17. 如图所示,在Rt△ABC中,∠CAB= 90°,$\cos C= \frac{4}{5}$,AC= 12,BD平分∠CBA交AC边于点D. 求：
(1)线段AB的长.
(2)$\tan\angle DBA$的值.

(1)解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，
$\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$，AC=12，
设AC=4k=12，则k=3，BC=5k=15，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$。
(2)解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵BD平分∠CBA，∠CAB=90°，
∴AD=DE，
设AD=DE=x，则CD=AC-AD=12-x，
在Rt△CDE中，$\cos C=\frac{CE}{CD}=\frac{4}{5}$，
∴CE=$\frac{4}{5}$CD=$\frac{4}{5}$(12-x)，
由勾股定理得，DE^2+CE^2=CD^2，
即x^2+[$\frac{4}{5}$(12-x)]^2=(12-x)^2，
解得x=3，
∴AD=3，
∵AB=9，
∴$\tan\angle DBA=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。

18. 如图所示,一次函数$y= -\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}与反比例函数y= \frac{k}{x}$(k为常数,k≠0)的图象相交于A(1,m),B(4,n)两点.
(1)求m,n,k的值.
(2)当1＜x＜4时,对于x的每一个值,函数$y= -\frac{1}{2}x+p$(p为常数)的值大于函数$y= \frac{2}{x}$的值,请直接写出p的取值范围.

【解析】：本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题以及根据函数值大小关系求参数范围。
（1）求$m$，$n$，$k$的值：
已知点$A(1,m)$，$B(4,n)$在一次函数$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$的图象上，将点$A$的横坐标$x = 1$代入一次函数$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$中，可得$m = -\frac{1}{2}×1 + \frac{5}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}= 2$。
将点$B$的横坐标$x = 4$代入一次函数$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$中，可得$n = -\frac{1}{2}×4 + \frac{5}{2}=-2+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$。
因为点$A(1,2)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，将点$A$的坐标代入反比例函数中，可得$2 = \frac{k}{1}$，解得$k = 2$。
（2）求$p$的取值范围：
当$1\lt x\lt4$时，函数$y = -\frac{1}{2}x + p$的值大于函数$y = \frac{2}{x}$的值，即$-\frac{1}{2}x + p\gt\frac{2}{x}$。
变形可得$p\gt\frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$。
设$y=\frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$，$1\lt x\lt4$，对$y=\frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$求最小值。
根据均值不等式$a+b\geq2\sqrt{ab}$（$a\gt0$，$b\gt0$，当且仅当$a = b$时等号成立），对于$y=\frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$，其中$a = \frac{1}{2}x$，$b = \frac{2}{x}$，则$y=\frac{1}{2}x + \frac{2}{x}\geq2\sqrt{\frac{1}{2}x×\frac{2}{x}} = 2$，当且仅当$\frac{1}{2}x = \frac{2}{x}$，即$x = 2$时等号成立。
分别计算$x = 1$和$x = 4$时$y$的值：
当$x = 1$时，$y=\frac{1}{2}×1 + \frac{2}{1}=\frac{1}{2}+ 2=\frac{5}{2}$。
当$x = 4$时，$y=\frac{1}{2}×4 + \frac{2}{4}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
所以当$1\lt x\lt4$时，$y=\frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$的最大值为$\frac{5}{2}$。
因为$p\gt\frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$在$1\lt x\lt4$时恒成立，所以$p\geq\frac{5}{2}$。
【答案】：
(1)$m = 2$，$n = \frac{1}{2}$，$k = 2$；
(2)$p\geq\frac{5}{2}$。