登录
1. 若 $ x = 3 $ 是分式方程 $ \frac{kx}{x - 1} - \frac{2k - 1}{x} = 2 $ 的解,则实数 $ k $ 的值为(
A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $
D
)A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $
答案
D
解析
将 $ x = 3 $ 代入分式方程 $ \frac{kx}{x - 1} - \frac{2k - 1}{x} = 2 $，得：$\frac{3k}{3 - 1} - \frac{2k - 1}{3} = 2$，即$\frac{3k}{2} - \frac{2k - 1}{3} = 2$。两边同乘6去分母，得$9k - 2(2k - 1) = 12$，化简得$9k - 4k + 2 = 12$，$5k = 10$，解得$k = 2$。
2. 下列说法正确的是(
A.形如 $ \frac{A}{B} $ 的式子叫分式
B.分式 $ \frac{m^{2} - m + 1}{m - 1} $ 不是最简分式
C.分式 $ \frac{2}{a^{2}b} $ 与 $ \frac{1}{ab} $ 的最简公分母是 $ a^{3}b^{2} $
D.当 $ x \neq 3 $ 时,分式 $ \frac{x}{x - 3} $ 有意义
D
)A.形如 $ \frac{A}{B} $ 的式子叫分式
B.分式 $ \frac{m^{2} - m + 1}{m - 1} $ 不是最简分式
C.分式 $ \frac{2}{a^{2}b} $ 与 $ \frac{1}{ab} $ 的最简公分母是 $ a^{3}b^{2} $
D.当 $ x \neq 3 $ 时,分式 $ \frac{x}{x - 3} $ 有意义
答案
D
解析
选项A：形如$\frac{A}{B}$的式子，当$B$中含有字母时才是分式，若$B$中不含有字母，则不是分式，所以该选项错误。
选项B：对于分式$\frac{m^{2}-m + 1}{m - 1}$，分子$m^{2}-m + 1$不能因式分解，且分子分母没有公因式，所以它是最简分式，该选项错误。
选项C：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母，分式$\frac{2}{a^{2}b}$与$\frac{1}{ab}$的最简公分母是$a^{2}b$，不是$a^{3}b^{2}$，所以该选项错误。
选项D：要使分式$\frac{x}{x - 3}$有意义，则分母$x - 3\neq0$，即$x\neq3$，所以当$x\neq3$时，分式$\frac{x}{x - 3}$有意义，该选项正确。
选项B：对于分式$\frac{m^{2}-m + 1}{m - 1}$，分子$m^{2}-m + 1$不能因式分解，且分子分母没有公因式，所以它是最简分式，该选项错误。
选项C：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母，分式$\frac{2}{a^{2}b}$与$\frac{1}{ab}$的最简公分母是$a^{2}b$，不是$a^{3}b^{2}$，所以该选项错误。
选项D：要使分式$\frac{x}{x - 3}$有意义，则分母$x - 3\neq0$，即$x\neq3$，所以当$x\neq3$时，分式$\frac{x}{x - 3}$有意义，该选项正确。
3. 下列各式中,计算正确的是(
A.$ (15x^{2}y - 5xy^{2}) ÷ 5xy = 3x - 5y $
B.$ 98 × 102 = (100 - 2) × (100 + 2) = 9996 $
C.$ \frac{x}{x + 3} - 1 = \frac{3}{x + 3} $
D.$ (3x + 1)(x - 2) = 3x^{2} + x - 2 $
B
)A.$ (15x^{2}y - 5xy^{2}) ÷ 5xy = 3x - 5y $
B.$ 98 × 102 = (100 - 2) × (100 + 2) = 9996 $
C.$ \frac{x}{x + 3} - 1 = \frac{3}{x + 3} $
D.$ (3x + 1)(x - 2) = 3x^{2} + x - 2 $
答案
B
解析
A. $(15x^{2}y - 5xy^{2}) ÷ 5xy = 15x^{2}y÷5xy - 5xy^{2}÷5xy = 3x - y$，A错误；
B. $98×102=(100 - 2)(100 + 2)=100^{2}-2^{2}=10000 - 4=9996$，B正确；
C. $\frac{x}{x + 3}-1=\frac{x}{x + 3}-\frac{x + 3}{x + 3}=\frac{x - (x + 3)}{x + 3}=\frac{-3}{x + 3}$，C错误；
D. $(3x + 1)(x - 2)=3x^{2}-6x + x - 2=3x^{2}-5x - 2$，D错误。
B. $98×102=(100 - 2)(100 + 2)=100^{2}-2^{2}=10000 - 4=9996$，B正确；
C. $\frac{x}{x + 3}-1=\frac{x}{x + 3}-\frac{x + 3}{x + 3}=\frac{x - (x + 3)}{x + 3}=\frac{-3}{x + 3}$，C错误；
D. $(3x + 1)(x - 2)=3x^{2}-6x + x - 2=3x^{2}-5x - 2$，D错误。
4. 除了通过分式的基本性质进行分式变形外,有时,只把分式 $ \frac{2a - h}{3b} $ 中的 $ a $,$ b $ 同时扩大为原来的 $ 2 $ 倍后,分式的值也不会变,则此时 $ h $ 的值可以是下列中的(
A.$ 2 $
B.$ \frac{b}{3} $
C.$ ab $
D.$ a^{2} $
B
)A.$ 2 $
B.$ \frac{b}{3} $
C.$ ab $
D.$ a^{2} $
答案
B
解析
原分式为 $ \frac{2a - h}{3b} $，将 $ a $ 和 $ b $ 同时扩大为原来的 2 倍，即 $ a \to 2a $，$ b \to 2b $，新分式为 $ \frac{4a - h'}{6b} $（其中 $ h' $ 为 $ h $ 扩大后的表达式）。
根据题意，分式的值不变，即：
$\frac{2a - h}{3b} = \frac{4a - h'}{6b}$
两边同乘 $ 6b $，得：
$2(2a - h) = 4a - h'$
化简得：
$4a - 2h = 4a - h'$
即 $ h' = 2h $。
逐一代入选项验证：
A：$ h = 2 $，则 $ h' = 4 $，但 $ h $ 是常数，不随 $ a, b $ 扩大而变化，不满足 $ h' = 2h $。
B：$ h = \frac{b}{3} $，则 $ h' = \frac{2b}{3} = 2h $，满足条件。
C：$ h = ab $，则 $ h' = 4ab \neq 2h $。
D：$ h = a^2 $，则 $ h' = 4a^2 \neq 2h $。
5. 已知 $ x^{2} - 4y^{2} = -3xy $,$ x ＞ 0 $,$ y ＞ 0 $,则 $ \frac{x + 3y}{x - 2y} = $(
A.$ \frac{1}{6} $
B.$ -4 $
C.$ \frac{7}{2} $
D.$ - \frac{2}{3} $
B
)A.$ \frac{1}{6} $
B.$ -4 $
C.$ \frac{7}{2} $
D.$ - \frac{2}{3} $
答案
B
解析
由$x^2 - 4y^2 = -3xy$，移项得$x^2 + 3xy - 4y^2 = 0$。因式分解得$(x + 4y)(x - y) = 0$。
因为$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，所以$x + 4y ＞ 0$，则$x - y = 0$，即$x = y$。
将$x = y$代入$\frac{x + 3y}{x - 2y}$，得$\frac{y + 3y}{y - 2y} = \frac{4y}{-y} = -4$。
因为$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，所以$x + 4y ＞ 0$，则$x - y = 0$，即$x = y$。
将$x = y$代入$\frac{x + 3y}{x - 2y}$，得$\frac{y + 3y}{y - 2y} = \frac{4y}{-y} = -4$。
6. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x - a}{x - 2} + \frac{2a}{2 - x} = 2 $ 的解为非负数,则 $ a $ 的取值范围为(
A.$ a \leq \frac{4}{3} $ 且 $ a \neq \frac{2}{3} $
B.$ a \geq \frac{2}{3} $ 且 $ a \neq \frac{4}{3} $
C.$ a \leq \frac{4}{3} $ 且 $ a \neq - \frac{2}{3} $
D.$ a \geq \frac{1}{3} $ 且 $ a \neq \frac{2}{3} $
A
)A.$ a \leq \frac{4}{3} $ 且 $ a \neq \frac{2}{3} $
B.$ a \geq \frac{2}{3} $ 且 $ a \neq \frac{4}{3} $
C.$ a \leq \frac{4}{3} $ 且 $ a \neq - \frac{2}{3} $
D.$ a \geq \frac{1}{3} $ 且 $ a \neq \frac{2}{3} $
答案
A
解析
首先去分母，方程$\frac{x - a}{x - 2}-\frac{2a}{x - 2}=2$（因为$\frac{2a}{2 - x}=-\frac{2a}{x - 2}$），
方程两边同乘$(x - 2)$得：$x - a-2a = 2(x - 2)$，
展开括号：$x - 3a=2x - 4$，
移项可得：$x=4 - 3a$。
因为分式方程分母不能为$0$，即$x-2\neq0$，所以$4 - 3a-2\neq0$，解得$a\neq\frac{2}{3}$。
又因为方程的解为非负数，所以$x = 4 - 3a\geq0$，解得$a\leq\frac{4}{3}$。
方程两边同乘$(x - 2)$得：$x - a-2a = 2(x - 2)$，
展开括号：$x - 3a=2x - 4$，
移项可得：$x=4 - 3a$。
因为分式方程分母不能为$0$，即$x-2\neq0$，所以$4 - 3a-2\neq0$，解得$a\neq\frac{2}{3}$。
又因为方程的解为非负数，所以$x = 4 - 3a\geq0$，解得$a\leq\frac{4}{3}$。
7. 小王从 $ A $ 地开车去 $ B $ 地,两地相距 $ 240 km $. 原计划平均速度为 $ x km/h $,实际平均速度提高了 $ 50\% $,结果提前 $ 1 $ 小时到达. 由此可建立方程为(
A.$ \frac{240}{0.5x} - \frac{240}{x} = 1 $
B.$ \frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1 $
C.$ \frac{240}{1.5x} - \frac{240}{x} = 1 $
D.$ x + 1.5x = 240 $
B
)A.$ \frac{240}{0.5x} - \frac{240}{x} = 1 $
B.$ \frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1 $
C.$ \frac{240}{1.5x} - \frac{240}{x} = 1 $
D.$ x + 1.5x = 240 $
答案
B
解析
设原计划平均速度为 $ x $ km/h，则原计划时间为 $ \frac{240}{x} $ 小时。
实际平均速度提高 $ 50\% $，即实际速度为 $ 1.5x $ km/h，实际时间为 $ \frac{240}{1.5x} $ 小时。
根据题意，实际比原计划提前 $ 1 $ 小时到达，因此可建立方程：
$ \frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1 $。
实际平均速度提高 $ 50\% $，即实际速度为 $ 1.5x $ km/h，实际时间为 $ \frac{240}{1.5x} $ 小时。
根据题意，实际比原计划提前 $ 1 $ 小时到达，因此可建立方程：
$ \frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1 $。
8. 计算 $ \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x^{2} + x} + \frac{2}{x} $ 的结果是
$\frac{3}{x}$
.答案
$\frac{3}{x}$
解析
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x^{2}+x} + \frac{2}{x}\\=&\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2} \cdot \frac{x - 1}{x(x + 1)} + \frac{2}{x}\\=&\frac{(x + 1)(x - 1)(x - 1)}{(x - 1)^2 x(x + 1)} + \frac{2}{x}\\=&\frac{1}{x} + \frac{2}{x}\\=&\frac{3}{x}\end{aligned}$
9. 计算：$ ( - \frac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c )^{-2} ÷ ( - \frac{3}{2}a^{2}b^{-2} )^{2} = $
$\frac{b^6}{c^2}$
.答案
$\frac{b^6}{c^2}$
解析
先计算乘方：
$( - \frac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c )^{-2} = (-\frac{3}{2})^{2}a^{(-2)×(-2)}b^{(-1)×(-2)}c^{-2} = \frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2}$；
$( - \frac{3}{2}a^{2}b^{-2} )^{2} = (-\frac{3}{2})^{2}a^{2×2}b^{(-2)×2} = \frac{9}{4}a^{4}b^{-4}$；
再计算除法：$\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2} ÷ \frac{9}{4}a^{4}b^{-4} = ( \frac{9}{4}÷\frac{9}{4} )·(a^{4}÷a^{4})·(b^{2}÷b^{-4})·c^{-2} = 1·1·b^{6}·c^{-2} = \frac{b^{6}}{c^{2}}$。
$( - \frac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c )^{-2} = (-\frac{3}{2})^{2}a^{(-2)×(-2)}b^{(-1)×(-2)}c^{-2} = \frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2}$；
$( - \frac{3}{2}a^{2}b^{-2} )^{2} = (-\frac{3}{2})^{2}a^{2×2}b^{(-2)×2} = \frac{9}{4}a^{4}b^{-4}$；
再计算除法：$\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2} ÷ \frac{9}{4}a^{4}b^{-4} = ( \frac{9}{4}÷\frac{9}{4} )·(a^{4}÷a^{4})·(b^{2}÷b^{-4})·c^{-2} = 1·1·b^{6}·c^{-2} = \frac{b^{6}}{c^{2}}$。
10. 已知 $ a $,$ b $,$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,且 $ a $,$ b $,$ c $ 的取值使分式 $ \frac{ab - ac + c^{2} - bc}{a - b} $ 的值为零,则 $ \triangle ABC $ 的形状为
等腰三角形
.答案
(等腰三角形对应的选项，如题目未给出选项，则按照题目要求填写形状描述，本题以填空形式给出)
等腰三角形（若为选择题，且选项A为等腰三角形，则填A）
等腰三角形（若为选择题，且选项A为等腰三角形，则填A）
解析
要使分式的值为零，需要满足分子为零且分母不为零。
分子：$ab - ac + c^2 - bc = 0$，
因式分解：
$\;\;\;\;ab - ac + c^2 - bc$
$= (ab - bc) - (ac - c^2)$
$= b(a - c) - c(a - c)$
$= (a - c)(b - c)=0$
得到 $a = c$ 或 $b = c$。
分母：$a - b \neq 0$，即 $a \neq b$。
分情况讨论：
当 $a = c$ 时，若 $a \neq b$，则三角形有两条边相等，即 $a = c$，所以 $\triangle ABC$ 是等腰三角形。
当 $b = c$ 时，若 $a \neq b$，则三角形有两条边相等，即 $b = c$，所以 $\triangle ABC$ 也是等腰三角形。
综合以上两种情况，$\triangle ABC$ 一定是等腰三角形。
分子：$ab - ac + c^2 - bc = 0$，
因式分解：
$\;\;\;\;ab - ac + c^2 - bc$
$= (ab - bc) - (ac - c^2)$
$= b(a - c) - c(a - c)$
$= (a - c)(b - c)=0$
得到 $a = c$ 或 $b = c$。
分母：$a - b \neq 0$，即 $a \neq b$。
分情况讨论：
当 $a = c$ 时，若 $a \neq b$，则三角形有两条边相等，即 $a = c$，所以 $\triangle ABC$ 是等腰三角形。
当 $b = c$ 时，若 $a \neq b$，则三角形有两条边相等，即 $b = c$，所以 $\triangle ABC$ 也是等腰三角形。
综合以上两种情况，$\triangle ABC$ 一定是等腰三角形。
11. 要使分式 $ ( \frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a^{2} + 1}{a^{2} - 2a + 1} ) ÷ \frac{1}{a - 1} $ 的值为负整数,则整数 $ a $ 的值为
2或3
.答案
2或3
解析
原式$(\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a^{2} + 1}{a^{2} - 2a + 1}) ÷ \frac{1}{a - 1}$，
将除法转化为乘法，同时对分母进行因式分解：
$a^{2} - 2a + 1=(a-1)^2$，
则原式可转化为：
$[\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a^{2} + 1}{(a - 1)^{2}}] × (a - 1)$
$=\frac{a + 1}{a - 1}× (a - 1)- \frac{a^{2} + 1}{(a - 1)^{2}} × (a - 1)$
$=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{a^{2} + 1}{a - 1}$
$=\frac{a^{2}-1-a^{2}-1}{a - 1}$
$=\frac{-2}{a - 1}$
因为整个表达式的值为负整数，
所以$\frac{-2}{a - 1}＜0$，
即$\frac{2}{a - 1}＞0$，
又因为结果为整数，2约分后仍为整数，
则$a - 1$的值只能为1或2，
则$a$的值只能为2或3。
当$a=2$时，原式$=\frac{-2}{2 - 1}=-2$，符合题意；
当$a=3$时，原式$=\frac{-2}{3 - 1}=-1$，符合题意。
故答案为2或3。
将除法转化为乘法，同时对分母进行因式分解：
$a^{2} - 2a + 1=(a-1)^2$，
则原式可转化为：
$[\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a^{2} + 1}{(a - 1)^{2}}] × (a - 1)$
$=\frac{a + 1}{a - 1}× (a - 1)- \frac{a^{2} + 1}{(a - 1)^{2}} × (a - 1)$
$=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{a^{2} + 1}{a - 1}$
$=\frac{a^{2}-1-a^{2}-1}{a - 1}$
$=\frac{-2}{a - 1}$
因为整个表达式的值为负整数，
所以$\frac{-2}{a - 1}＜0$，
即$\frac{2}{a - 1}＞0$，
又因为结果为整数，2约分后仍为整数，
则$a - 1$的值只能为1或2，
则$a$的值只能为2或3。
当$a=2$时，原式$=\frac{-2}{2 - 1}=-2$，符合题意；
当$a=3$时，原式$=\frac{-2}{3 - 1}=-1$，符合题意。
故答案为2或3。
12. 有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘 $ 2 $,再除以它与 $ 1 $ 的和,多次重复进行这种运算,过程如下：
$\begin{aligned}&输入 x \xrightarrow{第 1 次} y_{1} = \frac{2x}{x + 1} \xrightarrow{第 2 次} y_{2} = \frac{2y_{1}}{y_{1} + 1} \\&\xrightarrow{第 3 次} y_{3} = \frac{2y_{2}}{y_{2} + 1} …\end{aligned} $
则第 $ n $ 次运算的结果 $ y_{n} = $
$\begin{aligned}&输入 x \xrightarrow{第 1 次} y_{1} = \frac{2x}{x + 1} \xrightarrow{第 2 次} y_{2} = \frac{2y_{1}}{y_{1} + 1} \\&\xrightarrow{第 3 次} y_{3} = \frac{2y_{2}}{y_{2} + 1} …\end{aligned} $
则第 $ n $ 次运算的结果 $ y_{n} = $
$\frac{2^{n}x}{(2^{n} - 1)x + 1}$
(用含字母 $ x $ 和 $ n $ 的代数式表示).答案
$\frac{2^{n}x}{(2^{n} - 1)x + 1}$
解析
第1次运算：$y_1 = \frac{2x}{x+1}$，
第2次运算：$y_2 = \frac{2y_1}{y_1+1} = \frac{2 × \frac{2x}{x+1}}{\frac{2x}{x+1} + 1} = \frac{\frac{4x}{x+1}}{\frac{3x+1}{x+1}} = \frac{4x}{3x+1}$，
第3次运算：$y_3 = \frac{2y_2}{y_2+1} = \frac{2 × \frac{4x}{3x+1}}{\frac{4x}{3x+1} + 1} = \frac{\frac{8x}{3x+1}}{\frac{7x+1}{3x+1}} = \frac{8x}{7x+1}$，
通过观察，可以发现分子中$x$的系数和分母中$x$的系数都是$2$的幂次，且分母中$x$的系数总是等于$2^n - 1$。
根据这个规律，可以推断出第$n$次运算的结果为：
$y_n = \frac{2^n x}{(2^n - 1)x + 1}$
第2次运算：$y_2 = \frac{2y_1}{y_1+1} = \frac{2 × \frac{2x}{x+1}}{\frac{2x}{x+1} + 1} = \frac{\frac{4x}{x+1}}{\frac{3x+1}{x+1}} = \frac{4x}{3x+1}$，
第3次运算：$y_3 = \frac{2y_2}{y_2+1} = \frac{2 × \frac{4x}{3x+1}}{\frac{4x}{3x+1} + 1} = \frac{\frac{8x}{3x+1}}{\frac{7x+1}{3x+1}} = \frac{8x}{7x+1}$，
通过观察，可以发现分子中$x$的系数和分母中$x$的系数都是$2$的幂次，且分母中$x$的系数总是等于$2^n - 1$。
根据这个规律，可以推断出第$n$次运算的结果为：
$y_n = \frac{2^n x}{(2^n - 1)x + 1}$
