2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版第80页答案
【变式2】如图，$ BD $ 与 $ CE $ 相交于点 $ A $，且 $ AB = AC $，$ AD = AE $，$ \triangle ABC $ 的中线 $ AG $ 的反向延长线交 $ DE $ 于点 $ F $，则 $ AF $ 与 $ DE $ 垂直吗？为什么？

答案

AF⊥DE。理由如下：
1. ∵AB=AC，AG是△ABC的中线，∴AG⊥BC，∠BAG=∠CAG（等腰三角形三线合一）。
2. 设∠BAG=∠CAG=α，则∠BAC=2α。
3. ∵BD与CE交于点A，∴∠DAE=∠BAC=2α（对顶角相等）。
4. ∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形。
5. ∵AG反向延长得AF，∴F、A、G共线，∠DAF=∠EAF=α（AF平分∠DAE）。
6. ∵△ADE是等腰三角形，AF是顶角平分线，∴AF⊥DE（等腰三角形三线合一）。
综上，AF与DE垂直。
1. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是从电线杆 $ DE $ 上一点 $ A $ 往地面拉两根长度相等的固定绳 $ AB $ 和 $ AC $，当固定点 $ B $，$ C $ 到电线杆底部 $ E $ 的距离相等，点 $ B $，$ E $，$ C $ 在同一条直线上时，电线杆 $ DE $ 就垂直于 $ BC $，工程人员这种操作方法的依据是(
).


A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形的“三线合一”
D.$ DE $ 是 $ BC $ 的垂直平分线

答案

C

解析

因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。又因为BE=CE，即E是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合，所以AE⊥BC，即DE⊥BC。
2. 如图，已知 $ AB // CD $，$ AC = BC $，若 $ \angle 1 = 70^{\circ} $，则 $ \angle 2 $ 的度数为(
).

A.$ 40^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 50^{\circ} $
D.$ 55^{\circ} $

答案

A

解析

∵AB//CD，∠1=70°，∴∠CAB=∠1=70°（两直线平行，同位角相等）。∵AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=70°（等边对等角）。在△ABC中，∠2=180°-∠CAB-∠CBA=180°-70°-70°=40°。
3. 已知等腰三角形有两边长为 $ 5 $，$ 10 $，则这个三角形的周长为(
).

A.$ 15 $
B.$ 20 $
C.$ 25 $
D.$ 20 $ 或 $ 25 $

答案

C

解析

当腰长为 $5$ 时，三边为 $5$，$5$，$10$。因为 $5 + 5 = 10$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形。当腰长为 $10$ 时，三边为 $10$，$10$，$5$，$5 + 10＞10$，能构成三角形，此时周长为 $10 + 10 + 5 = 25$。
4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，点 $ D $ 是边 $ BC $ 上的中点，$ \angle BAC = 66^{\circ} $，则 $ \angle BAD = $
.

答案

33°

解析

在△ABC中，AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。因为点D是边BC上的中点，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合），AD平分∠BAC。已知∠BAC=66°，所以∠BAD=∠BAC÷2=66°÷2=33°。
5. 如图，已知 $ AB = AD $，$ BD $ 平分 $ \angle ABC $. 求证：$ AD // BC $.

答案

证明：
∵ $ AB = AD $，
∴ $ \angle ABD = \angle ADB $（等边对等角）。
∵ $ BD $ 平分 $ \angle ABC $，
∴ $ \angle ABD = \angle DBC $（角平分线定义）。
∴ $ \angle ADB = \angle DBC $（等量代换）。
∴ $ AD // BC $（内错角相等，两直线平行）。