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9. 如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连接BD.
(1) 判断△BDE的形状,并证明你的结论;
(2) 若AB=10,BE=2√10,求BC的长.
(1) 判断△BDE的形状,并证明你的结论;
(2) 若AB=10,BE=2√10,求BC的长.
答案
9. (1) $△ BDE$为等腰直角三角形.证明:$\because$ AE平分$∠ BAC$,BE平分$∠ ABC$.
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD = ∠ CBD, ∠ ABE = ∠ EBC. \because ∠ BED = ∠ BAE + ∠ ABE, ∠ DBE = ∠ DBC + ∠ CBE,$
$\therefore ∠ BED = ∠ DBE, \therefore BD = ED. \because AB$为直径,$\therefore ∠ ADB = 90°, \therefore △ BDE$是等腰直角三角形.
(2) 如图,连接$OC,CD,OD,OD$交$BC$于点$F. \because ∠ DBC = ∠ CAD = ∠ BAD = ∠ BCD, \therefore BD = DC. \because OB = OC, \therefore OD$垂直平分$BC. \because △ BDE$是等腰直角三角形,$BE = 2\sqrt{10}, \therefore BD = 2\sqrt{5}. \because AB = 10, \therefore OB = OD = 5$.设$OF = t$,则$DF = 5 - t$.在$\mathrm{Rt}△ BOF$和$\mathrm{Rt}△ BDF$中,$5^2 - t^2 = (2\sqrt{5})^2 - (5 - t)^2$,解得$t = 3, \therefore BF = 4, \therefore BC = 8$.
解析
【分析】
(1) 要判断△BDE的形状，首先结合角平分线条件，利用圆周角定理转化相等的圆周角，再结合三角形外角性质证明∠BED=∠DBE，得到BD=ED；再根据AB是直径可得∠ADB=90°，即可确定三角形形状。
(2) 求BC的长时，先通过圆周角相等推导BD=DC，结合OB=OC可知OD垂直平分BC，将求BC转化为求2BF；先根据等腰直角三角形性质求出BD长度，再设OF为t，分别在Rt△BOF和Rt△BDF中用勾股定理表示BF²，列方程求解t，进而求出BF即可得到BC的长。
【解析】
(1) $△ BDE$为等腰直角三角形，证明如下：
$\because$ AE平分$∠ BAC$，BE平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD$，$∠ ABE = ∠ EBC$，
由同弧所对的圆周角相等可得$∠ CAD = ∠ CBD$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ CBD$。
$\because ∠ BED$是$△ ABE$的外角，$\therefore ∠ BED = ∠ BAE + ∠ ABE$，
又$\because ∠ DBE = ∠ CBD + ∠ CBE$，
$\therefore ∠ BED = ∠ DBE$，$\therefore BD = ED$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，$\therefore ∠ ADB = 90°$，
$\therefore △ BDE$是等腰直角三角形。
(2) 连接$OC,CD,OD$，$OD$交$BC$于点$F$。
$\because ∠ DBC = ∠ CAD = ∠ BAD = ∠ BCD$，
$\therefore ∠ DBC = ∠ BCD$，$\therefore BD = DC$。
又$\because OB = OC$，$\therefore OD$垂直平分$BC$，即$BF=FC$，$∠ BFO=90°$。
$\because △ BDE$是等腰直角三角形，$BE = 2\sqrt{10}$，
由勾股定理得$2BD^2 = BE^2$，代入数值解得$BD = 2\sqrt{5}$。
$\because AB = 10$，$\therefore \odot O$的半径$OB = OD = 5$。
设$OF = t$，则$DF = 5 - t$，
在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，$BF^2 = OB^2 - OF^2 = 5^2 - t^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$BF^2 = BD^2 - DF^2 = (2\sqrt{5})^2 - (5 - t)^2$，
$\therefore 5^2 - t^2 = (2\sqrt{5})^2 - (5 - t)^2$，
解得$t = 3$，代入得$BF^2 = 25 - 9 = 16$，$\therefore BF = 4$，
$\therefore BC = 2BF = 8$。
【答案】
(1) $△ BDE$为等腰直角三角形，证明见解析；
(2) $BC$的长为$8$。
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、角平分线性质、线段垂直平分线的判定与性质，解题关键是利用圆周角定理实现角的等量转化，第二小问通过公共边建立勾股方程求解是圆中求线段长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断△BDE的形状，首先结合角平分线条件，利用圆周角定理转化相等的圆周角，再结合三角形外角性质证明∠BED=∠DBE，得到BD=ED；再根据AB是直径可得∠ADB=90°，即可确定三角形形状。
(2) 求BC的长时，先通过圆周角相等推导BD=DC，结合OB=OC可知OD垂直平分BC，将求BC转化为求2BF；先根据等腰直角三角形性质求出BD长度，再设OF为t，分别在Rt△BOF和Rt△BDF中用勾股定理表示BF²，列方程求解t，进而求出BF即可得到BC的长。
【解析】
(1) $△ BDE$为等腰直角三角形，证明如下：
$\because$ AE平分$∠ BAC$，BE平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD$，$∠ ABE = ∠ EBC$，
由同弧所对的圆周角相等可得$∠ CAD = ∠ CBD$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ CBD$。
$\because ∠ BED$是$△ ABE$的外角，$\therefore ∠ BED = ∠ BAE + ∠ ABE$，
又$\because ∠ DBE = ∠ CBD + ∠ CBE$，
$\therefore ∠ BED = ∠ DBE$，$\therefore BD = ED$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，$\therefore ∠ ADB = 90°$，
$\therefore △ BDE$是等腰直角三角形。
(2) 连接$OC,CD,OD$，$OD$交$BC$于点$F$。
$\because ∠ DBC = ∠ CAD = ∠ BAD = ∠ BCD$，
$\therefore ∠ DBC = ∠ BCD$，$\therefore BD = DC$。
又$\because OB = OC$，$\therefore OD$垂直平分$BC$，即$BF=FC$，$∠ BFO=90°$。
$\because △ BDE$是等腰直角三角形，$BE = 2\sqrt{10}$，
由勾股定理得$2BD^2 = BE^2$，代入数值解得$BD = 2\sqrt{5}$。
$\because AB = 10$，$\therefore \odot O$的半径$OB = OD = 5$。
设$OF = t$，则$DF = 5 - t$，
在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，$BF^2 = OB^2 - OF^2 = 5^2 - t^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$BF^2 = BD^2 - DF^2 = (2\sqrt{5})^2 - (5 - t)^2$，
$\therefore 5^2 - t^2 = (2\sqrt{5})^2 - (5 - t)^2$，
解得$t = 3$，代入得$BF^2 = 25 - 9 = 16$，$\therefore BF = 4$，
$\therefore BC = 2BF = 8$。
【答案】
(1) $△ BDE$为等腰直角三角形，证明见解析；
(2) $BC$的长为$8$。
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、角平分线性质、线段垂直平分线的判定与性质，解题关键是利用圆周角定理实现角的等量转化，第二小问通过公共边建立勾股方程求解是圆中求线段长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
10. 如图，AC是$\odot O$的弦，$AC=5$，点B是$\odot O$上的一个动点，且$∠ ABC=45°$，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
。答案
10. $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
首先观察点M、N的位置，二者分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，由此可得MN的长度等于AB长度的一半，因此求MN的最大值可转化为求AB的最大值。圆中最长的弦是直径，因此当AB为直径时AB取得最大值。接下来结合已知的∠ABC=45°，利用圆周角定理及直角三角形的性质求出直径AB的长度，即可得到MN的最大值。
【解析】
解：
∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴$MN = \frac{1}{2}AB$，
∴要使MN取得最大值，只需AB取得最大值即可。
∵AB是$\odot O$的弦，圆中最长的弦为直径，
∴当AB为$\odot O$的直径时，AB最大。
当AB为直径时，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$，
又
∵$∠ ABC=45°$，
∴△ABC是等腰直角三角形，$AC=BC=5$，
∴$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$，
∴MN的最大值为 $\frac{1}{2}AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，圆的弦的性质
【点评】
本题解题的核心是利用转化思想，将求MN的最大值转化为求圆中弦AB的最大值，结合中位线、圆周角的相关性质即可求解，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察点M、N的位置，二者分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，由此可得MN的长度等于AB长度的一半，因此求MN的最大值可转化为求AB的最大值。圆中最长的弦是直径，因此当AB为直径时AB取得最大值。接下来结合已知的∠ABC=45°，利用圆周角定理及直角三角形的性质求出直径AB的长度，即可得到MN的最大值。
【解析】
解：
∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴$MN = \frac{1}{2}AB$，
∴要使MN取得最大值，只需AB取得最大值即可。
∵AB是$\odot O$的弦，圆中最长的弦为直径，
∴当AB为$\odot O$的直径时，AB最大。
当AB为直径时，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$，
又
∵$∠ ABC=45°$，
∴△ABC是等腰直角三角形，$AC=BC=5$，
∴$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$，
∴MN的最大值为 $\frac{1}{2}AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，圆的弦的性质
【点评】
本题解题的核心是利用转化思想，将求MN的最大值转化为求圆中弦AB的最大值，结合中位线、圆周角的相关性质即可求解，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
11.【问题提出】
（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最大值为
【问题探究】
（2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，连接BP，CP，则∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，有一块形状为△ABC的湿地，其中∠BAC＝90°，AB＝6 km，AC＝3 km.点D是AC上的一个动点，以AD为直径在△ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接BD，BD与半圆O交于点E，连接CE，沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值.
（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最大值为
12
；【问题探究】
（2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，连接BP，CP，则∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，有一块形状为△ABC的湿地，其中∠BAC＝90°，AB＝6 km，AC＝3 km.点D是AC上的一个动点，以AD为直径在△ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接BD，BD与半圆O交于点E，连接CE，沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值.
答案
11. (1) 12
(2) 根据题意得$BC=4$是定值,$∠ BPC=90°$,$\therefore$ 点P的轨迹在以BC为直径的圆O上部分,如图1,连接AO,交圆O于点$P'$,此时$AP'$即为AP的最小.$\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore AB=BC=4$,$∠ ABC=90°. \because BO=OP'=\frac{1}{2}BC=2, \therefore AO=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}, \therefore AP'=AO-OP'=2\sqrt{5}-2$,$\therefore AP$的最小值为$2\sqrt{5}-2$；
(3) 如图2,连接AE,根据题意得:$∠ AED=90°$,以AB为直径作圆Q,$∠ BEA=90°$,$\therefore$ 点E在以AB为直径作圆Q上,连接QE,当点Q,E,C三点共线时,CE取得最小值.$\because ∠ BAC=90°$,$AB=6\ \mathrm{km}$,$AC=3\ \mathrm{km}$,$\therefore AQ=QE=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{km}$,在$\mathrm{Rt}△ ACQ$中,由勾股定理得:$CQ=\sqrt{AQ^2+AC^2}=3\sqrt{2}\ \mathrm{km}$,$\therefore CE=CQ-QE=(3\sqrt{2}-3)\mathrm{km}$,$\therefore CE$的最小值为$(3\sqrt{2}-3)\mathrm{km}$.
解析
【分析】
本题为动点最值类问题，核心思路是先依据定角判断动点轨迹为圆弧，再结合“点到圆上点的最短距离为点到圆心距离减半径，最长距离为点到圆心距离加半径”的规律，搭配勾股定理计算求解。
(1) 求PQ最大值时，PQ是点P到直线m的垂线段，当P在过O作直线m的垂线的延长线（远离m一侧）时，PQ最长，等于圆心O到m的距离加圆半径。
(2) ∠BPC=90°且BC为定值，根据圆周角定理，直角对直径，可得点P的轨迹是以BC为直径的圆，求AP最小值只需用A到圆心的距离减去半径即可。
(3) 由AD是半圆直径可得∠AEB=90°，因此E的轨迹是以AB为直径的圆，同理用C到该圆圆心的距离减半径即可得到CE的最小值。
【解析】
(1) 过O作OH⊥直线m于点H，可知OH=7，当P、O、H三点共线且P在HO延长线上时，PQ取最大值，最大值为OH+OP=7+5=12。
(2)
∵∠BPC=90°，BC为定值，
∴点P的轨迹是以BC为直径的圆O。
连接AO，交圆O于点P'，此时AP'即为AP的最小值。
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°，
圆O的半径$BO=OP'=\frac{1}{2}BC=2$，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：$AO=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴$AP'=AO-OP'=2\sqrt{5}-2$，即AP的最小值为$2\sqrt{5}-2$。
(3) 连接AE，
∵AD是半圆O的直径，
∴∠AED=90°，即∠AEB=90°，
∴点E的轨迹是以AB为直径的圆Q。
连接CQ、QE，当Q、E、C三点共线时，CE取得最小值。
∵AB=6km，
∴圆Q的半径$AQ=QE=\frac{1}{2}AB=3\mathrm{km}$，
又
∵∠BAC=90°，AC=3km，在Rt△ACQ中，由勾股定理得：
$CQ=\sqrt{AQ^2+AC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\mathrm{km}$，
∴$CE=CQ-QE=(3\sqrt{2}-3)\mathrm{km}$，即CE的最小值为$(3\sqrt{2}-3)\mathrm{km}$。
【答案】
(1) 12
(2) $2\sqrt{5}-2$
(3) $(3\sqrt{2}-3)\mathrm{km}$
【知识点】
圆周角定理，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题是动点最值的典型题型，解题关键是根据直角圆周角确定动点的圆弧轨迹，再结合点到圆的距离规律求解，能有效考查轨迹判断和几何计算的综合能力。
【难度系数】
0.6
本题为动点最值类问题，核心思路是先依据定角判断动点轨迹为圆弧，再结合“点到圆上点的最短距离为点到圆心距离减半径，最长距离为点到圆心距离加半径”的规律，搭配勾股定理计算求解。
(1) 求PQ最大值时，PQ是点P到直线m的垂线段，当P在过O作直线m的垂线的延长线（远离m一侧）时，PQ最长，等于圆心O到m的距离加圆半径。
(2) ∠BPC=90°且BC为定值，根据圆周角定理，直角对直径，可得点P的轨迹是以BC为直径的圆，求AP最小值只需用A到圆心的距离减去半径即可。
(3) 由AD是半圆直径可得∠AEB=90°，因此E的轨迹是以AB为直径的圆，同理用C到该圆圆心的距离减半径即可得到CE的最小值。
【解析】
(1) 过O作OH⊥直线m于点H，可知OH=7，当P、O、H三点共线且P在HO延长线上时，PQ取最大值，最大值为OH+OP=7+5=12。
(2)
∵∠BPC=90°，BC为定值，
∴点P的轨迹是以BC为直径的圆O。
连接AO，交圆O于点P'，此时AP'即为AP的最小值。
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°，
圆O的半径$BO=OP'=\frac{1}{2}BC=2$，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：$AO=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴$AP'=AO-OP'=2\sqrt{5}-2$，即AP的最小值为$2\sqrt{5}-2$。
(3) 连接AE，
∵AD是半圆O的直径，
∴∠AED=90°，即∠AEB=90°，
∴点E的轨迹是以AB为直径的圆Q。
连接CQ、QE，当Q、E、C三点共线时，CE取得最小值。
∵AB=6km，
∴圆Q的半径$AQ=QE=\frac{1}{2}AB=3\mathrm{km}$，
又
∵∠BAC=90°，AC=3km，在Rt△ACQ中，由勾股定理得：
$CQ=\sqrt{AQ^2+AC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\mathrm{km}$，
∴$CE=CQ-QE=(3\sqrt{2}-3)\mathrm{km}$，即CE的最小值为$(3\sqrt{2}-3)\mathrm{km}$。
【答案】
(1) 12
(2) $2\sqrt{5}-2$
(3) $(3\sqrt{2}-3)\mathrm{km}$
【知识点】
圆周角定理，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题是动点最值的典型题型，解题关键是根据直角圆周角确定动点的圆弧轨迹，再结合点到圆的距离规律求解，能有效考查轨迹判断和几何计算的综合能力。
【难度系数】
0.6
