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⑤ 为了测量右图墙体是否与地面垂直，即 $ MO $ 是否垂直 $ PN $ 于点 $ O $，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个测量小组的设计方案如下表.
| 工具 | 若干条无弹性的绳子 | | |
| --- | --- | --- | --- |
| 小组 | 第一小组 | 第二小组 | 第三小组 |
| 测量方案 | 模仿古埃及人结绳的方法，在一条绳子上打13个结，得到12条线段，且用叠合法使得这12条线段都相等，设每一条线段长为$ a $。如下图放置这总长是$ 12a $的绳子，使在$ OM $上的绳子$ OA=4a $，在$ ON $上的绳子$ OB=3a $；若$ AB=5a $，则$ AO ⊥ OB $，即$ MO ⊥ PN $于点$ O $，否则不垂直。 | 如下图，在射线$ OM $，$ ON $上分别取点$ A, B $，放置绳子$ AB $，对折$ AB $得到相等的两段$ AC $，$ BC $，放置绳子$ OC $，用叠合法比较$ OC $与$ BC $的长度图2 若$ OC = BC $，则墙体与地面垂直，即$ MO ⊥ PN $于点$ O $，否则不垂直。 | |
| 测量示意图 |
| 
| |
(1)你觉得第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请分别说明理由.
(2)请你代表第三小组，写出一个应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性.
| 工具 | 若干条无弹性的绳子 | | |
| --- | --- | --- | --- |
| 小组 | 第一小组 | 第二小组 | 第三小组 |
| 测量方案 | 模仿古埃及人结绳的方法，在一条绳子上打13个结，得到12条线段，且用叠合法使得这12条线段都相等，设每一条线段长为$ a $。如下图放置这总长是$ 12a $的绳子，使在$ OM $上的绳子$ OA=4a $，在$ ON $上的绳子$ OB=3a $；若$ AB=5a $，则$ AO ⊥ OB $，即$ MO ⊥ PN $于点$ O $，否则不垂直。 | 如下图，在射线$ OM $，$ ON $上分别取点$ A, B $，放置绳子$ AB $，对折$ AB $得到相等的两段$ AC $，$ BC $，放置绳子$ OC $，用叠合法比较$ OC $与$ BC $的长度
| 测量示意图 |
| | |(1)你觉得第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请分别说明理由.
(2)请你代表第三小组，写出一个应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性.
答案
(1)第一、二小组的方案均可行.
第一小组的方案: $(4a)^2 + (3a)^2 = (5a)^2$, 则 $OA^2 + OB^2 = AB^2$, $△ AOB$ 为直角三角形.
$AO ⊥ OB$, 即 $MO ⊥ PN$.
第二小组的方案: $AC = BC = OC$, 则有 $∠ COB = ∠ CBO$, $∠ CAO = ∠ COA$.
又 $∠ CAO + ∠ COA + ∠ COB + ∠ CBO = 180°$,
则 $∠ CAO + ∠ CBO = ∠ COA + ∠ COB = 90°$,
$AO ⊥ OB$, 即 $MO ⊥ PN$.
(2) 言之有理即可.
第一小组的方案: $(4a)^2 + (3a)^2 = (5a)^2$, 则 $OA^2 + OB^2 = AB^2$, $△ AOB$ 为直角三角形.
$AO ⊥ OB$, 即 $MO ⊥ PN$.
第二小组的方案: $AC = BC = OC$, 则有 $∠ COB = ∠ CBO$, $∠ CAO = ∠ COA$.
又 $∠ CAO + ∠ COA + ∠ COB + ∠ CBO = 180°$,
则 $∠ CAO + ∠ CBO = ∠ COA + ∠ COB = 90°$,
$AO ⊥ OB$, 即 $MO ⊥ PN$.
(2) 言之有理即可.
解析
【分析】
要判断两个小组的方案是否可行，核心是验证按方案操作后能否推出∠AOB=90°，即MO⊥PN。第一小组给出了三角形三边的长度关系，可结合勾股定理的逆定理，若两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形，即可得到垂直关系；第二小组给出了中点和线段相等的条件，可转化为“若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形”的判定逻辑推导垂直。第二问需设计原理不同的方案，前两个方案分别用到勾股逆定理、直角三角形斜边中线的逆性质，可从全等三角形、等腰三角形三线合一等角度设计，只要能推导出∠AOB=90°即可。
【解析】
(1) 第一、二小组的方案均可行，证明如下：
① 第一小组方案：
已知$OA=4a$，$OB=3a$，若$AB=5a$，则：
$OA^2 + OB^2=(4a)^2 + (3a)^2=16a^2+9a^2=25a^2$，$AB^2=(5a)^2=25a^2$，
可得$OA^2 + OB^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ AOB$是直角三角形，且$∠ AOB=90°$，因此$AO⊥ OB$，即$MO⊥ PN$。
② 第二小组方案：
由对折可知$AC=BC$，若$OC=BC$，则$AC=BC=OC$，
因此$∠ COB=∠ CBO$，$∠ CAO=∠ COA$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ CAO + ∠ COA + ∠ COB + ∠ CBO=180°$，
代入等量关系得$2(∠ COA + ∠ COB)=180°$，即$∠ COA + ∠ COB=∠ AOB=90°$，
因此$AO⊥ OB$，即$MO⊥ PN$。
(2) 参考方案：
测量方案：在射线$OM$上任取一点$A$，用绳子在射线$OP$、$ON$上分别截取$OC=OD$，再用绳子测量$AC$、$AD$的长度，若$AC=AD$，则$MO⊥ PN$，否则不垂直。
测量示意图：在直线$PN$上点$O$两侧取点$C$、$D$，满足$OC=OD$，点$A$在射线$OM$上，连接$AC$、$AD$即可。
证明：
在$△ AOC$和$△ AOD$中：
$\begin{cases}AC=AD\\OC=OD\\OA=OA\end{cases}$
因此$△ AOC≌△ AOD(\mathrm{SSS})$，得$∠ AOC=∠ AOD$。
又$∠ AOC+∠ AOD=180°$，所以$∠ AOC=∠ AOD=90°$，即$AO⊥ PN$，也就是$MO⊥ PN$。
（方案不唯一，原理合理即可）
【答案】
(1)第一、二小组的方案均可行。
第一小组的方案: $(4a)^2 + (3a)^2 = (5a)^2$, 则 $OA^2 + OB^2 = AB^2$, $△ AOB$ 为直角三角形，$AO ⊥ OB$, 即 $MO ⊥ PN$。
第二小组的方案: $AC = BC = OC$, 则有 $∠ COB = ∠ CBO$, $∠ CAO = ∠ COA$。又 $∠ CAO + ∠ COA + ∠ COB + ∠ CBO = 180°$,则 $∠ COA + ∠ COB = 90°$,$AO ⊥ OB$, 即 $MO ⊥ PN$。
(2) 言之有理即可。
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了直角三角形的多种判定方法，要求学生能将几何知识灵活应用到实际操作中，既考验对基础定理的掌握程度，也锻炼逻辑推理和动手设计的能力。
【难度系数】
0.65
要判断两个小组的方案是否可行，核心是验证按方案操作后能否推出∠AOB=90°，即MO⊥PN。第一小组给出了三角形三边的长度关系，可结合勾股定理的逆定理，若两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形，即可得到垂直关系；第二小组给出了中点和线段相等的条件，可转化为“若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形”的判定逻辑推导垂直。第二问需设计原理不同的方案，前两个方案分别用到勾股逆定理、直角三角形斜边中线的逆性质，可从全等三角形、等腰三角形三线合一等角度设计，只要能推导出∠AOB=90°即可。
【解析】
(1) 第一、二小组的方案均可行，证明如下：
① 第一小组方案：
已知$OA=4a$，$OB=3a$，若$AB=5a$，则：
$OA^2 + OB^2=(4a)^2 + (3a)^2=16a^2+9a^2=25a^2$，$AB^2=(5a)^2=25a^2$，
可得$OA^2 + OB^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ AOB$是直角三角形，且$∠ AOB=90°$，因此$AO⊥ OB$，即$MO⊥ PN$。
② 第二小组方案：
由对折可知$AC=BC$，若$OC=BC$，则$AC=BC=OC$，
因此$∠ COB=∠ CBO$，$∠ CAO=∠ COA$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ CAO + ∠ COA + ∠ COB + ∠ CBO=180°$，
代入等量关系得$2(∠ COA + ∠ COB)=180°$，即$∠ COA + ∠ COB=∠ AOB=90°$，
因此$AO⊥ OB$，即$MO⊥ PN$。
(2) 参考方案：
测量方案：在射线$OM$上任取一点$A$，用绳子在射线$OP$、$ON$上分别截取$OC=OD$，再用绳子测量$AC$、$AD$的长度，若$AC=AD$，则$MO⊥ PN$，否则不垂直。
测量示意图：在直线$PN$上点$O$两侧取点$C$、$D$，满足$OC=OD$，点$A$在射线$OM$上，连接$AC$、$AD$即可。
证明：
在$△ AOC$和$△ AOD$中：
$\begin{cases}AC=AD\\OC=OD\\OA=OA\end{cases}$
因此$△ AOC≌△ AOD(\mathrm{SSS})$，得$∠ AOC=∠ AOD$。
又$∠ AOC+∠ AOD=180°$，所以$∠ AOC=∠ AOD=90°$，即$AO⊥ PN$，也就是$MO⊥ PN$。
（方案不唯一，原理合理即可）
【答案】
(1)第一、二小组的方案均可行。
第一小组的方案: $(4a)^2 + (3a)^2 = (5a)^2$, 则 $OA^2 + OB^2 = AB^2$, $△ AOB$ 为直角三角形，$AO ⊥ OB$, 即 $MO ⊥ PN$。
第二小组的方案: $AC = BC = OC$, 则有 $∠ COB = ∠ CBO$, $∠ CAO = ∠ COA$。又 $∠ CAO + ∠ COA + ∠ COB + ∠ CBO = 180°$,则 $∠ COA + ∠ COB = 90°$,$AO ⊥ OB$, 即 $MO ⊥ PN$。
(2) 言之有理即可。
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了直角三角形的多种判定方法，要求学生能将几何知识灵活应用到实际操作中，既考验对基础定理的掌握程度，也锻炼逻辑推理和动手设计的能力。
【难度系数】
0.65
