新知梳理
对一般随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性。
思考 频率稳定于某个数值,这个数值指的是什么？频率和概率有什么样的关系？

频率稳定的数值是概率；频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。

频率稳定于某个数值，这个数值指的是该随机事件的概率。在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。

例 (2024 福州期中)在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共 10 个,这些球除颜色外都相同。某数学小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色,再把它放回袋中,不断重复。下表是活动进行中的一组统计数据,则从袋子中随机摸出一个球,这个球是白球的概率是。(结果精确到 0.1)
|摸球的次数 $ n $| 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|摸到白球的次数 $ m $| 58 | 96 | 116 | 295 | 484 | 598 |
|摸到白球的频率 $ \frac{m}{n} $| 0.58 | 0.64 | 0.58 | 0.59 | 0.605 | 0.598 |

名师导引 随着大量重复试验次数的增加,事件发生的频率将在某个固定数附近摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定数就是该事件发生的概率。

0.6。

根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会趋近于概率。
从表格中可以看出，当摸球次数达到1000次时，摸到白球的频率为0.598，此时频率已经趋于稳定。
因此，可以将0.6（结果精确到0.1）作为从袋子中随机摸出一个球是白球的概率。

变式训练 (2022 鞍山中考)一个不透明的口袋中装有 5 个红球和 $ m $ 个黄球,这些球除颜色外都相同。某同学从袋中随机摸出 1 个球记下它的颜色后,放回摇匀,为一次摸球试验。根据记录在下表中的摸球试验数据,可以估计出 $ m $ 的值为。
|摸球的总次数 $ a $| 100 | 500 | 1000 | 2000 | … |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|摸出红球的次数 $ b $| 19 | 101 | 199 | 400 | … |
|摸出红球的频率 $ \frac{b}{a} $| 0.190 | 0.202 | 0.199 | 0.200 | … |

设口袋中有$5$个红球和$m$个黄球，总球数为$5 + m$。
由题意，摸出红球的概率为：
$P(红球) = \frac{5}{5 + m}$
根据表格中的摸球试验数据，当摸球次数较大时，摸出红球的频率稳定在$0.200$附近。
因此，可以估计摸出红球的概率为$0.200$。
由此，我们可以建立方程：
$\frac{5}{5 + m} = 0.200$，
解这个方程，我们得到：
$5 = 0.200 × (5 + m)$，
$5 = 1 + 0.2m$，
$0.2m = 4$，
$m = 20$，
经检验，$m = 20$是原方程的解，且符合题意。
故答案为：$20$。

1. (2023 泰州中考)在相同条件下的多次重复试验中,一个随机事件发生的频率为 $ f $,该事件的概率为 $ P $。下列说法正确的是()
A.试验次数越多,$ f $ 越大
B.$ f $ 与 $ P $ 都可能发生变化
C.试验次数越多,$ f $ 越接近于 $ P $
D.当试验次数很大时,$ f $ 在 $ P $ 附近摆动,并趋于稳定

D

根据用频率估计概率的原理，在相同条件下的多次重复试验中，随着试验次数的增加，频率$f$会在概率$P$附近摆动并趋于稳定。
选项A，试验次数越多，并不意味着频率$f$本身会越大，而是频率$f$越接近概率$P$，所以A选项错误。
选项B，概率$P$是一个理论值，是固定的，不会发生变化，而频率$f$是变化的，所以B选项错误。
选项C，试验次数越多，频率$f$越接近概率$P$，但不是说一定会更“大”或更“小”，只是更接近，然而该选项没有完整表述出频率的稳定特性，所以C选项不够准确。
选项D，准确地描述了当试验次数很大时，频率$f$在概率$P$附近摆动并趋于稳定，这是大数定律的体现，所以D选项正确。