8. (2023春·覃塘区期中)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=30°$,$AC=2$,$CD$是斜边上的中线,$CE$是高,$F$是$CD$的中点,连接$EF$.
(1) 求线段$CD$的长;
(2) 求证:$△ EDF$是等边三角形.

8. （1）$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,
$∠ ACB=90°,∠ B=30°,AC=2,\therefore AB=2AC=2× 2=4. \because CD$ 是斜边上的中线, $\therefore CD=\frac{1}{2}AB=2$；
(2) 证明:$\because CD$ 是斜边上的中线, $\therefore CD = DB = AD=\frac{1}{2}AB. \because ∠ B=30°,\therefore ∠ CAB=60°,\therefore △ ACD$是等边三角形. $\because CE⊥ AD, \therefore AE=DE,∠ ECD=30°,\therefore DE=\frac{1}{2}DC. \because F$ 是 CD 的中点, $\therefore EF=\frac{1}{2} CD,\therefore EF=DF,\therefore △ EDF$ 为等边三角形.

9. (2023秋·丹阳市期中)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,点E,F分别是BD,AC的中点,连接EF,EA,EC.
（1）试判断EF与AC的位置关系,并说明理由；
（2）若∠EAF=25°,则∠ADC=°.

9. （1）EF 垂直平分 AC. 理由:$\because ∠ BAD=∠ BCD=90°$,E是BD的中点,$\therefore AE=BD,CE=BD,\therefore AE=CE$,又$\because F$ 是AC的中点,$\therefore EF⊥ AC,\therefore EF$ 垂直平分AC.
（2）65°

10. (2025·白河县模拟)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点D是斜边AB的中点,DE平分$∠ ADC$,$BC=4$,$∠ A=30°$,则DE的长是 ()

A.4
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.1

10. B

11. (2024秋·苏州期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D$是边$AB$的中点,以点$C$为圆心,$CD$的长为半径画弧,与线段$BD$相交于另一点$E$,连接$CE$.若$∠ A=∠ DCE$,则$∠ A$的度数为 ()

A.$20°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$40°$

11. C

12. (2025春·渝北区期中)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,斜边AB上的中线和高分别为5 cm,4 cm,则$△ ABC$的面积等于$\mathrm{cm}^2$.

12. 20

13. (2023秋·礼县期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ ABC=60°,BD$平分$∠ ABC,P$点是$BD$的中点,若$AD=6$,则$CP$的长为.

13. 3