5. 分别求下列函数的图像与x轴的交点坐标.
(1) $y=4-x^{2}$; (2) $y=(x+3)^{2}-4$.

解：
(1) 令$y=0$，则$4-x^{2}=0$，
即$x^{2}=4$，
解得$x=2$或$x=-2$，
∴函数$y=4-x^{2}$的图像与x轴的交点坐标为$(2,0)$，$(-2,0)$。
(2) 令$y=0$，则$(x+3)^{2}-4=0$，
移项得$(x+3)^{2}=4$，
开平方得$x+3=2$或$x+3=-2$，
解得$x=-1$或$x=-5$，
∴函数$y=(x+3)^{2}-4$的图像与x轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(-5,0)$。

6. 说明二次函数$y=\frac{1}{3}(x-1)^{2}$、$y=\frac{1}{3}(x-1)^{2}+4$的图像是由二次函数$y=\frac{1}{3}x^{2}$的图像通过怎样平移得到的.

解：
1. 对于二次函数$y=\frac{1}{3}(x-1)^{2}$：
将$y=\frac{1}{3}x^{2}$的图像向右平移1个单位长度，即可得到$y=\frac{1}{3}(x-1)^{2}$的图像。
2. 对于二次函数$y=\frac{1}{3}(x-1)^{2}+4$：
先将$y=\frac{1}{3}x^{2}$的图像向右平移1个单位长度，得到$y=\frac{1}{3}(x-1)^{2}$的图像；再将所得图像向上平移4个单位长度，即可得到$y=\frac{1}{3}(x-1)^{2}+4$的图像。

7. 能否通过左右平移函数$y=2x^{2}$的图像,使得到的新的图像过点$(4,0)$?如果能,说出平移的方向和距离;如果不能,说明理由.

解：设平移后的函数解析式为$y=2(x-h)^2$。
将点$(4,0)$代入解析式得：
$0=2(4-h)^2$
化简得：$(4-h)^2=0$
解得：$h=4$
答：能，将函数$y=2x^2$的图像向右平移4个单位，得到的新图像过点$(4,0)$。

8. 画出二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x+\frac{3}{2}$的图像,并观察图像,回答下列问题:
(1) 当x在什么范围内取值时,函数的图像在x轴的下方?
(2) 当x在什么范围内取值时,函数值y随x的增大而减小?

解：
1. 将二次函数配方：
$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x+\frac{3}{2}$
$=\frac{1}{2}(x^2+4x)+\frac{3}{2}$
$=\frac{1}{2}[(x+2)^2-4]+\frac{3}{2}$
$=\frac{1}{2}(x+2)^2-\frac{1}{2}$
可得顶点坐标为$(-2, -\frac{1}{2})$，对称轴为直线$x=-2$。
2. 求与x轴的交点：
令$y=0$，则$\frac{1}{2}x^{2}+2x+\frac{3}{2}=0$，
两边乘2得$x^2+4x+3=0$，
因式分解得$(x+3)(x+1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=-1$，
即与x轴交点为$(-3,0)$，$(-1,0)$。
3. 求与y轴的交点：
令$x=0$，得$y=\frac{3}{2}$，即交点为$(0, \frac{3}{2})$。
（根据上述关键点画出二次函数图像）
(1) 观察图像可知，当$-3 ＜ x ＜ -1$时，函数的图像在x轴的下方。
(2) 因为$a=\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$，
所以当$x ＜ -2$时，函数值y随x的增大而减小。

9. 已知函数$y=mx^{2}-4x+2$(m是常数).
(1) 求证:不论m为何值,该函数的图像都经过y轴上的一个定点;
(2) 若该函数的图像与x轴只有一个交点,求m的值.

(1) 证明：
当$x=0$时，$y=m·0^2 -4·0 +2=2$，
∴不论$m$为何值，该函数的图像都经过y轴上的定点$(0,2)$。
(2) 解：
①当$m=0$时，函数解析式为$y=-4x+2$，
令$y=0$，得$-4x+2=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，
此时函数图像与x轴只有一个交点，符合题意；
②当$m≠0$时，函数为二次函数，
∵函数图像与x轴只有一个交点，
∴判别式$\Delta=(-4)^2 -4× m×2=0$，
即$16-8m=0$，解得$m=2$。
综上，$m$的值为$0$或$2$。