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1. 函数$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$中自变量$x$的取值范围是（
A.$x≥1$且$x≠3$
B.$x≥1$
C.$x≠3$
D.$x＞1$且$x≠3$
A
）A.$x≥1$且$x≠3$
B.$x≥1$
C.$x≠3$
D.$x＞1$且$x≠3$
答案
1.A
解析
【分析】
要确定函数自变量x的取值范围，需先梳理解析式中对x有约束的部分：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，最后取所有约束条件的公共部分，即可得到x的取值范围。
【解析】
1. 根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，可得$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 根据分式有意义的条件：分母≠0，可得$x-3≠0$，解得$x≠3$；
3. 综合两个约束条件，x需同时满足$x≥1$且$x≠3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 函数自变量取值范围
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础考题，解题关键是不要遗漏任意一个约束条件，当存在多个限制条件时，需取各条件的公共部分作为最终的取值范围。
【难度系数】
0.8
要确定函数自变量x的取值范围，需先梳理解析式中对x有约束的部分：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，最后取所有约束条件的公共部分，即可得到x的取值范围。
【解析】
1. 根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，可得$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 根据分式有意义的条件：分母≠0，可得$x-3≠0$，解得$x≠3$；
3. 综合两个约束条件，x需同时满足$x≥1$且$x≠3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 函数自变量取值范围
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础考题，解题关键是不要遗漏任意一个约束条件，当存在多个限制条件时，需取各条件的公共部分作为最终的取值范围。
【难度系数】
0.8
2.某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水),在这三个过程中洗衣机内水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系对应的图象大致为 (
D
)答案
2.D
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的初始条件排除错误选项，再对应三个工作过程分析水量的变化趋势，逐一匹配图象特征即可得出答案。首先，工作前洗衣机无水，说明x=0时y=0，可直接排除初始水量不为0的选项；再依次分析三个过程：注水时水量随时间增加而上升，清洗时水量保持不变，排水时水量随时间增加下降直到为0，对应剩余选项的图象特征判断即可。
【解析】
第一步：分析初始状态，工作前洗衣机内无水，即时间x=0时，水量y=0，选项A、B在x=0时y＞0，不符合条件，排除A、B；
第二步：分析三个工作过程的水量变化：
①注水阶段：随时间增加，水量逐渐增多，图象呈上升趋势；
②清洗阶段：洗衣机内水量保持不变，图象为水平线段；
③排水阶段：随时间增加，水量逐渐减少，最终排空，水量变为0，图象呈下降趋势，最终落在x轴上。
第三步：判断剩余选项，选项C最后一段图象呈上升趋势，不符合排水过程的水量变化，排除C；选项D的图象完全符合三个过程的变化特征。
【答案】
D
【知识点】
函数图象的实际应用；分段函数图象
【点评】
本题是生活实际与函数图象结合的基础题，解题的核心是将实际过程中变量的变化规律和图象的走势对应起来，同时不要忽略初始、最终状态的特殊值，就能快速筛选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时先结合题目给出的初始条件排除错误选项，再对应三个工作过程分析水量的变化趋势，逐一匹配图象特征即可得出答案。首先，工作前洗衣机无水，说明x=0时y=0，可直接排除初始水量不为0的选项；再依次分析三个过程：注水时水量随时间增加而上升，清洗时水量保持不变，排水时水量随时间增加下降直到为0，对应剩余选项的图象特征判断即可。
【解析】
第一步：分析初始状态，工作前洗衣机内无水，即时间x=0时，水量y=0，选项A、B在x=0时y＞0，不符合条件，排除A、B；
第二步：分析三个工作过程的水量变化：
①注水阶段：随时间增加，水量逐渐增多，图象呈上升趋势；
②清洗阶段：洗衣机内水量保持不变，图象为水平线段；
③排水阶段：随时间增加，水量逐渐减少，最终排空，水量变为0，图象呈下降趋势，最终落在x轴上。
第三步：判断剩余选项，选项C最后一段图象呈上升趋势，不符合排水过程的水量变化，排除C；选项D的图象完全符合三个过程的变化特征。
【答案】
D
【知识点】
函数图象的实际应用；分段函数图象
【点评】
本题是生活实际与函数图象结合的基础题，解题的核心是将实际过程中变量的变化规律和图象的走势对应起来，同时不要忽略初始、最终状态的特殊值，就能快速筛选出正确答案。
【难度系数】
0.8
3.匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图1所示(图中OABC为一折线),这个容器的形状是图中的 (
A
B
C D
C
)A
B
C D
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先明确两个核心对应关系：第一，匀速注水意味着单位时间注入水的体积固定；第二，水面高度h随时间t变化的图像倾斜程度（斜率）对应水面上升的快慢，斜率越大，水面上升越快。而水面上升快慢和容器横截面积直接相关：相同体积的水注入时，容器横截面积越大，水面上升越慢，图像斜率越小；横截面积越小，水面上升越快，图像斜率越大。接下来将图像的三段折线和容器从下到上的部分一一对应，通过各段斜率判断对应部分的横截面积大小，即可匹配到正确的容器形状。
【解析】
设匀速注水的单位时间注水量为固定值V，容器某部分的横截面积为S，Δt时间内注入的水体积为$V· \Delta t = S· \Delta h$，整理得$\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{V}{S}$，即h-t图像的斜率和容器横截面积S成反比，斜率越大，S越小。
观察图像OABC的三段：
1. OA段对应容器最下层注水阶段，斜率中等，说明下层横截面积中等；
2. AB段对应容器中间层注水阶段，斜率最小（图像最平缓），说明中间层横截面积最大，水面上升最慢；
3. BC段对应容器最上层注水阶段，斜率最大（图像最陡），说明上层横截面积最小，水面上升最快。
对比各选项，只有选项C的容器符合“下层横截面积中等、中间层横截面积最大、上层横截面积最小”的特征。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数图像的实际意义
2. 体积与横截面积的关系
【点评】
本题是函数图像结合生活实际的典型题型，核心是建立图像斜率和容器横截面积的对应关系，需要学生结合数学知识和生活常识联动分析，能很好地考查知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心对应关系：第一，匀速注水意味着单位时间注入水的体积固定；第二，水面高度h随时间t变化的图像倾斜程度（斜率）对应水面上升的快慢，斜率越大，水面上升越快。而水面上升快慢和容器横截面积直接相关：相同体积的水注入时，容器横截面积越大，水面上升越慢，图像斜率越小；横截面积越小，水面上升越快，图像斜率越大。接下来将图像的三段折线和容器从下到上的部分一一对应，通过各段斜率判断对应部分的横截面积大小，即可匹配到正确的容器形状。
【解析】
设匀速注水的单位时间注水量为固定值V，容器某部分的横截面积为S，Δt时间内注入的水体积为$V· \Delta t = S· \Delta h$，整理得$\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{V}{S}$，即h-t图像的斜率和容器横截面积S成反比，斜率越大，S越小。
观察图像OABC的三段：
1. OA段对应容器最下层注水阶段，斜率中等，说明下层横截面积中等；
2. AB段对应容器中间层注水阶段，斜率最小（图像最平缓），说明中间层横截面积最大，水面上升最慢；
3. BC段对应容器最上层注水阶段，斜率最大（图像最陡），说明上层横截面积最小，水面上升最快。
对比各选项，只有选项C的容器符合“下层横截面积中等、中间层横截面积最大、上层横截面积最小”的特征。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数图像的实际意义
2. 体积与横截面积的关系
【点评】
本题是函数图像结合生活实际的典型题型，核心是建立图像斜率和容器横截面积的对应关系，需要学生结合数学知识和生活常识联动分析，能很好地考查知识应用能力。
【难度系数】
0.7
4.下列各点在函数$y=2x-1$的图象上的是（
A.(1,−2)
B.(−2.5,−6)
C.(−100,−103)
D.(2,1)
B
）A.(1,−2)
B.(−2.5,−6)
C.(−100,−103)
D.(2,1)
答案
4.B
解析
【分析】要判断一个点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算出对应的y值，若计算结果与该点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之则不在。我们可以逐个代入四个选项的横坐标进行验证即可得到答案。
【解析】已知函数解析式为$y=2x-1$，逐一验证各选项：
A选项：把$x=1$代入解析式，得$y=2×1 -1=1$，与点的纵坐标$-2$不相等，故该点不在函数图象上；
B选项：把$x=-2.5$代入解析式，得$y=2×(-2.5) -1=-5-1=-6$，与点的纵坐标$-6$相等，故该点在函数图象上；
C选项：把$x=-100$代入解析式，得$y=2×(-100)-1=-201$，与点的纵坐标$-103$不相等，故该点不在函数图象上；
D选项：把$x=2$代入解析式，得$y=2×2 -1=3$，与点的纵坐标$1$不相等，故该点不在函数图象上。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】B
【知识点】函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象
【点评】本题属于基础题型，核心考查点在函数图象上的判定方法，熟练掌握代入验证法即可快速得出正确结果。
【难度系数】0.9
【解析】已知函数解析式为$y=2x-1$，逐一验证各选项：
A选项：把$x=1$代入解析式，得$y=2×1 -1=1$，与点的纵坐标$-2$不相等，故该点不在函数图象上；
B选项：把$x=-2.5$代入解析式，得$y=2×(-2.5) -1=-5-1=-6$，与点的纵坐标$-6$相等，故该点在函数图象上；
C选项：把$x=-100$代入解析式，得$y=2×(-100)-1=-201$，与点的纵坐标$-103$不相等，故该点不在函数图象上；
D选项：把$x=2$代入解析式，得$y=2×2 -1=3$，与点的纵坐标$1$不相等，故该点不在函数图象上。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】B
【知识点】函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象
【点评】本题属于基础题型，核心考查点在函数图象上的判定方法，熟练掌握代入验证法即可快速得出正确结果。
【难度系数】0.9
5.“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场.图2中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x表示乌龟从起点出发所用的时间，y₁表示乌龟所行的路程，y₂表示兔子所行的路程).回答下列问题：
(1)“龟兔再次赛跑”的路程为
(2)兔子和乌龟
(3)乌龟在途中休息了
(4)
(1)“龟兔再次赛跑”的路程为
1 000
米；(2)兔子和乌龟
不是
(填“是”或“不是”)同时从起点出发；若不是，它们相差40
分钟；(3)乌龟在途中休息了
10
分钟；(4)
兔子
先到终点，比另一位参赛者早10
分钟.答案
5.(1)1 000 (2)不是 40 (3)10 (4)兔子 10
解析
【分析】
解题时首先明确函数图象的横、纵轴的含义：横轴x表示乌龟从起点出发的时间，纵轴y表示行驶的路程，y₁代表乌龟的路程随时间的变化情况，y₂代表兔子的路程随时间的变化情况。接下来逐问对应图象特征分析：
1. 总路程看图象终点对应的纵轴数值即可；
2. 出发时间看两个函数图象的起点对应的横轴数值，计算差值即可判断是否同时出发及相差时间；
3. 乌龟休息时路程不变，对应y₁图象中水平线段，计算该线段两端对应的横轴差值就是休息时间；
4. 到达终点的时间看两个函数到达y=1000米时对应的横轴数值，比较大小后计算差值即可。
【解析】
(1) 观察图象可知，两个函数的终点对应的纵轴数值均为1000米，因此“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
(2) 乌龟在x=0时就出发，兔子的路程y₂从x=40时才开始增加，说明兔子在乌龟出发40分钟后才出发，因此二者不是同时出发，相差40分钟；
(3) 乌龟的路程y₁在x=30到x=40的区间内，路程始终为600米没有变化，说明这段时间乌龟在休息，休息时长为40-30=10分钟；
(4) 兔子到达1000米对应的时间是x=50分钟，乌龟到达1000米对应的时间是x=60分钟，50＜60，因此兔子先到终点，比乌龟早60-50=10分钟。
【答案】
(1)1 000 (2)不是 40 (3)10 (4)兔子 10
【知识点】
函数图象的实际应用，行程问题分析，图象信息提取
【点评】
本题结合龟兔赛跑的趣味情境，考查从函数图象中提取有效信息解决实际问题的能力，解题核心是理解横纵轴的含义以及图象中特殊线段、特殊点的实际意义，整体较为基础，贴近生活。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确函数图象的横、纵轴的含义：横轴x表示乌龟从起点出发的时间，纵轴y表示行驶的路程，y₁代表乌龟的路程随时间的变化情况，y₂代表兔子的路程随时间的变化情况。接下来逐问对应图象特征分析：
1. 总路程看图象终点对应的纵轴数值即可；
2. 出发时间看两个函数图象的起点对应的横轴数值，计算差值即可判断是否同时出发及相差时间；
3. 乌龟休息时路程不变，对应y₁图象中水平线段，计算该线段两端对应的横轴差值就是休息时间；
4. 到达终点的时间看两个函数到达y=1000米时对应的横轴数值，比较大小后计算差值即可。
【解析】
(1) 观察图象可知，两个函数的终点对应的纵轴数值均为1000米，因此“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
(2) 乌龟在x=0时就出发，兔子的路程y₂从x=40时才开始增加，说明兔子在乌龟出发40分钟后才出发，因此二者不是同时出发，相差40分钟；
(3) 乌龟的路程y₁在x=30到x=40的区间内，路程始终为600米没有变化，说明这段时间乌龟在休息，休息时长为40-30=10分钟；
(4) 兔子到达1000米对应的时间是x=50分钟，乌龟到达1000米对应的时间是x=60分钟，50＜60，因此兔子先到终点，比乌龟早60-50=10分钟。
【答案】
(1)1 000 (2)不是 40 (3)10 (4)兔子 10
【知识点】
函数图象的实际应用，行程问题分析，图象信息提取
【点评】
本题结合龟兔赛跑的趣味情境，考查从函数图象中提取有效信息解决实际问题的能力，解题核心是理解横纵轴的含义以及图象中特殊线段、特殊点的实际意义，整体较为基础，贴近生活。
【难度系数】
0.85
6.某汽车油箱中能盛油50 L，汽车每行驶40 km耗油6 L，加满油后，油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶路程x (km)之间的函数关系式是
$y=50-\frac{3}{20}x$
，自变量x的取值范围是$0≤ x≤ \frac{1\ 000}{3}$
。答案
6.$y=50-\frac{3}{20}x$ $0≤ x≤ \frac{1\ 000}{3}$
解析
【分析】
解题时先明确数量关系：油箱剩余油量=总存油量-行驶过程中消耗的油量。首先计算汽车每行驶1km的耗油量，进而得到行驶x km的总耗油量，即可推导出y与x的函数关系式。再结合实际意义确定自变量x的取值：行驶路程不能为负数，同时油箱剩余油量不能小于0，据此列不等式求解即可得到x的范围。
【解析】
1. 推导函数关系式：
已知汽车每行驶40km耗油6L，则每行驶1km的耗油量为 $ \frac{6}{40}=\frac{3}{20}\ \mathrm{L} $，
行驶x km的总耗油量为 $ \frac{3}{20}x\ \mathrm{L} $，
油箱总存油量为50L，因此剩余油量 $ y = 50 - \frac{3}{20}x $。
2. 求自变量x的取值范围：
① 行驶路程x为非负数，因此 $ x ≥ 0 $；
② 油箱剩余油量不能小于0，即 $ y ≥ 0 $，代入函数式得：
$ 50 - \frac{3}{20}x ≥ 0 $
移项得 $ \frac{3}{20}x ≤ 50 $
解得 $ x ≤ \frac{1000}{3} $
综合得x的取值范围为 $ 0 ≤ x ≤ \frac{1000}{3} $。
【答案】
$ y=50-\frac{3}{20}x $；$ 0≤ x≤ \frac{1000}{3} $
【知识点】
一次函数实际应用，自变量取值范围确定，一元一次不等式应用
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用题型，解题关键是理清剩余油量、总油量、耗油量三者的数量关系，特别注意确定自变量取值范围时要结合实际意义，不能只考虑代数式本身有意义，要符合现实场景的限制条件。
【难度系数】
0.8
解题时先明确数量关系：油箱剩余油量=总存油量-行驶过程中消耗的油量。首先计算汽车每行驶1km的耗油量，进而得到行驶x km的总耗油量，即可推导出y与x的函数关系式。再结合实际意义确定自变量x的取值：行驶路程不能为负数，同时油箱剩余油量不能小于0，据此列不等式求解即可得到x的范围。
【解析】
1. 推导函数关系式：
已知汽车每行驶40km耗油6L，则每行驶1km的耗油量为 $ \frac{6}{40}=\frac{3}{20}\ \mathrm{L} $，
行驶x km的总耗油量为 $ \frac{3}{20}x\ \mathrm{L} $，
油箱总存油量为50L，因此剩余油量 $ y = 50 - \frac{3}{20}x $。
2. 求自变量x的取值范围：
① 行驶路程x为非负数，因此 $ x ≥ 0 $；
② 油箱剩余油量不能小于0，即 $ y ≥ 0 $，代入函数式得：
$ 50 - \frac{3}{20}x ≥ 0 $
移项得 $ \frac{3}{20}x ≤ 50 $
解得 $ x ≤ \frac{1000}{3} $
综合得x的取值范围为 $ 0 ≤ x ≤ \frac{1000}{3} $。
【答案】
$ y=50-\frac{3}{20}x $；$ 0≤ x≤ \frac{1000}{3} $
【知识点】
一次函数实际应用，自变量取值范围确定，一元一次不等式应用
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用题型，解题关键是理清剩余油量、总油量、耗油量三者的数量关系，特别注意确定自变量取值范围时要结合实际意义，不能只考虑代数式本身有意义，要符合现实场景的限制条件。
【难度系数】
0.8
