1. 等腰三角形的定义
有相等的三角形是等腰三角形.

两边

根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质
(1) 等腰三角形的两个底角相等(简写成“”).
(2) 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“”).

(1)等边对等角；(2)三线合一。

(1) 等腰三角形的性质1是描述等腰三角形两个底角的关系。根据等腰三角形的定义，等腰三角形是有两边长度相等的三角形，这两边所对的两个角称为底角，它们的大小是相等的。简写成“等边对等角”。
(2) 等腰三角形的性质2是描述等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线的关系。在等腰三角形中，底边上的中线、底边上的高及顶角的平分线是重合的。简写成“三线合一”。

3. 等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的是它的对称轴.

轴对称；直线

根据等腰三角形的性质，等腰三角形沿着底边上的中线（或顶角的平分线、底边上的高）所在的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。

【例1】如图，已知 $ AB = AC = AD $，且 $ AD // BC $. 求证：$ \angle C = 2 \angle D $.

证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C（等边对等角）.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D（等边对等角）.
∵AD//BC，
∴∠D=∠DBC（两直线平行，内错角相等）.
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D.
又∵∠ABC=∠C，
∴∠C=2∠D.

【变式1】如图，直线 $ l_1 // l_2 $，$ Rt \triangle ABC $ 的直角顶点 $ B $ 在直线 $ l_2 $ 上，$ AC $，$ BC $ 分别交直线 $ l_1 $ 于点 $ D $，$ E $. 若 $ \angle C = 38^{\circ} $，$ DE = CE $，则 $ \angle 1 $ 的度数是().


A.$ 14^{\circ} $
B.$ 16^{\circ} $
C.$ 18^{\circ} $
D.$ 24^{\circ} $

A

在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$\angle C=38^{\circ}$。
因为$DE=CE$，所以$\triangle DEC$是等腰三角形，$\angle CDE=\angle C=38^{\circ}$（等边对等角）。
在$\triangle DEC$中，$\angle DEC=180^{\circ}-\angle C-\angle CDE=180^{\circ}-38^{\circ}-38^{\circ}=104^{\circ}$。
由于$\angle DEC$与$\angle BED$是邻补角，所以$\angle BED=180^{\circ}-\angle DEC=180^{\circ}-104^{\circ}=76^{\circ}$。
因为$l_1// l_2$，$BE$为截线，所以$\angle BED=\angle ABE$（内错角相等），即$\angle ABE=76^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle 1=\angle ABC-\angle ABE=90^{\circ}-76^{\circ}=14^{\circ}$。

【例2】如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle BAC = 40^{\circ} $，$ AD $ 是边 $ BC $ 上的高. 线段 $ AC $ 的垂直平分线交 $ AD $ 于点 $ E $，交 $ AC $ 于点 $ F $，连接 $ BE $.
(1) $ \angle BAD $ 的度数为；$ \angle ABC $ 的度数为；$ \angle ACB $ 的度数为.
(2) 试问：线段 $ AE $ 与 $ BE $ 的长相等吗？请说明理由.
(3) 求 $ \angle EBD $ 的度数.

(1) 20°；70°；70°
(2) AE=BE。理由：EF垂直平分AC，∴EA=EC。∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC。在△BDE和△CDE中，BD=DC，∠BDE=∠CDE=90°，DE=DE，∴△BDE≌△CDE(SAS)，∴BE=EC。∵EA=EC，∴AE=BE。
(3) 50°