10. 如图，$ \angle AOB $ 是一建筑钢架，$ \angle AOB = 10^{\circ} $，为了使钢架更加稳固，须在内部添加一些钢管 $ EF $，$ FG $，$ GH $，$ HM $，$ ··· $，添加的钢管的长度都与 $ OE $ 相等，则最多能添加这样的钢管根.

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因为添加的钢管长度都与OE相等，所以依次形成等腰三角形：
△OEF中，OE=EF，∠O=10°，底角∠EFO=10°，外角∠FEG=20°；
△EFG中，EF=FG，底角∠FGE=20°，外角∠GFH=30°；
同理，后续等腰三角形底角依次为30°、40°、50°、60°、70°、80°；
当底角为90°时，顶角为0°，无法构成三角形。
底角从10°递增至80°，共8个等腰三角形，即最多添加8根钢管。

11. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ D $ 在 $ BC $ 上，且 $ BD = AD $，$ DC = AC $，求 $ \angle C $ 的度数.

设$\angle B=x$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle C=\angle B=x$，
由$BD=AD$，知$\angle B=\angle BAD=x$，
$\therefore \angle ADC=\angle B+\angle BAD=2x$，
$\because DC=AC$，
$\therefore \angle ADC=\angle CAD=2x$，
$\therefore \angle BAC=\angle BAD+\angle DAC=3x$，
$\therefore x+x+3x=180^{\circ}$，
解得$x=36^{\circ}$，
$\therefore \angle C=36^{\circ} × 1（或\angle C= \frac{180^{\circ}}{5}）= 36^{\circ}$。
故$\angle C$的度数为$36^{\circ}$。

12. (推理能力)在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $.
(1) 如图(1)，若 $ \angle BAD = 30^{\circ} $，$ AD $ 是 $ BC $ 上的高，$ AD = AE $，则 $ \angle EDC = $.
(2) 如图(2)，若 $ \angle BAD = 40^{\circ} $，$ AD $ 是 $ BC $ 上的高，$ AD = AE $，则 $ \angle EDC = $.
(3) 你发现 $ \angle BAD $ 与 $ \angle EDC $ 之间有什么关系？请用式子表示：.
(4) 如图(3)，如果 $ AD $ 不是 $ BC $ 上的高，$ AD = AE $，是否仍有(3)中所述关系？若有，请说明理由.

15°；20°；∠EDC=1/2∠BAD；有

(1) ∵AB=AC，AD是BC上的高，∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°。∠BAD=30°，则∠DAE=30°。AD=AE，∴∠ADE=∠AED=(180°-30°)/2=75°。∠C=(180°-60°)/2=60°，∠AED=∠C+∠EDC，∴∠EDC=75°-60°=15°。
(2) 同理，∠BAD=40°，∠DAE=40°，∠ADE=∠AED=(180°-40°)/2=70°。∠C=(180°-80°)/2=50°，∠EDC=70°-50°=20°。
(3) 由(1)(2)得∠EDC=1/2∠BAD。
(4) 仍有。设∠BAD=α，∠EDC=x，∠B=∠C=β。∠AED=∠C+x=β+x，AD=AE，∠ADE=∠AED=β+x。∠ADC=∠BAD+∠B=α+β，∠ADC=∠ADE+∠EDC，即α+β=β+x+x，得x=α/2，故∠EDC=1/2∠BAD。