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2. (2024 深圳期中)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表,根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时,“射中九环以上”的概率约是(
|射击次数|100|200|400|800|1000|
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|“射中九环以上”的次数|87|172|336|679|850|
|“射中九环以上”的频率|0.87|0.86|0.84|0.85|0.85|
A.0.84
B.0.85
C.0.86
D.0.87
B
)|射击次数|100|200|400|800|1000|
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|“射中九环以上”的次数|87|172|336|679|850|
|“射中九环以上”的频率|0.87|0.86|0.84|0.85|0.85|
A.0.84
B.0.85
C.0.86
D.0.87
答案
B
解析
根据表格数据，随着射击次数的增加，“射中九环以上”的频率逐渐稳定在0.85附近。
由用频率估计概率的方法可知，“射中九环以上”的概率约为0.85。
由用频率估计概率的方法可知，“射中九环以上”的概率约为0.85。
3. (2022 辽宁中考)在一个不透明的口袋中装有红球和白球共 8 个,这些球除颜色外都相同。将口袋中的球搅匀后,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸了 100 次球,发现有 75 次摸到红球,则口袋中的红球约为
6
个。答案
$6$
解析
本题可根据大量重复试验中，某一事件发生的频率近似等于这一事件发生的概率，先求出摸到红球的概率，再根据红球概率求出红球的个数。
步骤一：计算摸到红球的概率
已知共摸了$100$次球，其中有$75$次摸到红球，根据频率的计算公式：$频率 = \frac{频数}{总数}$，可得摸到红球的频率为$\frac{75}{100} = 0.75$。
由于大量重复试验时，频率稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，所以可估计从口袋中摸出一个球是红球的概率约为$0.75$。
步骤二：计算红球的个数
设口袋中红球有$x$个，已知口袋中球的总数为$8$个，根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$发生的总数，$n$是总事件发生的总数），可得红球的概率$P(红球)=\frac{x}{8}$。
由步骤一可知$P(红球)\approx0.75$，即$\frac{x}{8}=0.75$，解得$x = 0.75×8 = 6$，所以口袋中红球约为$6$个。
步骤一：计算摸到红球的概率
已知共摸了$100$次球，其中有$75$次摸到红球，根据频率的计算公式：$频率 = \frac{频数}{总数}$，可得摸到红球的频率为$\frac{75}{100} = 0.75$。
由于大量重复试验时，频率稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，所以可估计从口袋中摸出一个球是红球的概率约为$0.75$。
步骤二：计算红球的个数
设口袋中红球有$x$个，已知口袋中球的总数为$8$个，根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$发生的总数，$n$是总事件发生的总数），可得红球的概率$P(红球)=\frac{x}{8}$。
由步骤一可知$P(红球)\approx0.75$，即$\frac{x}{8}=0.75$，解得$x = 0.75×8 = 6$，所以口袋中红球约为$6$个。
4. (2024 西安期末)一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共 20 张,随机从箱子里摸出 1 张卡片,记下颜色后再放回,经过多次的重复试验,发现摸到蓝色卡片的频率稳定在 0.4 附近,由此估计箱子中蓝色卡片有
8
张。答案
8
解析
设箱子中蓝色卡片有$x$张，因为摸到蓝色卡片的频率稳定在$0.4$附近，所以摸到蓝色卡片的概率约为$0.4$。根据概率公式，$\frac{x}{20}=0.4$，解得$x = 20×0.4 = 8$。
5. (2024 镇江期中)已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共 50 个。从纸箱中任意摸出一球,摸到红色球、黄色球的概率分别是 0.2,0.4。
(1)试求出纸箱中蓝色球的个数；
(2)小明向纸箱中再放进若干个红色球,小红为了估计放入的红球的个数,她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回箱子中,多次重复上述过程后,她发现摸到红球的频率在 0.5 附近波动,请据此估计小明放入的红球的个数。
(1)试求出纸箱中蓝色球的个数；
(2)小明向纸箱中再放进若干个红色球,小红为了估计放入的红球的个数,她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回箱子中,多次重复上述过程后,她发现摸到红球的频率在 0.5 附近波动,请据此估计小明放入的红球的个数。
答案
(1) 纸箱中红色球的个数为 $50 × 0.2 = 10$ 个，黄色球的个数为 $50 × 0.4 = 20$ 个，蓝色球的个数为 $50 - 10 - 20 = 20$ 个。
(2) 设小明放入的红球个数为 $x$ 个，此时总球数为 $50 + x$ 个，红球总数为 $10 + x$ 个。由摸到红球的频率在 $0.5$ 附近波动，可得 $\frac{10 + x}{50 + x} = 0.5$，解得 $x = 30$。
(1) 20；(2) 30
(2) 设小明放入的红球个数为 $x$ 个，此时总球数为 $50 + x$ 个，红球总数为 $10 + x$ 个。由摸到红球的频率在 $0.5$ 附近波动，可得 $\frac{10 + x}{50 + x} = 0.5$，解得 $x = 30$。
(1) 20；(2) 30
6. 一只不透明的袋子中装有 4 个质地、大小均相同的小球,这些小球分别标有数字 3,4,5,$ x $,甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出 1 个球,并计算摸出的这 2 个小球上数字之和,记录后都将小球放回袋中搅匀,进行重复试验。试验数据如下表：
|摸球总次数|10|20|30|60|90|120|180|240|330|450|
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|“和为 8”出现的频数|2|10|13|24|30|37|58|82|110|150|
|“和为 8”出现的频率|0.20|0.50|0.43|0.40|0.33|0.31|0.32|0.34|0.33|0.33|
(1)
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为 9 的概率是 $ \frac{1}{3} $,那么 $ x $ 的值可以取 7 吗？请用列表法或画树状图法说明理由。如果 $ x $ 的值不可以取 7,请写出一个符合要求的 $ x $ 的值。
|摸球总次数|10|20|30|60|90|120|180|240|330|450|
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|“和为 8”出现的频数|2|10|13|24|30|37|58|82|110|150|
|“和为 8”出现的频率|0.20|0.50|0.43|0.40|0.33|0.31|0.32|0.34|0.33|0.33|
(1)
0.33
如果将试验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为 8”的频率将稳定在它的概率附近,估计出现“和为 8”的概率是____；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为 9 的概率是 $ \frac{1}{3} $,那么 $ x $ 的值可以取 7 吗？请用列表法或画树状图法说明理由。如果 $ x $ 的值不可以取 7,请写出一个符合要求的 $ x $ 的值。
答案
(1) 0.33
(2) 不可以取7。
列表如下（x=7时）：
|甲\乙|3|4|5|7|
|----|----|----|----|----|
|3|7|8|10| - |
|4|7|9|11| - |
|5|8|9|12| - |
|7|10|11|12| - |
共有12种等可能结果，和为9的有2种，概率为2/12=1/6≠1/3，故x≠7。
符合要求的x值可以为6（此时和为9的结果有4种，概率4/12=1/3）。
(2) 不可以取7。
列表如下（x=7时）：
|甲\乙|3|4|5|7|
|----|----|----|----|----|
|3|7|8|10| - |
|4|7|9|11| - |
|5|8|9|12| - |
|7|10|11|12| - |
共有12种等可能结果，和为9的有2种，概率为2/12=1/6≠1/3，故x≠7。
符合要求的x值可以为6（此时和为9的结果有4种，概率4/12=1/3）。
