一、选择题
1. 已知方程 $ x^{2}-7x + 15 = k $ 的一个根是 2，则 $ k $ 的值是().
A.$-5$
B.$5$
C.$-3$
D.$-11$

1. B

将$x=2$代入方程$x^{2}-7x + 15 = k$，得：$2^{2}-7×2 + 15 = k$，计算得$4 - 14 + 15 = k$，即$k=5$。
B

2. 以下关于 $ x $ 的一元二次方程中，有一个根为 $-1$ 的方程是().
① $ 4x^{2}-3x = 0 $；
② $ 5x^{2}-x - 6 = 0 $；
③ $ x - 1 = kx^{2}-k $；
④ $ (k^{2}+1)x^{2}+2x + 1 = k^{2} $.

A.①和②
B.②和③
C.②和④
D.③和④

2. C

①将$x=-1$代入$4x^{2}-3x$，得$4×(-1)^{2}-3×(-1)=4 + 3=7≠0$，不是方程的根。
②将$x=-1$代入$5x^{2}-x - 6$，得$5×(-1)^{2}-(-1)-6=5 + 1 - 6=0$，是方程的根。
③方程$x - 1 = kx^{2}-k$整理为$kx^{2}-x + ( -k + 1)=0$，将$x=-1$代入，得$k×(-1)^{2}-(-1)+(-k + 1)=k + 1 - k + 1=2≠0$，不是方程的根。
④方程$(k^{2}+1)x^{2}+2x + 1 = k^{2}$整理为$(k^{2}+1)x^{2}+2x + (1 - k^{2})=0$，将$x=-1$代入，得$(k^{2}+1)×(-1)^{2}+2×(-1)+(1 - k^{2})=k^{2}+1 - 2 + 1 - k^{2}=0$，是方程的根。
综上，有一个根为$-1$的方程是②和④，答案选C。

3. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+ax + b = 0 $ 有一个非零根 $ b $，则 $ a + b $ 的值为().

A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.$-2$

3. B

因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}+ax + b = 0$有一个非零根$b$，所以将$x = b$代入方程得：$b^{2}+ab + b = 0$。
由于$b≠0$，方程两边同时除以$b$，得$b + a + 1 = 0$，即$a + b=-1$。
答案：B

二、填空题
4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - \sqrt{5})x^{2}+3x + m^{2}-5 = 0 $ 的一个根是 0，则 $ m = $.

4. $-\sqrt{5}$

将$x=0$代入方程$(m - \sqrt{5})x^{2}+3x + m^{2}-5 = 0$，得$m^{2}-5=0$，解得$m = \sqrt{5}$或$m=-\sqrt{5}$。
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$m - \sqrt{5}≠0$，即$m≠\sqrt{5}$，故$m=-\sqrt{5}$。
$-\sqrt{5}$

5. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + 1 = 0 $ 有一个根为 $-2$，则代数式 $ \frac{2b - 1}{a} $ 的值为.

5. 4

解：因为关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + 1 = 0$有一个根为$-2$，所以将$x=-2$代入方程可得：$a×(-2)^{2}+b×(-2)+1=0$，即$4a - 2b + 1 = 0$。
移项可得：$4a - 2b = -1$，两边同时除以$a$（$a≠0$，因为是一元二次方程）得：$4 - \frac{2b}{a} = -\frac{1}{a}$，移项整理得：$\frac{2b}{a} = 4 + \frac{1}{a}$，两边同时减去$\frac{1}{a}$得：$\frac{2b - 1}{a} = 4$。
故答案为$4$。

6. 已知 $ a $ 是方程 $ x^{2}-3x - 2 = 0 $ 的一个根，则代数式 $ a^{3}-2a^{2}-5a + 3 $ 的值为.

6. 5

解：因为$a$是方程$x^{2}-3x - 2 = 0$的一个根，所以$a^{2}-3a - 2 = 0$，即$a^{2}=3a + 2$。
$a^{3}-2a^{2}-5a + 3$
$=a· a^{2}-2a^{2}-5a + 3$
$=a(3a + 2)-2a^{2}-5a + 3$
$=3a^{2}+2a - 2a^{2}-5a + 3$
$=(3a^{2}-2a^{2})+(2a - 5a)+3$
$=a^{2}-3a + 3$
又因为$a^{2}-3a = 2$，所以$a^{2}-3a + 3=2 + 3=5$。
5

三、解答题
7. 分别判别 $-3$，$2$，$\frac{2}{3}$ 是不是一元二次方程 $ 2x^{2}+5x - 5 = 1 - 2x - x^{2} $ 的根.

7. $-3$和$\frac{2}{3}$是原方程的根，2不是原方程的根

将$x=-3$代入方程左边：$2×(-3)^2 + 5×(-3)-5=2×9 - 15 - 5=18 - 15 - 5=-2$，右边：$1 - 2×(-3)-(-3)^2=1 + 6 - 9=-2$，左边=右边，所以$-3$是原方程的根；
将$x=2$代入方程左边：$2×2^2 + 5×2 - 5=8 + 10 - 5=13$，右边：$1 - 2×2 - 2^2=1 - 4 - 4=-7$，左边≠右边，所以$2$不是原方程的根；
将$x=\frac{2}{3}$代入方程左边：$2×(\frac{2}{3})^2 + 5×\frac{2}{3}-5=2×\frac{4}{9}+\frac{10}{3}-5=\frac{8}{9}+\frac{30}{9}-\frac{45}{9}=-\frac{7}{9}$，右边：$1 - 2×\frac{2}{3}-(\frac{2}{3})^2=1 - \frac{4}{3}-\frac{4}{9}=\frac{9}{9}-\frac{12}{9}-\frac{4}{9}=-\frac{7}{9}$，左边=右边，所以$\frac{2}{3}$是原方程的根。
综上，$-3$和$\frac{2}{3}$是原方程的根，$2$不是原方程的根。