1. 等腰三角形的一个底角是 $ 70^{\circ} $，则这个等腰三角形顶角的度数为().

A.$ 20^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 110^{\circ} $

B

等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为 $70°$，则另一个底角也为 $70°$。
根据三角形内角和为 $180°$，顶角的度数为：
$180° - 70° - 70° = 40°$。

2. 某城市几条道路的位置关系如图，道路 $ AB // CD $，道路 $ AB $ 与 $ AE $ 的夹角 $ \angle BAE = 50^{\circ} $. 城市规划部门想新修一条道路 $ CE $，要求 $ CF = EF $，则 $ \angle E $ 的度数为().

A.$ 23^{\circ} $
B.$ 25^{\circ} $
C.$ 27^{\circ} $
D.$ 30^{\circ} $

B

因为 $ AB // CD $，所以 $ \angle DFE = \angle BAE = 50^{\circ} $（两直线平行，同位角相等）。又因为 $ CF = EF $，所以 $ \triangle CFE $ 是等腰三角形，$ \angle E = \angle C $。由于 $ \angle DFE $ 是 $ \triangle CFE $ 的外角，所以 $ \angle DFE = \angle E + \angle C = 2\angle E $。因此，$ \angle E = \frac{1}{2}\angle DFE = \frac{1}{2} × 50^{\circ} = 25^{\circ} $。

3. 如图，$ AC $ 和 $ BD $ 相交于点 $ O $，$ AB // CD $，$ OA = OB $. 求证：$ \angle C = \angle D $.

证明：
由于 $OA = OB$，
根据等腰三角形的性质，可得：$\angle OAB = \angle OBA$，
因为$AB// CD$，
根据平行线的性质，可得：$\angle OAB = \angle C$，$\angle OBA = \angle D$，
由于$\angle OAB = \angle OBA$，
所以$\angle C = \angle D$。

4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ D $ 是 $ BC $ 的中点，下列结论中不正确的是().

A.$ \angle B = \angle C $
B.$ AD \perp BC $
C.$ AD $ 平分 $ \angle BAC $
D.$ AB = 2BD $

D

选项A：等腰三角形的底角相等，即 $\angle B = \angle C$，正确。
选项B：等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合，即 $AD \perp BC$，正确。
选项C：等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合，即 $AD$ 平分 $\angle BAC$，正确。
选项D：$AB$ 是等腰三角形的腰，$BD$ 是底边的一半，没有理由表明 $AB$ 是 $BD$ 的2倍，错误。

5. 已知 $ AF $ 是等腰三角形 $ ABC $ 底边 $ BC $ 上的高，若点 $ F $ 到直线 $ AB $ 的距离为 $ 3 $，则点 $ F $ 到直线 $ AC $ 的距离为().

A.$ \frac{3}{2} $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ \frac{7}{2} $

C

设等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，$AF$是底边$BC$上的高。
根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高也是顶角$\angle BAC$的角平分线。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点$F$到直线$AB$的距离为$3$，由于$AF$是$\angle BAC$的角平分线，所以点$F$到直线$AC$的距离也等于$3$。

6. 如图，已知在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle BAC = 80^{\circ} $，$ AD \perp BC $，$ AD = AB $，连接 $ BD $ 并延长，交 $ AC $ 的延长线于点 $ E $，求 $ \angle ADE $ 的度数.

∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-80°)/2=50°（等腰三角形两底角相等）。
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAD=∠CAD=80°/2=40°，∠ADB=90°（垂直定义）。
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB（等腰三角形两底角相等）。
在△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠ABD=∠ADB=(180°-40°)/2=70°。
∵∠ADB=70°，∠ADB+∠ADE=180°（平角定义），
∴∠ADE=180°-70°=110°。
答案：∠ADE=110°

7. 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ CA = CB $，过点 $ A $ 作 $ \triangle ABC $ 的高 $ AD $. 若 $ \angle ACD = 30^{\circ} $，则这个三角形的底角与顶角的度数比为().

A.$ 2:5 $ 或 $ 10:1 $
B.$ 1:10 $
C.$ 5:2 $
D.$ 5:2 $ 或 $ 1:10 $

D

在等腰△ABC中，CA=CB，点C为顶点，AD是过点A的高，需分两种情况讨论：
情况1：AD是BC边上的高（D在BC上，△ABC为锐角三角形）
此时AD⊥BC，∠ADC=90°，∠ACD=30°（即顶角∠ACB=30°）。
底角∠CAB=∠CBA=(180°-30°)/2=75°。
底角与顶角的比为75°:30°=5:2。
情况2：AD是BC延长线上的高（D在BC延长线上，△ABC为钝角三角形）
此时AD⊥CD（D在BC延长线），∠ADC=90°，∠ACD=30°，则顶角∠ACB=180°-30°=150°。
底角∠CAB=∠CBA=(180°-150°)/2=15°。
底角与顶角的比为15°:150°=1:10。
综上，底角与顶角的度数比为5:2或1:10。

8. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，以点 $ B $ 为圆心，$ BA $ 长为半径画弧交边 $ BC $ 于点 $ D $，连接 $ AD $，$ \angle B = 40^{\circ} $，$ \angle C = 36^{\circ} $，则 $ \angle DAC $ 的度数是.

34°

在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-36°=104°。由作图知BA=BD，故△ABD为等腰三角形，∠BAD=∠ADB=(180°-∠B)/2=(180°-40°)/2=70°。则∠DAC=∠BAC-∠BAD=104°-70°=34°。

9. (2025 昆明西山区期中)一个等腰三角形的三边长分别为 $ 2x - 1 $，$ x + 1 $，$ 3x - 2 $，该等腰三角形的周长是.

存在三种情况：
1.假设$2x - 1 = x + 1$：
解得$x = 2$。
此时三边长为：
$2x - 1 = 3$
$x + 1 = 3$
$3x - 2 = 4$
验证三边关系：
$3 + 3 ＞ 4$，$3 + 4 ＞ 3$，$3 + 4 ＞ 3$，满足三角形三边关系。
周长为：
$3 + 3 + 4 = 10$
2.假设$2x - 1 = 3x - 2$：
解得$x = 1$。
此时三边长为：
$2x - 1 = 1$
$x + 1 = 2$
$3x - 2 = 1$
验证三边关系：
$1 + 1 = 2$，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），舍去。
3.假设$x + 1 = 3x - 2$：
解得$x = \frac{3}{2}$。
此时三边长为：
$2x - 1 = 2$
$x + 1 = \frac{5}{2}$
$3x - 2 = \frac{5}{2}$
验证三边关系：
$2 + \frac{5}{2} ＞ \frac{5}{2}$，$\frac{5}{2} + \frac{5}{2} ＞ 2$，$2 + \frac{5}{2} ＞ \frac{5}{2}$，满足三角形三边关系。
周长为：
$2 + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 7$
综上所述，该等腰三角形的周长为$10$或$7$。