14. (2024秋·泰州期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF.
（1）求证：EF=CF；
（2）若∠BAC=30°，AD=12，求C，E两点之间的距离.

14. （1）证明:$\because DE⊥ AB,\therefore ∠ DEA=90°$,在 $\mathrm{Rt}△AED$ 和$\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$\because$ 点 F 是斜边 AD 的中点,$\therefore EF=\frac{1}{2} AD$,$CF=\frac{1}{2} AD,\therefore EF=CF$；
（2）解:如图,连接CE,由(1)得 $EF=AF=CF=\frac{1}{2} AD=6,\therefore ∠ FEA=∠ FAE,∠ FCA=∠ FAC,\therefore ∠ EFC=2∠ FAE+2∠ FAC=2∠ BAC=2×30°=60°,\therefore △ EFC$ 是等边三角形,$\therefore CE=EF=6,\therefore C,E$ 两点间的距离是6.
第14题

15. (2025春·泉山区阶段考)已知:如图,$∠ ABC=∠ ADC=90°$,$E,F$分别是$AC,BD$的中点. (1)求证:$EF⊥ BD$; (2)若$∠ BAD=30°$,$AC=8$,求$BD$的长.

15. （1）证明:如图,连接 BE, DE, $\because ∠ ABC =∠ ADC=90°$,E 是 AC 的中点,$\therefore BE=DE=\frac{1}{2} AC$.
$\because F$ 是 BD 的中点,$\therefore EF⊥ BD$；
（2）解:由(1)可知,$BE=AE=DE=\frac{1}{2} AC=4,\therefore ∠ EAB=∠ EBA$,$∠ EAD=∠ EDA,\therefore 2∠ EAB=∠ CEB,2∠ EAD=∠ CED. \because ∠ BAD=30°,\therefore ∠ BED=60°,\because BE=DE,\therefore △ BED$ 是等边三角形,$\therefore BD=BE=4$.
第15题

16. (2024春·龙泉驿区期末)如图1，$△ ABC$为等腰三角形，$AB=AC$，$D$是线段$BC$的中点，过点$D$作射线$DE$和射线$DF$，分别交边$AB$，$AC$于点$E$，$F$，$∠ AED+∠ AFD=180°$.
(1) $∠ AED$与$∠ CFD$相等吗？为什么？
(2) $DE$与$DF$相等吗？为什么？
(3) 如图2，若$∠ A=120°$，$∠ EDF=60°$，$AB=10$，试求$EF+EC$的最小值.(在直角三角形中，如果有一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半)

16. （1）相等. $\because ∠ AFD + ∠ CFD = 180°, ∠ AED +∠ AFD=180°,\therefore ∠ AED=∠ CFD$；
（2）相等. 如图1过点 D 作 $DM⊥ AB,DN⊥ AC$,分别交于 M,N,连接 AD,$\because D$ 是线段 BC 的中点且$△ ABC$ 为等腰三角形,$\therefore AD$ 平分$∠ BAC. \because DM⊥ AB, DN⊥ AC, \therefore DM=DN,∠ DME=∠ DNF=90°$,在$△ DEM$ 和$△ DFN$ 中,$\begin{cases}∠ AED=∠ CFD,\\∠ DME=∠ DNF,\\DM=DN,\end{cases}$$\therefore △ DEM≌△ DFN$(AAS),$\therefore DE=DF$；
（3）由(2)可知 $DE=DF$,$\because ∠ EDF=60°$,$\therefore △ DEF$ 为等边三角形,$\therefore DE=EF$,$\therefore$ 求 $EF+EC$ 的最小值,即为求 $DE+EC$ 的最小值,如图2,作点 C 关于直线 AB 对称点 G,连接 GE,BG,GD,GC,AG,由对称的性质可得 $GE=EC$,$\therefore$ 求$DE+EC$ 最小值即为求 $DE+GE$ 最小值. $\because GE+ED$最小值为 GD 的长度,则 $EF+EC$ 最小值为 GD 的长度,由对称的性质可得$△ ABC≌△ ABG$,$\therefore ∠ ABC=∠ ABG$,$BC=BG$,$AC=AG. \because △ ABC$ 为等腰三角形,$∠ A=120°$,$\therefore ∠ ABC=30°$,$\therefore ∠ GBC=∠ ABC+∠ ABG=60°$,$\therefore △ GBC$ 为等边三角形,由等边三角形对称性可得$△ ABC≌△ AGC. \because D$ 是线段 BC 的中点,$\therefore GD⊥ BC. \because AB=10$,$\therefore AD=5$,$AG=10$,$\therefore GD=15$,$\therefore EF+EC$ 最小值为 15.
第16题