例1 一条隧道的截面如图5-17所示,它的上部是一个以AD为直径的半圆O,下部是一个矩形ABCD.已知矩形ABCD相邻两边之和为8m,半圆O的半径为r m.求隧道截面的面积S($\mathrm{m}^{2}$)与半径r(m)之间的函数表达式.
分析 根据题意,隧道截面的面积S由两部分构成,可以用含r的代数式分别表示两部分的面积.
解 $\because AD=2r,AD+CD=8$,
$\therefore CD=8-AD=8-2r$.
$\therefore S=\frac{1}{2}π r^{2}+AD· CD=\frac{1}{2}π r^{2}+2r(8-2r)$.
$\therefore S=\left ( \frac{1}{2}π -4\right )r^{2}+16r$.

解：
∵ 半圆O的半径为r m，
∴ AD = 2r m.
∵ 矩形ABCD相邻两边之和为8m，即AD + CD = 8，
∴ CD = 8 - AD = 8 - 2r.
$S=\frac{1}{2}π r^{2}+AD· CD$
$=\frac{1}{2}π r^{2}+2r(8-2r)$
$=\left ( \frac{1}{2}π -4\right )r^{2}+16r$.

例2 行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用,会继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为"刹车距离".某型号汽车在高速公路上的刹车距离y(m)与车速x(km/h)之间有如下的函数表达式:$y=0.002x^{2}+0.01x$.现该车在高速公路上出了交通事故,测得其刹车距离是35.1m.已知该段高速公路限速120km/h,请推测刹车前该汽车是否超速.
分析 只要令$y=35.1$,求出x的值,比较这个值是否超过120即可.
解 当$y=35.1$时,$35.1=0.002x^{2}+0.01x$.
解得$x_{1}=130,x_{2}=-135$(舍去).
该汽车的速度是130km/h.因为130＞120,所以刹车前该汽车超速行驶.

解：
当$y=35.1$时，
$35.1=0.002x^{2}+0.01x$，
整理得$x^{2}+5x - 17550=0$，
解得$x_{1}=130$，$x_{2}=-135$（舍去）。
因为$130＞120$，
所以刹车前该汽车超速行驶。

1. 在一定条件下,物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的函数表达式为$s=5t^{2}+2t$,当$t=4\ \mathrm{s}$时,该物体所经过的路程为().
A. 28 m
B. 48 m
C. 68 m
D. 88 m

解：
当$ t=4 $时，
$ s=5×4^{2}+2×4 $
$ =5×16+8 $
$ =80+8 $
$ =88(\mathrm{m}) $
故选D。

2. 如图,在一个足够长的斜坡顶端放置钢珠,钢珠会沿斜坡滚落.已知钢珠在斜坡的滚动距离s(单位:m)与滚动时间t(单位:s)之间的关系可以用$s=\frac{3}{4}t^{2}$表示.在斜坡顶端每隔1s就释放一颗钢珠,当斜面足够长时,第1颗钢珠出发多长时间后会和第2颗钢珠相距3m?

解：设第1颗钢珠出发$ t $秒后与第2颗钢珠相距3m，此时第2颗钢珠滚动的时间为$(t-1)$秒。
根据题意，得：
$\frac{3}{4}t^2 - \frac{3}{4}(t-1)^2 = 3$
化简方程：
$\frac{3}{4}[t^2 - (t^2 - 2t + 1)] = 3$
$\frac{3}{4}(2t - 1) = 3$
$3(2t - 1) = 12$
$2t - 1 = 4$
$2t = 5$
$t = 2.5$
答：第1颗钢珠出发2.5s后会和第2颗钢珠相距3m。