登录
1. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C是$\odot O$上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是 （
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
B
）A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB是$\odot O$的直径，点C是$\odot O$上的点，要求$∠ C$的度数。首先回忆圆周角定理的相关推论：直径所对的圆周角为直角，$∠ C$就是直径AB所对的圆周角，直接应用该推论就能求出角度。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，
根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，
$\therefore ∠ C=∠ ACB=90°$，
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论
【点评】
本题是基础类考题，重点考查圆周角定理推论的直接应用，熟练掌握“直径所对的圆周角为直角”这一结论即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：AB是$\odot O$的直径，点C是$\odot O$上的点，要求$∠ C$的度数。首先回忆圆周角定理的相关推论：直径所对的圆周角为直角，$∠ C$就是直径AB所对的圆周角，直接应用该推论就能求出角度。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，
根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，
$\therefore ∠ C=∠ ACB=90°$，
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论
【点评】
本题是基础类考题，重点考查圆周角定理推论的直接应用，熟练掌握“直径所对的圆周角为直角”这一结论即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. (2025·青海)如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB=40°$，则$∠ ADC$的度数是 （
A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
B
）A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先观察到AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可确定△ABC是直角三角形；再结合已知的∠CAB的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB=40°$
∴$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-40°=50°$
∵$∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角
∴$∠ ADC=∠ ABC=50°$（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础考题，核心考查圆周角性质的应用，解题的关键是熟练掌握直径对应的圆周角为直角、同弧所对圆周角相等这两个常用结论，结合直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可确定△ABC是直角三角形；再结合已知的∠CAB的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB=40°$
∴$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-40°=50°$
∵$∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角
∴$∠ ADC=∠ ABC=50°$（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础考题，核心考查圆周角性质的应用，解题的关键是熟练掌握直径对应的圆周角为直角、同弧所对圆周角相等这两个常用结论，结合直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$\odot O$中,直径$AB$与弦$CD$相交于点$P$,连接$AC$,$AD$,$BD$,若$∠ C=20°$,$∠ BPC=70°$,则$∠ ADC=$ (
A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
D
)A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先利用同弧所对的圆周角相等，得到∠ABD的度数；再根据直径的性质，得到直径所对的圆周角∠ADB为直角；接着利用邻补角的性质求出△BPD中∠BPD的度数；之后结合三角形内角和定理算出∠BDP的度数；最后用∠ADB减去∠BDP即可得到∠ADC的度数。
【解析】
1. 由同弧所对的圆周角相等，弧AD对应∠ACD和∠ABD，因此$∠ ABD=∠ C=20°$；
2. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ADB=90°$；
3. $∠ BPC$与$∠ BPD$为邻补角，因此$∠ BPD=180°-∠ BPC=180°-70°=110°$；
4. 在$△ BPD$中，由三角形内角和为$180°$，得$∠ BDP=180°-∠ BPD-∠ ABD=180°-110°-20°=50°$；
5. 因此$∠ ADC=∠ ADB-∠ BDP=90°-50°=40°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考察圆周角定理推论的应用，解题关键是找准同弧对应的圆周角，熟练运用直径所对圆周角为直角的性质，结合三角形角度计算规律即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先利用同弧所对的圆周角相等，得到∠ABD的度数；再根据直径的性质，得到直径所对的圆周角∠ADB为直角；接着利用邻补角的性质求出△BPD中∠BPD的度数；之后结合三角形内角和定理算出∠BDP的度数；最后用∠ADB减去∠BDP即可得到∠ADC的度数。
【解析】
1. 由同弧所对的圆周角相等，弧AD对应∠ACD和∠ABD，因此$∠ ABD=∠ C=20°$；
2. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ADB=90°$；
3. $∠ BPC$与$∠ BPD$为邻补角，因此$∠ BPD=180°-∠ BPC=180°-70°=110°$；
4. 在$△ BPD$中，由三角形内角和为$180°$，得$∠ BDP=180°-∠ BPD-∠ ABD=180°-110°-20°=50°$；
5. 因此$∠ ADC=∠ ADB-∠ BDP=90°-50°=40°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考察圆周角定理推论的应用，解题关键是找准同弧对应的圆周角，熟练运用直径所对圆周角为直角的性质，结合三角形角度计算规律即可求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC=106°，则∠CAB等于 （
A.$10°$
B.$14°$
C.$16°$
D.$26°$
C
）A.$10°$
B.$14°$
C.$16°$
D.$26°$
答案
4. C
解析
【分析】
解题思路如下：首先，看到AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，我们可以连接辅助线BC，得到直角∠ACB；其次，四边形ABCD是圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补的性质，可由已知的∠ADC求出∠ABC的度数；最后，在直角三角形ACB中，根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠CAB的度数。
【解析】
解：连接BC。
∵ AB是半圆的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
已知∠ADC = 106°，代入得：
∠ABC = 180° - 106° = 74°。
在Rt△ACB中，∠CAB + ∠ABC = 90°，
∴ ∠CAB = 90° - 74° = 16°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题目，核心是通过合理添加辅助线，结合圆周角相关性质和直角三角形的角度关系求解，考查对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，看到AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，我们可以连接辅助线BC，得到直角∠ACB；其次，四边形ABCD是圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补的性质，可由已知的∠ADC求出∠ABC的度数；最后，在直角三角形ACB中，根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠CAB的度数。
【解析】
解：连接BC。
∵ AB是半圆的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
已知∠ADC = 106°，代入得：
∠ABC = 180° - 106° = 74°。
在Rt△ACB中，∠CAB + ∠ABC = 90°，
∴ ∠CAB = 90° - 74° = 16°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题目，核心是通过合理添加辅助线，结合圆周角相关性质和直角三角形的角度关系求解，考查对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AD是$\odot O$的直径，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形. 若$∠ DAC=∠ ABC$，$AC=4$，则$\odot O$的直径$AD=$
4√2
.答案
5. 4√2
解析
【分析】
解题时首先考虑直径的性质：直径所对的圆周角为直角，因此先连接CD，构造Rt△ACD；再利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠ABC=∠ADC，结合已知∠DAC=∠ABC，可推出∠DAC=∠ADC，即△ACD为等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可求出直径AD的长度。
【解析】
连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠ABC与∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等），
又
∵∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=∠ADC，
∴AC=CD=4（等角对等边），
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，再结合角的等量关系判断三角形的形状进行计算，掌握圆周角相关定理是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先考虑直径的性质：直径所对的圆周角为直角，因此先连接CD，构造Rt△ACD；再利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠ABC=∠ADC，结合已知∠DAC=∠ABC，可推出∠DAC=∠ADC，即△ACD为等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可求出直径AD的长度。
【解析】
连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠ABC与∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等），
又
∵∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=∠ADC，
∴AC=CD=4（等角对等边），
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，再结合角的等量关系判断三角形的形状进行计算，掌握圆周角相关定理是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 如图，OA是$\odot O$的半径，以OA为直径的$\odot C$与$\odot O$的弦AB相交于点D. 点D是AB的中点吗？为什么？
答案
6. 点D是AB的中点.理由:连接OD,可得OD⊥AB,在⊙O中,根据垂径定理,得AD=DB.
解析
【分析】
要判断点D是否是AB的中点，可结合垂径定理分析：若能证明过⊙O圆心的线段垂直于弦AB，即可得到AD=BD。观察图形可知OA是⊙C的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，我们可以作辅助线连接OD，先推导得到OD与AB的垂直关系，再结合垂径定理即可得出结论。
【解析】
点D是AB的中点，理由如下：
1. 连接OD；
2. 因为OA是⊙C的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ADO=90°$，即$OD⊥ AB$；
3. 又因为AB是⊙O的弦，OD经过⊙O的圆心O，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AD=DB$，即点D是AB的中点。
【答案】
点D是AB的中点.理由:连接OD,可得OD⊥AB,在⊙O中,根据垂径定理,得AD=DB.
【知识点】
直径所对圆周角的性质、垂径定理
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的关键是正确作出辅助线连接OD，结合直径的圆周角性质得到垂直关系，再用垂径定理推导结论，考察了学生对圆的基础性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断点D是否是AB的中点，可结合垂径定理分析：若能证明过⊙O圆心的线段垂直于弦AB，即可得到AD=BD。观察图形可知OA是⊙C的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，我们可以作辅助线连接OD，先推导得到OD与AB的垂直关系，再结合垂径定理即可得出结论。
【解析】
点D是AB的中点，理由如下：
1. 连接OD；
2. 因为OA是⊙C的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ADO=90°$，即$OD⊥ AB$；
3. 又因为AB是⊙O的弦，OD经过⊙O的圆心O，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AD=DB$，即点D是AB的中点。
【答案】
点D是AB的中点.理由:连接OD,可得OD⊥AB,在⊙O中,根据垂径定理,得AD=DB.
【知识点】
直径所对圆周角的性质、垂径定理
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的关键是正确作出辅助线连接OD，结合直径的圆周角性质得到垂直关系，再用垂径定理推导结论，考察了学生对圆的基础性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$\odot O$的半径$OD⊥$弦$AB$于点$C$，连接$AO$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$EC$.若$AB=8$，$CD=2$，则$EC$的长为 （
A.$2\sqrt{15}$
B.$8$
C.$2\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{13}$
D
）A.$2\sqrt{15}$
B.$8$
C.$2\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{13}$
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先根据OD⊥弦AB，运用垂径定理得到AC、BC的长度；接着设⊙O的半径为r，将OC用含r的式子表示，在Rt△OAC中利用勾股定理列方程求出半径r，得到OC的长度；再连接BE，根据AE是直径，由圆周角定理得∠ABE为直角，同时结合O、C分别是AE、AB的中点，判断OC是△ABE的中位线，求出BE的长度；最后在Rt△EBC中利用勾股定理计算EC的长度即可。
【解析】
1. 由垂径定理求线段长度
∵OD是⊙O的半径，且OD⊥AB，AB=8
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4
2. 列方程求圆的半径
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OC=OD-CD=r-2
在Rt△OAC中，根据勾股定理：$OA^2=AC^2+OC^2$
代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$
展开化简：$r^2=16+r^2-4r+4$，解得$4r=20$，即$r=5$
∴OC=5-2=3，直径AE=2r=10
3. 构造辅助线求BE的长度
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°（直径所对的圆周角是直角）
∵O是AE中点，C是AB中点，
∴OC是△ABE的中位线
∴BE=2OC=2×3=6，且BE//OC
∵OC⊥AB，
∴BE⊥AB，△EBC为直角三角形
4. 计算EC的长度
在Rt△EBC中，BC=4，BE=6
由勾股定理得：$EC=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合计算题，核心是结合圆的性质构造直角三角形求解，需要熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难点是合理构造辅助线BE，将未知线段EC转化到直角三角形中计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据OD⊥弦AB，运用垂径定理得到AC、BC的长度；接着设⊙O的半径为r，将OC用含r的式子表示，在Rt△OAC中利用勾股定理列方程求出半径r，得到OC的长度；再连接BE，根据AE是直径，由圆周角定理得∠ABE为直角，同时结合O、C分别是AE、AB的中点，判断OC是△ABE的中位线，求出BE的长度；最后在Rt△EBC中利用勾股定理计算EC的长度即可。
【解析】
1. 由垂径定理求线段长度
∵OD是⊙O的半径，且OD⊥AB，AB=8
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4
2. 列方程求圆的半径
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OC=OD-CD=r-2
在Rt△OAC中，根据勾股定理：$OA^2=AC^2+OC^2$
代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$
展开化简：$r^2=16+r^2-4r+4$，解得$4r=20$，即$r=5$
∴OC=5-2=3，直径AE=2r=10
3. 构造辅助线求BE的长度
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°（直径所对的圆周角是直角）
∵O是AE中点，C是AB中点，
∴OC是△ABE的中位线
∴BE=2OC=2×3=6，且BE//OC
∵OC⊥AB，
∴BE⊥AB，△EBC为直角三角形
4. 计算EC的长度
在Rt△EBC中，BC=4，BE=6
由勾股定理得：$EC=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合计算题，核心是结合圆的性质构造直角三角形求解，需要熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难点是合理构造辅助线BE，将未知线段EC转化到直角三角形中计算。
【难度系数】
0.7
8. 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=AC$。以$AB$为直径作$\odot O$，交$BC$于点$D$。若$∠ BAC=40°$，则$\overset{\frown}{AD}$的度数是
140
$°$。答案
8. 140
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AD}$的度数，首先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，也等于所对圆周角度数的2倍。我们可以先连接辅助线AD，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形三线合一的性质求出$∠ BAD$的度数，再通过圆周角定理得到$\overset{\frown}{BD}$的度数，最后用半圆弧的总度数减去$\overset{\frown}{BD}$的度数即可得到$\overset{\frown}{AD}$的度数。
【解析】
解：连接$AD$。
1. 因为$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
2. 已知$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，且$∠ BAC=40°$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$平分$∠ BAC$，因此$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$。
3. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此$\overset{\frown}{BD}$的度数为$2×∠ BAD=40°$。
4. 因为$AB$是直径，半圆$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，所以$\overset{\frown}{AD}$的度数为$180°-40°=140°$。
【答案】
140
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 圆周角定理
3. 直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形性质结合的基础题，解题的关键是正确添加辅助线$AD$，结合直径的性质得到直角，再利用等腰三角形的特征求出对应角的度数，是圆相关章节的常见典型考题。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AD}$的度数，首先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，也等于所对圆周角度数的2倍。我们可以先连接辅助线AD，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形三线合一的性质求出$∠ BAD$的度数，再通过圆周角定理得到$\overset{\frown}{BD}$的度数，最后用半圆弧的总度数减去$\overset{\frown}{BD}$的度数即可得到$\overset{\frown}{AD}$的度数。
【解析】
解：连接$AD$。
1. 因为$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
2. 已知$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，且$∠ BAC=40°$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$平分$∠ BAC$，因此$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$。
3. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此$\overset{\frown}{BD}$的度数为$2×∠ BAD=40°$。
4. 因为$AB$是直径，半圆$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，所以$\overset{\frown}{AD}$的度数为$180°-40°=140°$。
【答案】
140
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 圆周角定理
3. 直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形性质结合的基础题，解题的关键是正确添加辅助线$AD$，结合直径的性质得到直角，再利用等腰三角形的特征求出对应角的度数，是圆相关章节的常见典型考题。
【难度系数】
0.7
