1. 下列函数中,是正比例函数的是 （）

A.$y=2(x-1)$
B.$y=\dfrac{1}{2x}$
C.$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
D.$y=\dfrac{x}{2}$

1.D

【分析】
要判断哪个函数是正比例函数，首先要明确正比例函数的定义和判断标准：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$是常数，且$k≠0$），需满足三个要求：①等式右侧是整式；②自变量的次数为1；③没有常数项，且自变量的系数不为0。接下来我们用这个标准逐一验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做正比例函数。我们对每个选项逐一分析：
选项A：将式子展开得$y=2x-2$，式子含有常数项$-2$，属于一次函数，不是正比例函数，排除；
选项B：$y=\dfrac{1}{2x}$的分母含有自变量$x$，属于分式，不符合正比例函数右侧为整式的要求，是反比例函数，排除；
选项C：$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$中自变量$a$的次数是2，属于二次函数，排除；
选项D：$y=\dfrac{x}{2}$可变形为$y=\dfrac{1}{2}x$，符合$y=kx$（$k=\dfrac{1}{2}≠0$）的形式，是正比例函数。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是牢记正比例函数的形式特征，注意区分正比例函数和其他类型函数（一次函数、反比例函数、二次函数）的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

2. 在平面直角坐标系中，已知点$(1,2)$与$(2,4)$在直线$l$上，则直线$l$必经过点 （）

A.$(-2,-1)$
B.$(-1,-2)$
C.$(6,3)$
D.$(6,8)$

2.B

【分析】
要判断直线l必经过哪个点，首先需根据已知的两个点坐标求出直线l的一次函数解析式，因为直线上所有点的坐标都满足该解析式。求出解析式后，将各选项的横坐标代入解析式计算对应纵坐标，和选项给出的纵坐标对比，二者相等的点就是直线经过的点。
【解析】
解：设直线l的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），
将点$(1,2)$、$(2,4)$分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}k + b = 2 \\2k + b = 4\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k = 2$，
将$k=2$代入$k + b = 2$，得$2 + b = 2$，解得$b = 0$，
因此直线l的解析式为$y = 2x$。
逐个验证选项：
A. 当$x=-2$时，$y=2×(-2)=-4≠-1$，点$(-2,-1)$不在直线l上；
B. 当$x=-1$时，$y=2×(-1)=-2$，点$(-1,-2)$在直线l上；
C. 当$x=6$时，$y=2×6=12≠3$，点$(6,3)$不在直线l上；
D. 当$x=6$时，$y=2×6=12≠8$，点$(6,8)$不在直线l上。
【答案】B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础题，核心考查待定系数法的应用和点在函数图象上的判定规则，掌握一次函数的基本性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8

3.一次函数$y=kx+b$的图象在直角坐标系中的位置如图1所示，这个函数的解析式是（）

A.$y=2x+4$
B.$y=2x-4$
C.$y=-2x+4$
D.$y=-2x-4$

3.C

【分析】
要确定一次函数的解析式，我们使用待定系数法，解题思路如下：首先从函数图像中提取直线经过的两个明确的点的坐标，再将两点坐标代入一次函数的一般式$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可得到函数解析式，再对应选项选出答案。
【解析】
从图中可知，一次函数的图像经过点$(2,0)$和点$(1,2)$，将两点代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 0 \\k + b = 2 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：
$2k + b - (k + b) = 0 - 2$
解得$k=-2$
将$k=-2$代入$k + b = 2$，得：
$-2 + b = 2$
解得$b=4$
因此该一次函数的解析式为$y=-2x+4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像
【点评】
本题是一次函数的基础题型，解题关键是从图像中准确获取直线经过的点的坐标，熟练掌握待定系数法的求解步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8

4.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图2,直线$y=x+5$和直线$y=ax+b$相交于点P,根据图象可知,关于x和y的二元一次方程组$\begin{cases}y=x+5, \\ y=ax+b\end{cases}$的解是（ ）


A.$\begin{cases} x=20, \\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=20, \\ y=25 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=25 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=25, \\ y=20 \end{cases}$

4.B

【分析】
解答本题的核心是明确一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组的两个方程分别对应两条一次函数的直线，同时满足两个方程的x、y值就是两条直线交点的横、纵坐标，因此求方程组的解只需要确定两条直线的交点坐标即可。
【解析】
因为二元一次方程组中每个方程都对应一条一次函数图象，方程组的解就是同时满足两个方程的x、y的值，对应图象上就是两条直线的交点坐标。
由图可知，直线$y=x+5$和直线$y=ax+b$的交点为$P(20,25)$，即当$x=20$、$y=25$时，两个函数解析式都成立，因此方程组$\begin{cases}y=x+5 \\ y=ax+b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=20 \\ y=25\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系、函数图象交点的意义
【点评】
本题是基础类题目，重点考察一次函数和二元一次方程组的对应关系，解题的关键是牢记两个一次函数图象的交点坐标就是其对应的二元一次方程组的解，很好地体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.9

5.已知一次函数$y=-0.5x+2$，当$1≤ x≤4$时，$y$的最大值是。

5.1.5

【分析】
首先回忆一次函数的增减性规律：一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$）中，当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题中一次函数的$k=-0.5＜0$，因此在给定的$x$取值范围内，$x$取最小值时对应的$y$值最大，只需将$x$的最小值代入函数解析式计算即可得到$y$的最大值。
【解析】
解：对于一次函数$y=-0.5x+2$，
$\because k=-0.5＜0$，
$\therefore y$随$x$的增大而减小，
又$\because 1\le x\le4$，
$\therefore$当$x=1$时，$y$取得最大值，
将$x=1$代入解析式得：
$y=-0.5×1+2=1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
一次函数的增减性，一次函数求值
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题型，解题核心是先通过$k$的符号判断函数增减性，再结合自变量的取值范围确定最值对应的自变量取值，代入计算即可，注意不要混淆增减性规律导致选错$x$的值。
【难度系数】
0.8

6.已知一个正比例函数的图象经过点(-2,3)，
则这个正比例函数的解析式是。

6.$y=-\dfrac{3}{2}x$

【分析】
要确定正比例函数的解析式，首先回忆正比例函数的一般形式为$y = kx$（$k$为常数，且$k≠0$），其中只有未知系数$k$待求。已知函数图象经过点$(-2,3)$，说明该点的横、纵坐标满足函数解析式，因此只需将点的坐标代入一般式，即可求出$k$的值，进而得到完整的函数解析式。
【解析】
解：设这个正比例函数的解析式为$y = kx$（$k≠0$，$k$为常数）。
∵ 正比例函数图象经过点$(-2,3)$，
∴ 将$x=-2$，$y=3$代入$y = kx$，得：
$3 = -2k$
解得$k = -\dfrac{3}{2}$
将$k = -\dfrac{3}{2}$代入$y = kx$，可得函数解析式为$y = -\dfrac{3}{2}x$。
【答案】
$y=-\dfrac{3}{2}x$
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法；点与函数解析式的关系
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查利用待定系数法求函数解析式的方法，解题的关键是牢记正比例函数的一般形式，理解函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式，属于常规得分题。
【难度系数】
0.9

7.已知一次函数$y=mx+2m-2$（$m$为常数，且$m≠0$）.
(1)若该函数的图象经过原点，求一次函数的解析式；
(2)当$m＞1$时，该函数图象不经过第象限.

7.(1)$y=x$ (2)四

【分析】
(1) 函数图象经过原点，说明原点(0,0)满足函数解析式，我们可以利用待定系数法，将x=0、y=0代入解析式求出m的值，再回代就能得到一次函数的解析式。
(2) 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过的象限由k和b的符号共同决定：k＞0时函数图象从左到右上升，k＜0时下降；b＞0时图象与y轴交于正半轴，b＜0时交于负半轴。我们先根据m＞1分别判断k=m和截距b=2m-2的符号，就能推出图象不经过的象限。
【解析】
(1)
∵ 一次函数$y=mx+2m-2$的图象经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0 = m×0 + 2m - 2$
解得$m=1$
将$m=1$代入原解析式，得$y=1× x +2×1 -2 = x$
∴ 一次函数的解析式为$y=x$。
(2) 对于一次函数$y=mx+2m-2$，斜率$k=m$，y轴截距$b=2m-2$
当$m＞1$时：
$k=m＞1＞0$，说明函数图象从左到右上升；
$b=2m-2=2(m-1)$，
∵$m＞1$，
∴$m-1＞0$，即$b＞0$，说明函数图象与y轴交于正半轴。
结合一次函数图象性质，$k＞0$且$b＞0$时，函数图象经过第一、二、三象限，因此不经过第四象限。
【答案】
(1)$y=x$；(2)四
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象与性质
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，解题的核心是掌握点在函数图象上的特征以及一次函数中k、b的符号对图象分布的影响，熟练运用相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

8.已知点P(k,b)在第二象限,则一次函数y=(k-1)x+b+1的图象可能是 ()

8.A

【分析】
要判断一次函数的图象，首先根据点P在第二象限得到参数k、b的符号，再分别判断一次函数的一次项系数（斜率）和常数项（y轴截距）的符号，根据一次函数图象的性质，逐一排除不符合的选项即可。
第一步：回忆第二象限点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，可得k＜0，b＞0；
第二步：分析一次项系数k-1的符号：k本来小于0，减1后仍小于0，说明直线呈下降趋势，排除斜率为正的选项；
第三步：分析常数项b+1的符号：b大于0，加1后仍大于0，说明直线与y轴交于正半轴，排除截距为负的选项，最终得到正确答案。
【解析】
解：
∵点P(k,b)在第二象限，
∴第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，即$k＜0$，$b＞0$。
对于一次函数$y=(k-1)x + b+1$：
1. 分析一次项系数：
∵$k＜0$，
∴$k-1 ＜ 0 - 1 = -1 ＜ 0$，
∴一次函数图象呈下降趋势，y随x的增大而减小，排除图象上升的C、D选项。
2. 分析常数项（y轴截距）：
∵$b＞0$，
∴$b+1 ＞ 0 + 1 = 1 ＞ 0$，
∴一次函数图象与y轴的交点在y轴正半轴，排除交点在y轴负半轴的B选项。
综上，符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数图象的基础判断题，解题关键是先根据点所在象限得到参数的符号，再结合一次函数斜率、截距和图象的对应关系筛选选项，属于对基础知识的综合考查。
【难度系数】
0.8