-2x}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}x(12-x)=-4\sqrt{2}x^2+48\sqrt{2}x$，
因为$-4\sqrt{2}＜0$，二次函数开口向下，
当$x=-\frac{48\sqrt{2}}{2×(-4\sqrt{2})}=6$时，$S$取得最大值。
答：(1) 该包装盒的体积为$(34560-24192\sqrt{2})\ \mathrm{cm}^3$；
(2) 当$x=6$时，包装盒的表面（不含下底面）面积最大。
