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8. 如图，AB，CD是$\odot O$的弦，延长AB，CD相交于点P. 已知$∠ P=30°$，$∠ AOC=80°$，则$\overset{\frown}{BD}$的度数是 （
A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$10°$
C
）A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$10°$
答案
8. C
解析
【分析】
解题思路：我们可以结合三角形外角性质和圆周角定理求解。首先利用三角形外角的性质，得到∠ABC和∠P、∠C的数量关系；再根据圆周角定理，由已知的圆心角∠AOC求出对应圆周角∠ABC的度数，进而算出∠C的度数；最后再次利用圆周角定理，由∠C的度数推出它所对的弧BD的度数即可。
【解析】
1. 由三角形外角的性质可知，∠ABC是△PBC的外角，因此：$∠ ABC = ∠ P + ∠ C$。
2. 已知$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$∠ ABC$是弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：$∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
3. 将$∠ P=30°$、$∠ ABC=40°$代入$∠ ABC = ∠ P + ∠ C$，解得：$∠ C = 40° - 30° = 10°$。
4. $∠ C$是弧$BD$所对的圆周角，弧的度数等于它所对圆心角的度数，也等于对应圆周角度数的2倍，因此弧$BD$的度数为：$2 × ∠ C = 2 × 10° = 20°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题关键是通过三角形外角把圆心角、圆周角、圆外角的关系关联起来，熟练掌握圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路：我们可以结合三角形外角性质和圆周角定理求解。首先利用三角形外角的性质，得到∠ABC和∠P、∠C的数量关系；再根据圆周角定理，由已知的圆心角∠AOC求出对应圆周角∠ABC的度数，进而算出∠C的度数；最后再次利用圆周角定理，由∠C的度数推出它所对的弧BD的度数即可。
【解析】
1. 由三角形外角的性质可知，∠ABC是△PBC的外角，因此：$∠ ABC = ∠ P + ∠ C$。
2. 已知$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$∠ ABC$是弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：$∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
3. 将$∠ P=30°$、$∠ ABC=40°$代入$∠ ABC = ∠ P + ∠ C$，解得：$∠ C = 40° - 30° = 10°$。
4. $∠ C$是弧$BD$所对的圆周角，弧的度数等于它所对圆心角的度数，也等于对应圆周角度数的2倍，因此弧$BD$的度数为：$2 × ∠ C = 2 × 10° = 20°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题关键是通过三角形外角把圆心角、圆周角、圆外角的关系关联起来，熟练掌握圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知$AB=AC=AD$，$∠ CBD=2∠ BDC$，$∠ BAC=44°$，则$∠ CAD$的度数为（
A.$68°$
B.$88°$
C.$90°$
D.$112°$
B
）A.$68°$
B.$88°$
C.$90°$
D.$112°$
答案
9. B
解析
【分析】
首先由AB=AC=AD可知B、C、D三点在以A为圆心，AB长为半径的圆上，接下来利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，分别建立已知角∠BAC和待求角∠CAD与对应圆周角的关系，再结合∠CBD=2∠BDC的数量关系代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的同一个圆上。
根据圆周角定理可得：
∠BDC是弧BC所对的圆周角，∠BAC是弧BC所对的圆心角，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×44°=22°。
∵∠CBD=2∠BDC，
∴∠CBD=2×22°=44°。
又
∵∠CBD是弧CD所对的圆周角，∠CAD是弧CD所对的圆心角，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∴∠CAD=2∠CBD=2×44°=88°。
【答案】
B
【知识点】
圆的定义，圆周角定理
【点评】
本题解题的核心是根据共端点的等线段联想到三点共圆，利用圆周角定理转化角的关系，比通过等腰三角形计算角度更简便，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
首先由AB=AC=AD可知B、C、D三点在以A为圆心，AB长为半径的圆上，接下来利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，分别建立已知角∠BAC和待求角∠CAD与对应圆周角的关系，再结合∠CBD=2∠BDC的数量关系代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的同一个圆上。
根据圆周角定理可得：
∠BDC是弧BC所对的圆周角，∠BAC是弧BC所对的圆心角，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×44°=22°。
∵∠CBD=2∠BDC，
∴∠CBD=2×22°=44°。
又
∵∠CBD是弧CD所对的圆周角，∠CAD是弧CD所对的圆心角，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∴∠CAD=2∠CBD=2×44°=88°。
【答案】
B
【知识点】
圆的定义，圆周角定理
【点评】
本题解题的核心是根据共端点的等线段联想到三点共圆，利用圆周角定理转化角的关系，比通过等腰三角形计算角度更简便，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
10. 在$\odot O$中，弦$AB ⊥ CD$于点$E$，连接$BC$，$BD$.
（1）如图1，弦$AF ⊥ BC$于点$G$，求证：$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$；
（2）如图2，连接$OA$，$OB$，$OC$，$OD$，用等式表示$∠ AOC$与$∠ BOD$的数量关系，并证明.
（1）如图1，弦$AF ⊥ BC$于点$G$，求证：$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$；
（2）如图2，连接$OA$，$OB$，$OC$，$OD$，用等式表示$∠ AOC$与$∠ BOD$的数量关系，并证明.
答案
10. (1) $\because AB ⊥ CD,AF ⊥ BC,\therefore ∠ BEC=∠ AGB=90°,\therefore ∠ A+∠ ABC=∠ C+∠ ABC=90°,\therefore ∠ C=∠ A,\therefore \overset{\frown}{BD}$所对的圆心角$=\overset{\frown}{BF}$所对的圆心角,$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}.$(2) $∠ AOC+∠ BOD=180°$,理由如下:$\because AB ⊥ CD,\therefore ∠ BEC=90°,\therefore ∠ BCD+∠ ABC=90°. \because ∠ BOD=2∠ BCD,∠ AOC=2∠ ABC,\therefore ∠ AOC+∠ BOD=2(∠ ABC+∠ BCD)=180°.$
解析
【分析】
（1）要证明$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，只需证明两个弧对应的圆周角相等即可。结合已知的两组垂直关系，利用同角的余角相等可推导出对应圆周角相等，进而证明弧相等。
（2）要探究$∠AOC$与$∠BOD$的数量关系，根据圆周角定理，圆心角的度数等于它所对弧上圆周角度数的2倍，因此先推导两个圆心角对应的圆周角的数量关系，再结合垂直条件下直角三角形两锐角互余的性质，即可得到两个圆心角的数量关系。
【解析】
（1）证明：$\because AB ⊥ CD$，$AF ⊥ BC$，
$\therefore ∠BEC=∠AGB=90°$，
$\therefore ∠C+∠ABC=90°$，$∠A+∠ABC=90°$，
$\therefore ∠C=∠A$，
$\because ∠C$对应$\overset{\frown}{BD}$，$∠A$对应$\overset{\frown}{BF}$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{BF}$所对的圆心角相等，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$。
（2）$∠AOC + ∠BOD = 180°$，证明如下：
$\because AB ⊥ CD$，
$\therefore ∠BEC=90°$，
$\therefore ∠BCD+∠ABC=90°$，
根据圆周角定理可得：$∠BOD=2∠BCD$，$∠AOC=2∠ABC$，
$\therefore ∠AOC + ∠BOD = 2(∠ABC+∠BCD)=2×90°=180°$。
【答案】
（1）$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$，证明见解析；
（2）$\boldsymbol{∠AOC + ∠BOD = 180°}$
【知识点】
圆周角定理，同角的余角相等，直角的性质
【点评】
本题是圆的基础性质综合题，解题核心是熟练掌握弧、圆周角、圆心角之间的转化关系，结合直角三角形的角度性质求解，是巩固圆周角相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，只需证明两个弧对应的圆周角相等即可。结合已知的两组垂直关系，利用同角的余角相等可推导出对应圆周角相等，进而证明弧相等。
（2）要探究$∠AOC$与$∠BOD$的数量关系，根据圆周角定理，圆心角的度数等于它所对弧上圆周角度数的2倍，因此先推导两个圆心角对应的圆周角的数量关系，再结合垂直条件下直角三角形两锐角互余的性质，即可得到两个圆心角的数量关系。
【解析】
（1）证明：$\because AB ⊥ CD$，$AF ⊥ BC$，
$\therefore ∠BEC=∠AGB=90°$，
$\therefore ∠C+∠ABC=90°$，$∠A+∠ABC=90°$，
$\therefore ∠C=∠A$，
$\because ∠C$对应$\overset{\frown}{BD}$，$∠A$对应$\overset{\frown}{BF}$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{BF}$所对的圆心角相等，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$。
（2）$∠AOC + ∠BOD = 180°$，证明如下：
$\because AB ⊥ CD$，
$\therefore ∠BEC=90°$，
$\therefore ∠BCD+∠ABC=90°$，
根据圆周角定理可得：$∠BOD=2∠BCD$，$∠AOC=2∠ABC$，
$\therefore ∠AOC + ∠BOD = 2(∠ABC+∠BCD)=2×90°=180°$。
【答案】
（1）$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$，证明见解析；
（2）$\boldsymbol{∠AOC + ∠BOD = 180°}$
【知识点】
圆周角定理，同角的余角相等，直角的性质
【点评】
本题是圆的基础性质综合题，解题核心是熟练掌握弧、圆周角、圆心角之间的转化关系，结合直角三角形的角度性质求解，是巩固圆周角相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
11. 如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是$55°$,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器
4
台. 答案
11. 4
解析
【分析】
解题时首先结合圆周角定理，把监视器的监控角度（圆周角）转化为其对应监控弧的圆心角度数；再明确要监控整个圆形展区，即所有监视器监控的弧的圆心角之和至少要等于整个圆周的圆心角360°，通过计算即可得出最少需要的监视器数量。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半。
已知监视器的监控角度为55°（属于圆周角），因此每台监视器可监控的弧对应的圆心角为：
$2×55°=110°$
要覆盖整个圆周（总圆心角为$360°$），设需要$n$台监视器，则满足：
$110°× n≥360°$
解得$n≥\frac{360}{110}\approx3.27$
由于$n$为正整数，因此$n$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查圆周角定理的应用，解题的核心是将实际监控范围转化为对应的圆心角范围，再通过不等式求解最小数量，难度不高，侧重知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合圆周角定理，把监视器的监控角度（圆周角）转化为其对应监控弧的圆心角度数；再明确要监控整个圆形展区，即所有监视器监控的弧的圆心角之和至少要等于整个圆周的圆心角360°，通过计算即可得出最少需要的监视器数量。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半。
已知监视器的监控角度为55°（属于圆周角），因此每台监视器可监控的弧对应的圆心角为：
$2×55°=110°$
要覆盖整个圆周（总圆心角为$360°$），设需要$n$台监视器，则满足：
$110°× n≥360°$
解得$n≥\frac{360}{110}\approx3.27$
由于$n$为正整数，因此$n$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查圆周角定理的应用，解题的核心是将实际监控范围转化为对应的圆心角范围，再通过不等式求解最小数量，难度不高，侧重知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图，OA，OB，OC都是$\odot O$的半径，$∠ ACB=2∠ BAC$.
（1）求证：$∠ AOB=2∠ BOC$；
（2）若$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.
（1）求证：$∠ AOB=2∠ BOC$；
（2）若$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.
答案
12. (1) $\because ∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB,∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC,∠ ACB=2∠ BAC,\therefore ∠ AOB=2∠ BOC$；(2)过点 O 作半径 $OD ⊥ AB$ 于点 E，连接 DB,$\therefore AE=BE. \because ∠ AOB=2∠ BOC,∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB,\therefore ∠ DOB=∠ BOC,\therefore BD=BC. \because AB=4$,$BC=\sqrt{5}$,$\therefore BE=2,DB=\sqrt{5}$,在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$∠ DEB=90°, \therefore DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=1$,在 $\mathrm{Rt}△ BOE$ 中,$∠ OEB=90°$,$OB^2=(OB-1)^2+2^2$,解得 $OB=\frac{5}{2}$,即$\odot O$的半径是$\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
（1）要证明两个圆心角的倍数关系，可利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，将题干给出的圆周角的倍数关系转化为圆心角的关系即可完成证明。
（2）要求圆的半径，可通过作辅助线构造直角三角形求解：过点O作AB的垂线，结合垂径定理得到AB一半的长度，再利用第一问推出的圆心角关系得到相等的弦，最后在两个直角三角形中用勾股定理，设半径为未知数列方程即可求出结果。
【解析】
（1）证明：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，
$\because ∠ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，$\therefore ∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB$；
$\because ∠BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，$\therefore ∠BAC=\frac{1}{2}∠BOC$；
已知$∠ACB=2∠BAC$，代入上述关系得：$\frac{1}{2}∠AOB=2×\frac{1}{2}∠BOC$，化简后可得$∠AOB=2∠BOC$。
（2）解：过点O作半径$OD⊥AB$于点E，连接$DB$，
由垂径定理可得$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，且$OD$平分$∠AOB$，即$∠DOB=\frac{1}{2}∠AOB$。
结合（1）的结论$∠AOB=2∠BOC$，可得$∠DOB=∠BOC$，同圆中相等的圆心角所对的弦相等，因此$BD=BC$。
已知$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，则$BE=2$，$DB=\sqrt{5}$，
在$\mathrm{Rt}△BDE$中，$∠DEB=90°$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=r$，$OE=OD-DE=r-1$，
在$\mathrm{Rt}△BOE$中，$∠OEB=90°$，由勾股定理得$OB^2=OE^2+BE^2$，
代入得$r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开化简得$2r=5$，解得$r=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 已证$∠AOB=2∠BOC$；(2) $\odot O$的半径是$\frac{5}{2}$。
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问直接考查圆周角定理的应用，第二问结合垂径定理和勾股定理求解半径，掌握圆中常见辅助线的作法、合理运用方程思想是解题的关键，属于圆内线段计算的常规题型。
【难度系数】
0.65
（1）要证明两个圆心角的倍数关系，可利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，将题干给出的圆周角的倍数关系转化为圆心角的关系即可完成证明。
（2）要求圆的半径，可通过作辅助线构造直角三角形求解：过点O作AB的垂线，结合垂径定理得到AB一半的长度，再利用第一问推出的圆心角关系得到相等的弦，最后在两个直角三角形中用勾股定理，设半径为未知数列方程即可求出结果。
【解析】
（1）证明：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，
$\because ∠ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，$\therefore ∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB$；
$\because ∠BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，$\therefore ∠BAC=\frac{1}{2}∠BOC$；
已知$∠ACB=2∠BAC$，代入上述关系得：$\frac{1}{2}∠AOB=2×\frac{1}{2}∠BOC$，化简后可得$∠AOB=2∠BOC$。
（2）解：过点O作半径$OD⊥AB$于点E，连接$DB$，
由垂径定理可得$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，且$OD$平分$∠AOB$，即$∠DOB=\frac{1}{2}∠AOB$。
结合（1）的结论$∠AOB=2∠BOC$，可得$∠DOB=∠BOC$，同圆中相等的圆心角所对的弦相等，因此$BD=BC$。
已知$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，则$BE=2$，$DB=\sqrt{5}$，
在$\mathrm{Rt}△BDE$中，$∠DEB=90°$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=r$，$OE=OD-DE=r-1$，
在$\mathrm{Rt}△BOE$中，$∠OEB=90°$，由勾股定理得$OB^2=OE^2+BE^2$，
代入得$r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开化简得$2r=5$，解得$r=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 已证$∠AOB=2∠BOC$；(2) $\odot O$的半径是$\frac{5}{2}$。
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问直接考查圆周角定理的应用，第二问结合垂径定理和勾股定理求解半径，掌握圆中常见辅助线的作法、合理运用方程思想是解题的关键，属于圆内线段计算的常规题型。
【难度系数】
0.65
